О задаче Штейнгауза

[Коровьев]

Штейнгауз, вероятно не первый, поставил такую проблему: "Можно ли построить квадрат с целочисленными сторонами и указать в его плоскости такую точку, чтобы расстояния от этой точки до всех 4 вершин квадрата выражались целыми числами?"
При единичной стороне квадрата проблема переходит в проблему в рациональных числах.
Для квадрата с целой стороной $h$, и помещённого вершиной в начало координат, проблема для точки $(x;y)$ описывается системой из четырёх уравнений:
$$ \[ \left\{ \begin{array}{l} a^2 = x^2 + \left( {h - y} \right)^2 \\ \\ b^2 = \left( {h - x} \right)^2 + y^2 \\ \\ c^2 = x^2 + y^2 \\ \\ d^2 = \left( {h - x} \right)^2 + \left( {h - y} \right)^2 \\ \end{array} \right. \] $

В общем виде нет данных о её решении. Но можно указать такие целые $h$, что система не будет иметь решений в целых $x,y$
Найти такие $h$.

[scwec]

Поскольку $h$ - длина стороны геронова треугольника, то берем таблицу с длинами сторон Г.Т. и все отсутствующие длины выписываем.
$h=1,2,...$. Таблицу можно посмотреть здесь.
http://subbotino.okis.ru/file/subbotino/Tablizi_po_geometrii.pdf

[Коровьев]

Задача в данной постановке решается очень очень элементарно.
Для её решения не нужны специальные знания, достаточно начальных знаний по теории чисел. Скажу больше, её можно решить в уме, без всяких выкладок, только глядя на систему уравнений.

[scwec]

Таблица, конечно, маловата. Но $1,2$ остаются. Остальные отсутствующие длины надо проверять, что я сейчас и сделал (23 из списка для $h$ убрал).

[Коровьев]

Всё гораздо проще.
Надо только рассмотреть эту систему уравнений, как систему сравнений по модулю $3$

$\[ \left\{ \begin{array}{l} a^2 \equiv x^2 + \left( {h - y} \right)^2 \left( {\bmod 3} \right) \\ \\ b^2 \equiv \left( {h - x} \right)^2 + y^2 \left( {\bmod 3} \right) \\ \\ c^2 \equiv x^2 + y^2 \left( {\bmod 3} \right) \\ \\ d^2 \equiv \left( {h - x} \right)^2 + \left( {h - y} \right)^2 \left( {\bmod 3} \right) \\ \end{array} \right. \]$

Для всех целых $h$ не делящихся на $3$ система сравнений не имеет решений в целых $x,y$

[scwec]

Простенько и со вкусом.
Теперь интересно бы доказать, что при $h=3$ система целых решений не имеет. (А она их точно не имеет).

[scwec]

Рассматривая систему по модулю $4$ получаем, что для нечетных $h$ целых решений нет.
Итого: для того, чтобы система претендовала на наличие целых решений необходимо, чтобы $h$ делилось на $6$. Если $h$ не делится на $6$ - целых решений нет.

[Коровьев]

Это вдохновляет!
Я уже пробовал поискать для других модулей, но "в ручную", что слишком непродуктивно.
Следовательно - надо автоматизировать, то есть составить программу, к примеру, на PARI. И если будут находиться ещё модули, то появится подход к возможному решению проблемы.
Но мне составить такую программу опять же хлопотно. Простенькие я ещё одолеваю .

[scwec]

Предлагаю доказать, что если система имеет решение в целых числах,
то $a,b,c,d$ все различны.

[Коровьев]

Я продолжу, спустя три года.

Каждое рациональное число представим в виде

$${x = \frac{a}{b}3^m }$

где все числа целые. Причём $a,b$ взаимно простые и не делятся на $3$
Показатель $\[\nu _{\left( 3 \right)} \left( x \right) = m \] $

Предложение 1.
Если для целых чисел выполняется

$a^2+b^2=c^2$

то показатель (пусть для $b$)

$\[ \nu _{\left( 3 \right)} \left( b \right) = \nu _{\left( 3 \right)} \left( c \right) \] $

а показатель

$\[ \nu _{\left( 3 \right)} \left( a \right) > \nu _{\left( 3 \right)} \left( b \right) \] $

Равенство всех показателей невозможно

Далее. Рассмотрим систему Штейнгауза

$$\[ \begin{array}{l} x^2 + y^2 = h_1 ^2 \\ x^2 + \left( {1 - y} \right)^2 = h_2 ^2 \\ \left( {1 - x} \right)^2 + y^2 = h_3 ^2 \\ \left( {1 - x} \right)^2 + \left( {1 - y} \right)^2 = h_4 ^2 \\ \end{array} \] $

Представим $x,y$ из уравнения $$x^2 + y^2 = h_1 ^2$ как и выше

$$\[ x = \frac{a}{b}3^m ,y = \frac{c}{d}3^n \] $

где все числа целые, $a,b,c,d$ попарно взаимно простые и не делятся на $3$

Пусть $$\[ \left| m \right| > \left| n \right| \] $

Здесь возможны два случая.
1)
$$\[ n \ne 0 \] $

Возьмём четвёртое уравнение

$$\[ \left( {1 - x} \right)^2 + \left( {1 - y} \right)^2 = \left( {1 - \frac{a}{b}3^m } \right)^2 + \left( {1 - \frac{c}{d}3^n } \right)^2 = h_4 ^2 \] $

$$\[ d^2 \left( {b - 3^m a} \right)^2 + b^2 \left( {d - 3^n c} \right)^2 = \left( {bdh_4 } \right)^2 \] $

В левой части равенства оба слагаемых целые и не делятся на $3$, то есть показатели их равны нулю, что невозможно согласно Предложению 1

2)$\[ n = 0 \] $

Возьмём третье уравнение

$$\[ \left( {1 - x} \right)^2 + y^2 = \left( {1 - \frac{a}{b}3^m } \right)^2 + \left( {\frac{c}{d}} \right)^2 = h_3 ^2 \] $

$$\[ d^2 \left( {b - 3^m a} \right)^2 + b^2 c^2 = \left( {bdh_3 } \right)^2 \] $

Аналогично. В левой части равенства оба слагаемых целые и не делятся на $3$, то есть показатели их равны нулю, что невозможно согласно Предложению 1.

Но это означает, что рациональной точки в единичном квадрате не существует.
Мда. Слишком просто, чтобы быть правдой. Ищем ошибку, я не нашёл.

[novichok2018]

Вроде есть формула для суммы квадратов расстояний от точки до вершин правильного энугольника, нельзя использовать?

[scwec]

Противоречие, приводящее к решению задачи Штейнгауза исчезает, если $m<0$, а $n\ge{0}$.
Поэтому приведенное доказательство не является достаточным.

[Коровьев]

Да, всё правильно.
Доказательство верно только при обеих неотрицательных показателях
$\[\nu _{\left( 3 \right)} \left( y \right)\]$ и $\[ \nu _{\left( 3 \right)} \left( y \right)\]$.
В теории $p$-адических чисел числа с неотрицательным показателем называются целыми $p$-адическими числами.
С отрицательным показателем - дробными.

Придав немного научности результат можно сформулировать так:
Система уравнений Штейнгауза не имеет решений в целых 3-адических числах. Поскольку целые рациональные числа входят в кольцо 3-адических чисел, то результат верен и для них.

[scwec]

Вообще, не вижу существенной причины, почему проблема Штейнгауза, которой уже 70 лет, должна иметь отрицательное решение для рациональных чисел.
На самом деле всё сводится, как минимум, к нахождению совместных рациональных решений двух уравнений эллиптических кривых, а именно:
$w^2=u^3-4(1+N^2)u^2+16N^2{u}$,
$w^2=u^3+4(4-N^2)u^2+32(2-N^2)u$, где $N$ - рациональное число, расстояние от искомой точки на плоскости до одной из вершин единичного квадрата.
Отсюда следует, например, что при $h_i=1,2,3,...,12$ рациональных решений системы Штейнгауза не существует (это не тривиально).
Однако, уже при $N=13$ ответ не ясен.
Существует много частных результатов: нет нужных точек на сторонах единичного квадрата и их продолжениях, на средних линиях квадрата и т.п.
Однако (из теоремы Бэрри), существует всюду плотное множество точек на плоскости, три расстояния от которых до вершин единичного квадрата рациональны.
К 100-летию юбилея проблемы Гуго Штейнгауза, возможно, она будет решена.