Диофантовые уравнения и тригонометрия.

[Коровьев]

1.Общая часть.
Есть интересная связь между двумя простыми функциями и обыкновенной школьной (не к ночи будь сказано) тригонометрией.

$$\frac{{2x}}{{1 + x^2 }}$,$$\frac{{1-x^2}}{{1 + x^2 }}$ и $\sin(x),\cos(x)$

Сумма квадратов каждой пары равна единице, все функции по модулю меньше/равны единице.
Для повышения интереса.
Имеем тригонометрическое тождество

$$\left( {2\sin(x) + \cos(x)} \right)^2 + \left( {\sin(x) - 2\cos(x)} \right)^2 = 5$

Если заменить в нём $$\sin(x),\cos(x)$ на $$ \frac{{2x}}{{1 + x^2 }},\frac{{1 - x^2 }}{{1 + x^2 }}$
соответственно, то тождество не изменится. А это значит, что мы сразу
нашли решения диафантового уравнения.

$z^2 + v^2 =5$

Можно легко показать, что найденные параметрические решения исчерпывают
все решения.

Введём обозначения "схожие" с тригонометрическими:
$$S\left( x \right) = \frac{{2x}}{{1 + x^2 }}$

$$C\left( x \right) = \frac{{1 - x^2 }}{{1 + x^2 }}$

$$T\left( x \right) = \frac{{S\left( x \right)}}{{C\left( x \right)}} = \frac{{2x}}{{1 - x^2 }}$

"Котангенс" вводить не буду, достаточно и $T(x)$

Часто будут встречаться сложные выражения.
К примеру: $S(C(x))$, что равно
$$S\left( {C\left( x \right)} \right) = \frac{{2C\left( x \right)}}{{1 + C^2 \left( x \right)}} = \frac{{2\frac{{1 - x^2 }}{{1 + x^2 }}}}{{1 + \left( {\frac{{1 - x^2 }}{{1 + x^2 }}} \right)^2 }} = \frac{{1 - \left( {x^2 } \right)^2 }}{{1 + \left( {x^2 } \right)^2 }} = C\left( {x^2 } \right) $

2.Основные соотношения и формулы
Имеем основные соотношения, аналогичные тригонометрическим:

$$S^2 \left( x \right) + C^2 \left( x \right) = 1$

$$T^2 \left( x \right) + 1 = \frac{1}{{C^2 \left( x \right)}}$
Аналогично тригонометрическим есть и формулы приведения:

$$S\left( {\frac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right) = C\left( x \right)$

$$C\left( {\frac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right) = S\left( x \right)$

$$T\left( {\frac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right) = \frac{1}{{T\left( x \right)}}$

Для вывода дальнейших свойств введём комплексную функцию, аналогичную
Эйлеровой:

$$E\left( x \right) = C\left( x \right) + iS\left( x \right)$

Её свойства:

$$E\left( x \right)E\left( y \right) = E\left( {\frac{{x + y}}{{1 - xy}}} \right) = C\left( {\frac{{x + y}}{{1 - xy}}} \right) + iS\left( {\frac{{x + y}}{{1 - xy}}} \right)$

Как видим аргументы складываются не совсем так, как в тригонометрии, но
близко.
Из этой формулы получаются соотношения:
$$C\left( x \right)C\left( y \right) - S\left( x \right)S\left( y \right) = C\left( {\frac{{x + y}}{{1 - xy}}} \right)$

$$S\left( x \right)C\left( y \right) + C\left( x \right)S\left( y \right) = S\left( {\frac{{x + y}}{{1 - xy}}} \right) $
Формулы "удвоения угла"
$$2S\left( x \right)C\left( x \right) = S\left( {\frac{{2x}}{{1 - x^2 }}} \right) = S\left( {T\left( x \right)} \right)$

$$C^2 \left( x \right) - S^2 \left( x \right) = C\left( {\frac{{2x}}{{1 - x^2 }}} \right) = C\left( {T\left( x \right)} \right)$

3.Некоторые формулы
Я приведу здесь некоторые интересные формулы, пока без вывода, и
примеры их использования.

$$\left( {\frac{{2S\left( t \right)C\left( t \right)}}{{1 - S\left( t \right)^2 C\left( t \right)^2 }}} \right)\cdot S\left( t \right) = S\left( {\frac{{C^2 \left( t \right)}}{{S\left( t \right)}}} \right)$

$$\left( {\frac{{2S\left( t \right)C\left( t \right)}}{{1 - S\left( t \right)^2 C\left( t \right)^2 }}} \right)\cdot C\left( t \right) = S\left( {\frac{{S^2 \left( t \right)}}{{C\left( t \right)}}} \right)$

Рассмотрим кубоид с одной неизвестной стороной $c$,
другие стороны: $a=S(k),b=S(t)$. Главная
диагональ:$d_{abc}=1$
Тогда: $d _{ac}^2=1-S^2(k)=C^2(t), d_{bc}^2=1-S^2(t)=C^2(t)$
Диагональ $d_{ac}^2=S^2(k)+S^2(t)$
Найдём её параметрическое решение.
Примем $k = \frac{{1 - t}}{{1 + t}}$
Тогда
$$d_{ac}^2=S\left( {\frac{{1 - t}}{{1 + t}}} \right)^2 + S\left( t \right)^2 =C^2(k)+S^2(t)=1$
(Здесь я воспользовался формулой приведения $S\left( {\frac{{1 - t}}{{1 + t}}} \right) = C\left( t \right)$)
Итак, у нас есть полный рациональный кубоид, правда, с одной нулевой стороной.
Теперь, используя приведённые выше формулы, получим

$$A^2 = A^2 \cdot C^2 \left( t \right) + A^2 \cdot S^2 \left( t \right) = S^2 \left( {\frac{{S^2 \left( t \right)}}{{C\left( t \right)}}} \right) + S^2 \left( {\frac{{C^2 \left( t \right)}}{{S\left( t \right)}}} \right)$
Где
$$A = \frac{{2S\left( t \right)C\left( t \right)}}{{1 - S\left( t \right)^2 C\left( t \right)^2 }}$
И мы получили параметрическое решение кубоида с одной, уже не нулевой, нерациональной стороной, главной диагональю равной единице и сторонами:

$$a = S\left( {\frac{{S^2 \left( t \right)}}{{C\left( t \right)}}} \right),b = S\left( {\frac{{C^2 \left( t \right)}}{{S\left( t \right)}}} \right) $
Пока всё. Итак умаялся, а писанины ещё много

[scwec]

Вы точно, не издеваетесть? А очень похоже. (Извините).

[Коровьев]

Цитата:

– Это водка? – слабо спросила Маргарита. Кот подпрыгнул на стуле от обиды. – Помилуйте, королева, – прохрипел он, – разве я позволил бы себе налить даме водки? Это чистый спирт!

[sergei1961]

Есть общая теория таких конкретно функций, часть теории аппроксимаций Паде и рациональных аппроксимаций.

[scwec]

Ещё раз прочитал исходный текст. Всё ж есть там светлые места.

Коровьев в сообщении #728049 писал(а):

Пока всё. Итак умаялся, а писанины ещё много

Ну и предыдущий текст. Думаю, надо продолжить. Интересно всё же.

[sergei1961]

Когда то писал препринт с соавторами про такие функции. Вводили так: пусть $E_{n}(x)$-диагональная аппроксимация Паде экспоненты (в работе мы предложили термин ЭКСПАДЕНТА), Введём аппроксимации синуса и косинуса по формулам $E_n(ix)=C_n(x)+iS_n(x)$. Тогда для них выполнено основное как бы тригонометрическое тождество и другие аналоги тригформул. Более того, при естественных дополнениях это единственные рациональные аппроксимации с этим тождеством. Ваши функции получаются из $E_1(x)=\frac{1+x/2}{1-x/2}$ с заменой $x\to x/2$, при других $n$ получаются их обобщения.

Интерес был вот в чём. Обычные апп. Паде синуса и косинуса хоть и имеют лучший порядок аппроксимации, но неограниченны. Поэтому схемы разностных уравнений для дифуров, построенные на них (после того как решения представлены как операторные экспоненты, синусы или косинусы) неустойчивы. А нестандартные введённые аппроксимации хоть и худшего порядка, но в силу основнового тригтождества ограничены, поэтому приводят к устойчивым схемам.

Про применения к диофантовым уравнениям ничего не знал, спасибо.

[Коровьев]

К сожалению, про аппроксимации Паде я знаю на уровне Википедии Но вопрос про такую странную схожесть функций меня очень интересовал - "Здесь что-нибудь неспроста-с". Да./Ревизор/.
Теперь боле-мене понятно, спасибо.
Мне видится, что возможность применения такой аппроксимации в диофантовых уравнениях, наряду с хорошей схожестью в поведении их на определённом интервале, обязана именно сохранению "основного тригтождества". Возможно и следующие аппроксимации могут что-нибудь дать.
Попозже я продолжу про диофантовые уравнения. У меня всё разбросано по десяткам файлам MathType.

[Коровьев]

Продолжу.
Использование таких символьных функций, конечно, ничего нового не даёт, так как нет никаких новых теорем на их основе. Однако во многих случаях запись на их основе намного компактней привычной и позволяет иногда увидеть новые связи, которые скрыты за лесом "страшных" диофантовых формул в обычной записи.
Правда, обилие скобок из-за вложенных функций тоже не очень хорошо, так как приводит к плохой читабельности формул.
Поэтому, чтобы как-то их уменьшить, я введу нижний индекс, как аргумент функции, если этот аргумент не является функцией. А именно:
$$S_x=S(x)$

$$C_x=C(x)$

$$T_x=T(x)$

Если аргумент функция, то, как и прежде, будут скобки.

Отмечу, что на основании равенства
$$x = \frac{{S_x }}{{1 + C_x }}$
любую функцию от $x$ можно превратить в функцию от $$S_x,C_x $
$$f(x)=f\left( {\frac{{S_x }}{{1 + C_x }}} \right)=F(S_x,C_x)$

Ещё две формулы
$$T\left( {\frac{{S_k }}{{C_t }}} \right) = \left( {\frac{{2C_t C_k }}{{C_k ^2 + C_t ^2 - 1}}} \right)T_k $

$$T\left( {\frac{{S_t }}{{C_k }}} \right) = \left( {\frac{{2C_t C_k }}{{C_k ^2 + C_t ^2 - 1}}} \right)T_t $

Их можно использовать при решении нескольких задач. В частности для нахождения решения Эйлерова рационального кубоида, если известно какое-то частное решение.
Уравнение для Эйлерова рационального кубоида со сторонами $$a=T_K,b=T_t,c=1$ имеет вид:
$$z^2=T_k^2+T_t^2$
тогда

$$\left( {\frac{{2C_t C_k }}{{C_k ^2 + C_t ^2 - 1}}} \right)^2 z^2 = \left( {\frac{{2C_t C_k }}{{C_k ^2 + C_t ^2 - 1}}} \right)^2 T_k ^2 + \left( {\frac{{2C_t C_k }}{{C_k ^2 + C_t ^2 - 1}}} \right)^2 T_t ^2 = T^2 \left( {\frac{{S_k }}{{C_t }}} \right) + T^2 \left( {\frac{{S_t }}{{C_k }}} \right)$

Для эллиптических дробно рациональных функций вида
$$z^2=T_xT_y$
и
$$z^2=S_xS_y$
приведу параметрические решения.

Для первого уравнения
$y = T\left( {S\left( {T_x } \right)} \right)$
Тогда
$$T_x \cdot T\left( {S\left( {T_x } \right)} \right) = \left[ {\frac{{2S_x }}{{\left( {C_x ^2 - S_x ^2 } \right)}}} \right]^2 $
и, соответственно, для второго
$y = S\left( {T\left( {S_x } \right)} \right)$
и
$$S_x \cdot S\left( {T\left( {S_x } \right)} \right) = \left[ {\frac{{2S_x C_x }}{{1 + S_x ^2 }}} \right]^2 $

И, пожалуй, ещё

$${T\left( {S\left( {T_k } \right)} \right) = T\cdot\left[ {\frac{{2C_k }}{{C_k ^2 - S_k ^2 }}} \right]^2 }$

$$S \left( {T\left( {S_k } \right)} \right) = S\cdot \left[ {\frac{{2C_k }}{{1 + S_k ^2 }}} \right]^2 $

[sergei1961]

Про начало: а почему найденные решения исчерпывают все? Имеются в виду все-рациональные? Как быть с другими рациональными решениями более высоких порядков, вытекающими из решений тригонометрического тождества? Или они заведомо не рациональны?
Решения $x^2+y^2=1$ в рациональных числах где-то описаны?

[Коровьев]

Во многих учебниках по теории чисел просто доказывается, что при взаимно простых целых числах $a,b$ уравнение
$$\left( {2ab} \right)^2 + \left( {a^2 - b^2 } \right)^2 = \left( {a^2 + b^2 } \right)^2$
Описывает все целочисленные пифагоровы треугольники.
Отсюда и получается, что уравнение

$$\left( {\frac{{2t}}{{1 + t^2 }}} \right)^2 + \left( {\frac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }}} \right)^2 = 1$

при различных рациональных $t$ описывает все рациональные решения уравнения

$$x^2 + y^2 = 1$

Что касается уравнения

$$x^2 + y^2 = 5$

то заменой переменных

$$\left\{ \begin{array}{l} x = 2a + b \\ y = b - 2a \\ \end{array} \right.$

мы приходим к уравнению

$$a^2 + b^2 = 1$

sergei1961 в сообщении #733006 писал(а):

Как быть с другими рациональными решениями более высоких порядков, вытекающими из решений тригонометрического тождества?

Этот вопрос я не понял

[sergei1961]

Выше я сослался на рациональные решения уравнения $x^2+y^2=1$, которые получаются из диагональных аппроксимаций Паде ЛЮБЫХ порядков (рациональные в смысле, что $x(t),y(t)$-рациональные функции параметра $t$.) Как тогда объяснить их существование? Это другие более сложные параметризации? Или они обязательно содержат иррациональные коэффициенты, то есть при рациональных $t$ будут принимать иррациональные значения, поэтому не подходят к этой задаче?

Может быть указанная Вами параметризация-только одна из возможных и не даёт все рациональные решения, в отличии от целочисленного случая?

[nnosipov]

sergei1961 в сообщении #733057 писал(а):

Может быть указанная Вами параметризация-только одна из возможных и не даёт все рациональные решения, в отличии от целочисленного случая?

Параметризация $x=2t/(1+t^2)$, $y=(1-t^2)/(1+t^2)$ не позволяет получить только одну рациональную точку --- $(x,y)=(0,-1)$. Существование различных рациональных параметризаций не удивительно --- достаточно вместо $t$ подставить произвольную рациональную функцию нового аргумента.

[Коровьев]

nnosipov в сообщении #733073 писал(а):

Параметризация $x=2t/(1+t^2)$, $y=(1-t^2)/(1+t^2)$ не позволяет получить только одну рациональную точку --- $(x,y)=(0,-1)$.

Я об этом даже и не знал
Видимо, надо было вводить параметризацию как $y=(t^2-1)/(t^2+1)$

sergei1961
Фунцции
$$\sin\frac{{\pi x}}{2},\frac{{2x}}{{1 + x^2 }}$
на интервале $\left| x \right| \le 1$ отличаются где-то на 10%
Если иметь ввиду аппроксимации синуса и косинуса высших порядков с сохранением основного тождества, то все они, по видимому, будут вида

$$\sin \to \frac{{2\varphi \left( t \right)f\left( t \right)}}{{\varphi ^2 \left( t \right) + f^2 \left( t \right)}},\cos \to \frac{{\varphi ^2 \left( t \right) - f^2 \left( t \right)}}{{\varphi ^2 \left( t \right) + f^2 \left( t \right)}}$
от полиномов с рациональными коэффициентами и могут только улучшить аппроксимацию, но вряд ли что дадут нового в смысле применения к диофантовым уравнениям.
Но, повторяю, я аппроксимации Паде ничего не знаю.

[nnosipov]

Коровьев в сообщении #733118 писал(а):

Видимо, надо было вводить параметризацию как $y=(t^2-1)/(t^2+1)$

Не поможет, одна точка (та, через которую проводится секущая) не будет учтена общей формулой.

[sergei1961]

Понятно.

Такой вид, как Вы указали, действительно имеют аппроксимации, которые условно назовём нашими, они были определены выше. В теории НАШИХ есть теорема, что если две рациональные аппроксимации 1) удовлетворяют ОснТригТож, 2) имеют в нуле не худший порядок приближения, 3) одна чётная, другая-нечётная ---то это именно НАШИ. Так что при таком наборе условий получается, что других рациональных решений нет и Ваши формулы с парой полиномов верны. Это следует из определения НАШИХ аппр. и формулы для диагональных экспадент.

Жаль, что не видно применений этого семейства к диофантовым уравнениям. Мы в эту сторону и не думали. Или можно что-то придумать?