Следует ли из одного неравенства два?

[ИСН]

bigarcus, Вы опять ищете в толстых книгах. А руками попробовать не?

[bigarcus]

Пробую. Получается что нельзя. Например $(-1)^2>1$ но $-1<1$.
Но ведь есть же наверное и такое правило, что нельзя квадрат у неравенства так просто снимать?

[ИСН]

Для Вас что первично? Посмотрели, убедились - дело обстоит так-то, но всё равно хочется найти подтверждение в толстой книге, потому что без него это just doesn't feel right? А правила откуда взялись, как Вы думаете? Да ведь их люди нашли. Обычные люди - голова, два уха. Как мы.

[arseniiv]

bigarcus, рисуете график $y = x^2$, отделяете нужные неравенству игреки и смотрите, какие иксы бывают при них. Увидите, что $y < a^2 \Rightarrow -a < x < a$ и что $y > a^2 \Rightarrow -a > x \vee x > a$.

Вообще, посмотрите на определения строго или нестрого монотонно возрастающей или убывающей функции. Оно кое в чём полезно.

[SpBTimes]

$x^2 > a^2 \Rightarrow (x - a)(x + a) > 0$

[bigarcus]

Вот у меня есть выражение:

$$ \begin{equation} \frac{4\pi^2}{(1-b)^2}\cdot\left(-4+5b-b^2+3b\sqrt{1-b}-4\sqrt{1-b}\right) \end{equation} $$

И есть условие

$$ 0\leq b \leq 1 $$

Как мне проверить: отрицательно или положительно выражение (1)?

-- Пт апр 19, 2013 05:37:39 --

Я вроде постарался сгруппировать поудобнее, не знаю, может надо как-то иначе.
В представленном виде понятно, что $1-b$ положительно, $\sqrt{1-b}$ тоже положительно, $(1-b)^2$ очевидно положительно.
Так же понятно, что $-b^2$ отрицательно.

-- Пт апр 19, 2013 05:42:34 --

Я пришёл к выводу, что $4\pi^2/(1-b)^2$ можно убрать из рассмотрения. Оно положительно и знак не изменит - всё будет зависеть от ситуации внутри скобок.
Перепишу то, что в скобках, причём сначала будут стоять явно положительные члены, а после них - явно отрицательные:

$$ 5b+3b\sqrt{1-b}-4-b^2-4\sqrt{1-b} $$

[TOTAL]

$$-4+5b-b^2+3b\sqrt{1-b}-4\sqrt{1-b}=A\cdot(1-b)+B\cdot\sqrt{1-b}=$$

Найдите $A$ и $B$.

[bigarcus]

TOTAL, $A=-(4-b)$, $B=(3b-4)$. Пришлось решать квадратное уравнение.

-- Пт апр 19, 2013 05:59:03 --

О, я понял.
С тем условием $0\leq b\leq 1$
Имеем $(3b-4)<0$, $\sqrt{1-b}>0$ и $(1-b)>0$, $(4-b)>0$. Правильно?

-- Пт апр 19, 2013 06:00:22 --

И ответ: выражение (1) отрицательно при всех допустимых $b$. Correct?

[TOTAL]

bigarcus в сообщении #712588 писал(а):

И ответ: выражение (1) отрицательно при всех допустимых $b$. Correct?

Если Вы один на острове и никто не скажет Correct или не Correct, что будете делать?

[bigarcus]

Не мучайте, плз.

[bigarcus]

Подскажите, а верно ли, что для любых чисел выполняется неравенство

$$ \frac{a^2}{b^2}\geqslant0 $$

?

Ведь там стоят квадраты! А квадраты всегда положительные - тогда получается, что верно?

[arseniiv]

Да (только не забудьте ограничить посылку, доконъюгировав туда $b \ne0$). Это можно получить из двух очевидных вещей:

$$\begin{array}{c} a > 0 \Rightarrow 1/a > 0, \\ a > 0 \wedge b > 0 \Rightarrow ab > 0. \end{array}$$

[bigarcus]

Хорошо, $b\neq0$ присоединю
И я не понял, что вы вывели "двумя очевидными вещами"? Вы там, кстати, квадраты не забыли?

[arseniiv]

Ну, эти вещи для укрепления уверенности. Вы бы спрашивали, если бы были уверены?

Квадрат больше или равен нулю и не равен нулю — обратный квадрат больше нуля — умножение на него другого квадрата даёт величину, не меньшую нуля.

[longstreet]

Тоже не понял arseniiv. Откуда

arseniiv в сообщении #713457 писал(а):

Да (только не забудьте ограничить посылку, доконъюгировав туда $b \ne0$). Это можно получить из двух очевидных вещей:

$$a > 0$$

? У ТС

$$ a^2\geqslant0 $$