Я не профессиональный математик. Поэтому прошу обсудить следующий способ введения понятия чисел и их свойств.
Счет и числа. Отображение материальных множеств в форме материальных имен (палочек, камушков и т.п.) было слишком громоздким. Поэтому эти предметы стали заменять символами - точками, черточками и т.п. Однако для больших множеств и такое отображение было слишком громоздким. Для решения этой проблемы в метрологических измерениях стали использовать счетные ряды.
Счетный ряд, это бесконечный ряд имен, каждое из которых является именем суммы всех предыдущих членов ряда. Соответственно, процедура измерения метрологического множества с использованием счетного ряда называется счетом.
Счет – процедура последовательного присвоения имен счетного ряда элементам измеряемого множества. Например, чтобы пересчитать яблоки в корзине мы, внимая их из корзины, последовательно присваиваем им имена счетного ряда: один, два, три, четыре… В результате имя последнего яблока, например восемь, будет непосредственно указывать на количество яблок, которое было в корзине.
Таким образом, собственно числа, как имена счетного ряда, применительно к арифметике никакими свойствами не обладают. Предметом исследования этой науки являются свойства числовых множеств, меры которых символически отображаются числами.
Числовым множеством будем называть
множество счетных элементов поименованных с помощью процедуры счета. Соответственно, счетный элемент это
элемент, символически отображающий факт наличия элемента материального.
Например, при подсчете яблок фактически мы подсчитываем не собственно яблоки, а операции по их извлечению из корзины. То есть мы отображаем этой операцией наличие каждого яблока счетным элементом, с последующим их (этих элементов) подсчетом. Замену яблок счетными элементами можно произвести иначе: коснуться пальцем каждого яблока и подсчитать число касаний. Таким образом, чтобы получить метрологическую меру материального множества его необходимо отобразить в форме множества счетных элементов и применить к этому множеству процедуру счета. Тогда результат этой процедуры – число, будет метрологической мерой этого множества.
Сейчас наиболее распространенным способом генерации имен счетного ряда является позиционная система счисления. Она позволяет, используя позиционный порядок размещения конечного набора исходных имен счетного ряда, компактно отображать большие метрологические множества. Особенность такой системы счисления заключается в том, что кроме исходных имен она нуждается в особом имени, которое должно отображать отсутствие исходного имени в какой либо позиции. Например, в десятичной системе счисления исходными именами является: один, два, три, …девять. А отсутствие, в какой либо позиции одного из этих имен обозначается именем «ноль».
Например, число 1000. Первый справа ноль указывает, что множество содержит такое число счетных элементов, которое не может быть отображено каким либо исходным именем (1, 2, 3…9). То есть в нем больше чем 9 счетных элементов. Следующий слева ноль указывает, что их число больше, чем 9 десятков. Следующий ноль, указывает, что их число более чем 9 сотен. Последняя позиция «1» указывает, что число отображает множество, содержащее одну тысячу счетных элементов.
Свойства нуля, как числа можно показать так. Пусть мы подсчитываем яблоки в корзине. Для этого мы выкладываем их на стол. Пусть вначале мы ничего не вынули из корзины. Это «ничто» обозначим именем «ноль». Этот же смысл «ноль» имеет применительно к тому, что перед началом счета на столе нет яблок. Далее, выкладывая яблоки, мы присваиваем им имена: один, два, три…Очередной раз мы можем сунуть руку в корзину и вынуть ее, ничего не взяв. Это «ничего» снова назовем «ноль». И, наконец, мы вынули восьмое яблоко. Но поскольку мы не знаем количества яблок в корзине, снова опускаем руку в нее. А так как яблок в корзине не осталось, то вынем пустую руку, т.е. «ничего» - «ноль». Формально совокупность этих действий можно описать так: 0, 1, 2, 3, 0, 4, 5, 6, 7, 8, 0. Очевидно, сколько бы «пустых» попыток вначале, в средине или в конце счета мы не сделали, результат счета, т.е. имя последнего яблока не изменится. Отсюда следует основное свойство ноля:
.
То есть, ноль можно как прибавить к множеству, так и отнять Множество от этого не изменится. Однако совершенно очевидно, что если от материального множества можно отнять «ничто» (ноль), то обратное невозможно. Невозможно потому, что это противоречит закону сохранения материи. Тем не менее, есть реальные ситуации, которые формально описываются соотношением:
Здесь A и B – некие материальные множества.
Например, из опытов по электризации, известно, что если от электрически нейтрального тела отнять электрический заряд одного знака, то тело приобретет заряд другого знака. А если отобранный заряд вернуть телу, то оно вновь станет электрически нейтральным. Из современных представлений следует, что электрически нейтральное тело состоит из атомов и молекул. Их электрическая структура имеет вид:
, где
и
это частички, имеющие электрические заряды двух различных типов. То есть, чтобы (1) не противоречило закону сохранения материи, нолем следует считать некое составное множество:
От такого ноля уже можно вычесть как множество A, так и множество B:
Таким образом, применительно к материальным множествам «ноль», можно толковать двояко.
1. Ноль, это отображение отсутствия материального множества.
2. Ноль, это составное множество, состоящее из двух видов элементов, обладающих взаимно компенсирующими свойствами. Тогда «ноль» отображает отсутствие преимущества, какого либо, из этих свойств, применительно к составному множеству в целом.
Например, атом это электрический ноль – составное множество электрически компенсированных положительно и отрицательно заряженных частиц. Отнимая, либо прибавляя к такому нолю отрицательные заряды, из атома можно получить как положительно, так и отрицательно заряженные ионы.
Вода, это составное множество двух взаимно компенсированных кислых
и щелочных
ионов. То есть вода – это кислотно-щелочной ноль. Смещая баланс
, можно придать воде как кислотные, так и щелочные свойства.
Для количественного отображения двух типов взаимно компенсирующих свойств необходимо, очевидно, два типа чисел. Ввести их можно так. Обозначим в (2) меру свойства единичного элемента множества «A» единицей
. А меру свойства единичного элемента множества «B» особой единицей
. Поскольку
, то, соответственно,
. Такое обозначение удобно тем, что в нем знак
имеет двоякий смысл. Он может обозначать особый (отрицательный) статус единицы:
Либо отображать результат действия - вычитания положительной единицы самой из себя.
От целых положительных и отрицательных чисел нетрудно перейти к дробным.
Таким образом, числа могут быть определены как метрологические отображения материальных множеств, а операции над ними (числами), как свойства этих множеств.
Как было показано выше, положительные и отрицательные числа, это способ количественного отображения бинарных взаимно компенсирующих свойств материальных тел. Однако у материальных тел есть свойства, компенсация которых достигается путем сложения более чем двух свойств. Например, белый свет можно рассматривать как результат сложения (компенсации) семи цветов. Или, как минимум, трех, как это используется в телекоммуникациях. Там для передачи цветного изображения используется красный (R), зеленый (G) и голубой (B) цвета. Отсюда, можно ввести три взаимно компенсирующих единицы:
Из опыта известно, что эти единицы необходимо дополнить амплитудами - мерами интенсивности (цвета). А так, как отрицательной освещенности не бывает, то для этого достаточно только положительных чисел и ноля. Кроме того, в опыте наблюдается явление (интерференции) когда:
(ноль амплитуды). Чтобы описать это свойство амплитуд им необходимо дополнительное измерение – фаза. В результате возникает множество трехмерных (цвет, фаза, амплитуда) чисел, которое будет иметь три ноля. Опираясь на опыт, для этих «цветных» чисел можно указать поле операций над ними. То есть, создать систему цветного счисления, которая будет включать в себя существующую (бинарную), в качестве частного случая.
i |
АКМ: |
Исправил запись выделенных формул. Образец: $$ x+y=0 \eqno(1) $$ Центрируются они автоматически. |