Как найти функцию на квадрате,если на отрезке это ф-я Римана

[Oxxy]

Посоветуйте как найти функцию от 2х переменных $g(x_1,x_2)$ на квадрате $[0;1]$, которая бы отображалась в функцию Римана $g(x)$ одной переменной $\frac1n$ если $x$рациональное число; 0, если $x$ иррациональное на отрезке $[0;1]$

Есть идея представить эту функцию так: $x_1=\frac1n$, $x_2={\frac{\frac1m+1}2}+\frac12$
но не знаю насколько это правильно

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены ТеХом

Наберите формулы ТеХом. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

А я еще отрезки оформил

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[gris]

Слова "которая бы отображалась" можно понимать, как угодно в рамках Вашей задачи. Если это понимать как то, что функция должна быть функцией Римана по каждой переменной в отдельности при каждом фиксированном значении второй переменной, то это невозможно. Чему должно быть равно значение функции в точке $(\sqrt {0.5},0.5)$?

[Oxxy]

Изначальная задача была следущая: составить суперпозицию 2х интегрируемых по Риману функций, которые б давали не интегрируемую.
Я решила эту задачу для ф-и Дирихле, которая не интегрируемая по Риману, тогда функции для суперпозиции- внутреняя $g(x)$ ф-я Римана на отреке $[0,1]$ и внешнаяя $f(x)$, которая принимает значение 1, при $0<x\leqslant1$ и 0, при $x=0$.
Но нужно рассмотреть ф-ю $g(x_1,x_2)$ на квадрате, а суперпозиция $f(g(x_1,x_2))$ так же должна давать не интегриюемую ф-ю

[gris]

Идея понятна. Вы хотели сконструировать функцию, которая была равна нулю только в (иррациональных, иррациональных) точках квадрата, непрерывна в них, и через суперпозицию получить как бы индикатор её положительности. Ну тогда можно запустить функции Римана отдельно по вертикали и отдельно по горизонтали и сложить (а лучше умножить).

[Oxxy]

Тогда понятно, если обе координаты иррациональные-значение ф-и 0, если одна рациональная, другая нет-$\frac1n$, а если обе рациональные?

[gris]

тогда $\dfrac 1 {nm}$, например. Лучше сделать ноль, когда хотя бы одна из координат иррациональная. Проще показать интегрируемость.

[Oxxy]

Спасибо, Вам огромное!!!
Теперь поняла: взять произведение от координат

[gris]

Не от координат, а единицу, делённую на произведение знаменателей представления каждой рациональной координаты в виде обыкновенной несократимой для однозначности дроби. И ноль, если хотя бы одна из координат иррациональна. Тогда функция на квадрате получается непрерывной (равной нулю) за исключением точек с двумя рациональными координатами. А что Вы возьмёте в качестве функции-суперпозитора?

[Oxxy]

Я ее еще в точке $(0,0)$ доопределила: равной 1.
А в качестве внешней ф-и для суперпозиции выбрала $f(x)=0, x=0$; и $f(x)=1, 0<x\leqslant1$
Теперь думаю, как доказать разрывность в точках с рациональными координатами, и непрерывность в точках, где хотя бы одна координата иррациональна?

[gris]

Ну чтобы не возиться с разными там дробями, предлагаю радикальный шаг. Точек с обеими рациональными координатами в квадрате счётное множество. Нумеруем их все. И определяем нашу функцию в них, как минус третью степень от номера точки. В остальных точках — ноль.
Функция непрерывна во всех своих нулях. Доказывается так же, как и для функции Римана. И разрывна во всех (рац, рац) точках, то есть на счётном множестве. То есть множество точек разрыва имеет этот самый признак интегрируемости.
Внешняя функция выбрана хорошо. Суперпозиция не интегрируется, доказывается так же как и для одномерной функции Дирихле.

[Oxxy]

А как доказать, что множество точек разрыва имеет меру нуль?

[gris]

Так моё же счётно!
А Ваше принадлежит счётному множеству отрезков.

[Oxxy]

Извиняюсь, не внимательно прочитала Ваше предыдущее сообщение!