производная.

[f(x(t))]

Что такое производная? Тангенс угла наклона или скорость? В первом случае это скаляр, во втором вектор.

[Shtorm]

Так и задачи разные. В первом случае - геометрический смысл производной, а во-втором случае физический смысл производной.

[_Ivana]

О, я скажу! Ибо я (не так давно) путем медитации постиг эту истину
Производная - это причина! А интеграл (первообразная) - следствие :)
Кстати, в свете этого, было бы правильно поменять эти термины местами.

[Shtorm]

f(x(t)), если берём производную от скалярной величины, то производная скаляр, если от векторной величины, то производная -вектор.

[f(x(t))]

Задачи разные, но как одно действие может приводить, в зависимости от желания, к двум разным результатам?
Объясню, зачем спрашиваю - допустим дан ортогональный базис (u,v) и функция от двух переменных - $y=f(u,v)$ не могу понять, как:$(dy/du)(dy/dv)=0$, где $dy/du$ - частная производная
Если бы $dy/du$ было бы вектором, то понятно, скалярное произведение векторов, косинус 90.... но для меня это угол наклона касательной, скаляры, и как получается ноль не понятно.

-- 20.10.2012, 23:14 --

То есть, если берём производную от скалярной функции, вышеприведённое не выполняется?, произведение частных производных не равно нулю?

[Алексей К.]

Производная --- это, скорее, скорость.
И это не всегда традиционный вектор: скорость остывания кастрюли с борщом я так сразу после бани не могу завекторизовать.

И скорость не обязательно в смысле времени. Вот я иду по тропинке, и за 10 метров она отклонилась на 1 градус, за следующие 10 метров --- на два, потом на 5, потом снова выровнялясь. И такую "скорость искривления тропинки" я буду измерять в градусах-на-метр.

Производная превращается в тангенс только тогда, когда я изображу изучаемое явление на бумажке. При этом мои градусы, тонны, километры, кубометры превратятся в сантиметры по оси ординат, а другие метры, секунды, цельсии тоже превратятся в сантиметры по оси абсцисс. И производная превратится в нормальный такой безразмерный тангенс.
У соседа по парте, который будет рассматривать тот же процесс, ту же зависимость, но, возможно, выберет другие масштабы по осям, не пропорциональные моим, этот тангенс может оказаться совсем другим. Но честная производная (в тоннах-на-градус, или ещё какая-то) будет у нас обоих одинакова.

-- 20 окт 2012, 23:21:04 --

Это я отвечал на самый первый вопрос, в свежий пока не въезжал. Кушать хочу.

[CptPwnage]

Вообще у меня такое понимание и как мне кажется, оно довольно строгое:
если есть отображение $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$, то его дифференциал в точке $x_0$ это линейное отображение $df:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$, действующее на векторе $h$, приложенному в точке $x_0$, так, что $f(x_0+h)-f(x_0)=df(h)+o(h)$, производной отображения называется матрица этого линейного отображения. В случае $n=m=1$ это число, в случае $n=1,m=2$ это вектор с двумя компонентами, вектор скорости. Ну а производная составлена из частных производных соответствующих отображений, это естественно скаляры, как в случае $n=m=1$. (когда считаем ч. п. фиксируем все координаты кроме одной, вот так и получается)

[f(x(t))]

Если мы берём в трёхмерном пространстве (x,y,z) какую - нибудь поверхность $z=f(x,y)$ а на ней ортогональный базис (u,v) так, что $z=g(u,v) x = h(u,v), y = k(u,v)$, $dx=(dx/dv)dv+(dx/du)du dy=(dy/dv)dv+(dy/du)du dz=(dz/dv)dv+(dz/du)du$. $(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2 = ((dy/dv)dv+(dy/du)du)^2 +(dy)^2+(dz)^2 = ((dy/dv)dv)^2+ 2(((dy/dv)dv)((dy/du)du))+((dy/du)du)^2 +(dy)^2+(dz)^2$
Значит в случае задания скалярной функции поверхности, $2((dy/dv)dv)((dy/du)du)$ не равно нулю?

-- 21.10.2012, 00:07 --

То Алексей К.
И как Вы обозначите Вашу производную, как отношение $\delta y / \delta x$ графика или как вектор, направленый по касательной от точки касания? Как правильно, ведь это совсем разные вещи?

[alcoholist]

f(x(t)) в сообщении #633305 писал(а):

Если мы берём в трёхмерном пространстве (x,y,z) какую - нибудь поверхность $z=f(x,y)$ а на ней ортогональный базис (u,v)

это бессмыслица

Вероятно, имеется ввиду параметризованная поверхность $r(u,v)$, для которой $r_u\cdot r_v=0$

-- Вс окт 21, 2012 14:10:53 --

f(x(t)) в сообщении #633305 писал(а):

$z=g(u,v) x = h(u,v), y = k(u,v)$, $dx=(dx/dv)dv+(dx/du)du dy=(dy/dv)dv+(dy/du)du dz=(dz/dv)dv+(dz/du)du$. $(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2 = ((dy/dv)dv+(dy/du)du)^2 +(dy)^2+(dz)^2 = ((dy/dv)dv)^2+ 2(((dy/dv)dv)((dy/du)du))+((dy/du)du)^2 +(dy)^2+(dz)^2$
Значит в случае задания скалярной функции поверхности, $2((dy/dv)dv)((dy/du)du)$ не равно нулю?

А это что такое? Частная производная традиционно записывается как $\partial$

\partial

[f(x(t))]

Цитата:

Вероятно, имеется ввиду параметризованная поверхность $r(u,v)$, для которой $r_u\cdot r_v=0$

$ r_u, r_v$ в вашем случае вектора. значит, по аналогии, du и dv тоже должны быть вектора:

$z=g(u,v) x = h(u,v), y = k(u,v)$,

$dx=(\partial x/ \partial v)dv+(\partial x/ \partial u)du$ $dy=( \partial y/ \partial v)dv+( \partial y/ \partial u)du$ $dz=(\partial z/ \partial v)dv+( \partial z/ \partial u)du$

$(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2 = (( \partial y/ \partial v)dv+(\partial y/ \partial u)du)^2 +(dy)^2+(dz)^2 = (( \partial y/ \partial v)dv)^2+ 2(((\partial y/ \partial v)dv)((\partial y/ \partial u)du))+(( \partial y/ \partial u)du)^2 +(dy)^2+(dz)^2$

тогда $2(( \partial y/ \partial v)dv)((\partial y/ \partial u)du)$ равен нулю и вопрос сводится к следующему: всегда ли при задачи базиса задаются единичные вектора? Можно ли задать базис скалярно? Если можно, что происходит в том случае.

И отдельно, в примере Алексея К.
Как обозначить производную, как отношение $\delta y / \delta x$ графика или как вектор, направленный по касательной от точки касания?

Понимаю, что спрашиваю основы, на которые когда - то не обратил внимания, но теперь мне эти пробелы очень мешают. Поэтому прошу всех Участников Форума, будьте добры, наберитесь терпения, объясните что к чему.

[alcoholist]

f(x(t)) в сообщении #633650 писал(а):

$ r_u, r_v$ в вашем случае вектора. значит, по аналогии, du и dv тоже должны быть вектора:

никакой аналогии не вижу

[AKM]

f(x(t)) в сообщении #633650 писал(а):

Как обозначить производную, как отношение

Что значит "как обозначить"? Обозначают её по-разному $f'(x)$, $\frac{df}{dx}, \ldots$, в зависимости от.
Может быть, "как определить"? Ну есть же во всех учебниках $\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$. Всё. Никаких тангенсов.
Может быть, "как нарисовать", "как проиллюстрировать на графике"? Касательная прямая годится (без всяких векторов).

[alcoholist]

f(x(t)) в сообщении #633650 писал(а):

$(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2 = (( \partial y/ \partial v)dv+(\partial y/ \partial u)du)^2 +(dy)^2+(dz)^2 = (( \partial y/ \partial v)dv)^2+ 2(((\partial y/ \partial v)dv)((\partial y/ \partial u)du))+(( \partial y/ \partial u)du)^2 +(dy)^2+(dz)^2$

откуда это?

[f(x(t))]

Цитата:

f(x(t)) в сообщении #633650 писал(а):
$ r_u, r_v$ в вашем случае вектора. значит, по аналогии, du и dv тоже должны быть вектора:


никакой аналогии не вижу

Дифференциал это "прирост" ординаты касательной по отношению к приросту абциссы. То есть $dy = df(r_u, r_v) = f_u '(r_u, r_v) \delta r_u + f_v '(r_u, r_v) \delta r_v $ Если r_u и r_v вектора, то $ \delta r_u$ и $ \delta r_v$ тоже вектора, значит и произведение $ f_u '(r_u, r_v) \delta r_u$ будет вектором.

Цитата:

откуда это?

Исправляю.


$(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2 = (( \partial y/ \partial v)dv+(\partial y/ \partial u)du)^2 +(dx)^2+(dz)^2 = (( \partial y/ \partial v)dv)^2+ 2(((\partial y/ \partial v)dv)((\partial y/ \partial u)du))+(( \partial y/ \partial u)du)^2 +(dx)^2+(dz)^2$

$(dy)^2 = (( \partial y/ \partial v)dv+(\partial y/ \partial u)du)^2 = (( \partial y/ \partial v)dv)^2+ 2(((\partial y/ \partial v)dv)((\partial y/ \partial u)du))+(( \partial y/ \partial u)du)^2$

-- 21.10.2012, 18:30 --

AKM в сообщении #633665 писал(а):

f(x(t)) в сообщении #633650 писал(а):

Как обозначить производную, как отношение

Что значит "как обозначить"? Обозначают её по-разному $f'(x)$, $\frac{df}{dx}, \ldots$, в зависимости от.
Может быть, "как определить"? Ну есть же во всех учебниках $\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$. Всё. Никаких тангенсов.
Может быть, "как нарисовать", "как проиллюстрировать на графике"? Касательная прямая годится (без всяких векторов).

Пускай не тангенс, пропорциональность. Пропорциональность изменения ординаты, относительно абциссы. Но ведь скорость - то вектор, и получается он той самой производной, пропорциональностью, только ещё дополнительно направление имеет.

[alcoholist]

f(x(t)) в сообщении #633678 писал(а):

Исправляю.


$(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2 = (( \partial y/ \partial v)dv+(\partial y/ \partial u)du)^2 +(dx)^2+(dz)^2 = (( \partial y/ \partial v)dv)^2+ 2(((\partial y/ \partial v)dv)((\partial y/ \partial u)du))+(( \partial y/ \partial u)du)^2 +(dx)^2+(dz)^2$

$(dy)^2 = (( \partial y/ \partial v)dv+(\partial y/ \partial u)du)^2 = (( \partial y/ \partial v)dv)^2+ 2(((\partial y/ \partial v)dv)((\partial y/ \partial u)du))+(( \partial y/ \partial u)du)^2$

и что утверждается?