производная.

[DANGER]

Графический смысл производной (это то, что в учебниках по ошибке называют геометрическим смыслом: он приводится не на геометрии, а на графиках функций): если по оси $y$ откладывать значения площади круга, а по оси $x$ - значения радиуса, то каждая точка вертикального отрезка - графическое выражение длины окружности. Точки же, лежащие на графике функции $y=\pi x^2$ - графическое выражение длин окружностей, значения которых численно равны тангенсам угла наклона касательных к этому графику в точках касания.

[DANGER]

Площадь прямоугольника $y\cdot x$ - также функция радиуса: графическое выражение объема цилиндра с высотой, равной радиусу основания. Интеграл Римана - тоже функция радиуса: графическая интерпретация объема конуса с высотой, равной радиусу основания.

-- 22.10.2012, 06:42 --

Отсюда: $\displaystyle y\cdot x=\int ydx+\int xdy$. График функции - есть линия, делящая графический прямоугольник на две площади - графическое изображение двух интегралов.

[Munin]

f(x(t)) в сообщении #633262 писал(а):

Что такое производная? ...В первом случае это скаляр, во втором вектор.

Производная - это, разумеется, ковектор. Впрочем, здесь это говорили уже.

f(x(t)) в сообщении #633650 писал(а):

Как обозначить производную

Во многих разделах математики свои обозначения производной, часто несовместимые между собой.

Алексей К. в сообщении #633754 писал(а):

Автобус едет, и по карте мы легко замеряем 30 км/час по одной оси, и -40 км/час по другой, ортогональной. Получим

$$v=\begin{pmatrix}{30\\-40}\end{pmatrix}.$$

А спидометр (сучара) показывает 50 км/час.

Ну разумеется, спидометр-то показывает величину (модуль) скорости. Чтобы вектор скорости показывать, GPS-навигатор нужен :-)

[f(x(t))]

To DANGER:
Большое спасибо за желание помочь.
Я очень заинтересован Вашим примером с кругом. Раньше я представлял себе производную, как некоторую дополнительную функцию, описывающую поведение первообразной. Ваш же пример несколько изменил моё мнение об этом. Теперь для меня это две равнозначные функции, связанные между собой некоторым соотношением.

Цитата:

то каждая точка вертикального отрезка

Не совсем понятно, какой вертикальный отрезок Вы имеете в виду.
Позже подумаю над Вашем заданием "площадь поверхности шара-объем шара", и отпишусь здесь.

[DANGER]

f(x(t)) в сообщении #635093 писал(а):

Цитата:

то каждая точка вертикального отрезка

Не совсем понятно, какой вертикальный отрезок Вы имеете в виду.
Позже подумаю над Вашем заданием "площадь поверхности шара-объем шара", и отпишусь здесь.

Это "придумал" Декарт. Если мы берем площадь, то некоторые элементы этой площади будут иметь вид отрезков. Если же площадь изобразить в виде отрезка, то те элементы. которые были отрезками в площади, теперь будут иметь вид точек. Подробнее в XIX "Правиле для руководства ума" - Рэне Декарт. Если по оси OY откладывать функцию площади круга (значения в в виде ординат), то точками на этих отрезках будут отображены длины окружностей. Если не поняли, то я начерчу чертеж и приложу.

-- 24.10.2012, 07:05 --

f(x(t)) в сообщении #635093 писал(а):

To DANGER:
Большое спасибо за желание помочь.
Я очень заинтересован Вашим примером с кругом. Раньше я представлял себе производную, как некоторую дополнительную функцию, описывающую поведение первообразной. Ваш же пример несколько изменил моё мнение об этом. Теперь для меня это две равнозначные функции, связанные между собой некоторым соотношением.

Я Вам приведу несколько примеров вида производная - первообразная - аргумент, чтобы вы глубже поняли смысл их связи (без дополнительных объяснений):
- импульс - кинетическая энергия - скорость;
- длина - площадь прямоугольника - ширина;
- проводимость - сила тока - потенциал;
- сила тока - напряжение - сопротивление;
- скорость - путь - время.

Если Вы обратили внимание, то эти выражения подчиняются следующему смысловому ряду:

-причина - следствие - п-с связь.

[Munin]

DANGER в сообщении #635102 писал(а):

Я Вам приведу несколько примеров вида производная - первообразная - аргумент, чтобы вы глубже поняли смысл их связи (без дополнительных объяснений):
- импульс - кинетическая энергия - скорость;
- длина - площадь прямоугольника - ширина;
- проводимость - сила тока - потенциал;
- сила тока - напряжение - сопротивление;
- скорость - путь - время.

Если Вы обратили внимание, то эти выражения подчиняются следующему смысловому ряду:

-причина - следствие - п-с связь.

К сожалению, эти примеры не свободны от критики, а предлагаемая их интерпретация вообще выглядит нелепо, разве только за исключением последнего примера (и то частично). Вы их сами выдумали?

[_Ivana]

DANGER в сообщении #635102 писал(а):

Если Вы обратили внимание, то эти выражения подчиняются следующему смысловому ряду:-причина - следствие - п-с связь.

См. третий пост в этой теме

[Munin]

_Ivana
Вы-то стебётесь, а он серьёзно...

[DANGER]

Munin в сообщении #635117 писал(а):

DANGER в сообщении #635102 писал(а):

Я Вам приведу несколько примеров вида производная - первообразная - аргумент, чтобы вы глубже поняли смысл их связи (без дополнительных объяснений):
- импульс - кинетическая энергия - скорость;
- длина - площадь прямоугольника - ширина;
- проводимость - сила тока - потенциал;
- сила тока - напряжение - сопротивление;
- скорость - путь - время.

Если Вы обратили внимание, то эти выражения подчиняются следующему смысловому ряду:

-причина - следствие - п-с связь.

К сожалению, эти примеры не свободны от критики, а предлагаемая их интерпретация вообще выглядит нелепо, разве только за исключением последнего примера (и то частично). Вы их сами выдумали?

Просмотрел весь Ваш набор слов, но не увидел ни критики, ни доказательства нелепости, так: бла-бла-бла.

-- 24.10.2012, 18:52 --

Если таким, как Вы агрессивно не понятно, что в выражении $\displaystyle\int 2xdx=x^2+C$ справа стоит общий вид функции $\displaystyle y=x^2+C$, где $C$ - это не $\displaystyle C=\int 0dx$ и не $\displaystyle C=\int 0dy$, а $\displaystyle C=\int\limits_0^C dy$, то я тут бессилен, т.к. не имею специального медицинского образования.

[TOTAL]

DANGER в сообщении #635102 писал(а):

Я Вам приведу несколько примеров вида производная - первообразная - аргумент, чтобы вы глубже поняли смысл их связи (без дополнительных объяснений

Чтобы глубже понять, как раз нужны дополнительные объяснения. Это, конечно, если кто-нибудь попросит объяснений.

[Munin]

DANGER в сообщении #635273 писал(а):

Просмотрел весь Ваш набор слов, но не увидел ни критики, ни доказательства нелепости, так: бла-бла-бла.

Я и не стал разливаться, вообще-то и так ясно, что если бы я захотел это сделать, пришлось бы объяснять вам подолгу каждую запятую.

Укажу только одну, самую элементарную вещь: не импульс есть производная энергии по скорости, а скорость есть производная энергии по импульсу. Первое выполняется только при условии, что импульс линейно пропорционален скорости, а второе - всегда.

DANGER в сообщении #635273 писал(а):

я тут бессилен, т.к. не имею специального медицинского образования.

Вы, действительно, бессильны, но по другой причине: вы не имеете специального математического образования. Да и с общим у вас явные проблемы.

[f(x(t))]

Площадь сферы - $4\pi r^2$
Объём сферы - $4/3 \pi r^3$
Продолжая Ваш ряд ролучается: Площадь сферы - объём сферы - радиус

Цитата:

Если по оси OY откладывать функцию площади круга (значения в в виде ординат), то точками на этих отрезках будут отображены длины окружностей.

Что откладываем по второй оси? Отрезки, о которых Вы говорите, это отрезки между графиком функции и осью ОХ?

Если я правильно понял определение криволинейного интеграла первого рода, то он должен оказаться длинной окружности, а интеграл второго рода - площадью. Означает ли это зависимость между криволинейными интегралами?

[Munin]

f(x(t))
Давайте говорить, что площадь - сферы, а объём - шара. Или внутренности сферы. А площадь - можно поверхности шара.

[DANGER]

Munin в сообщении #635295 писал(а):

Укажу только одну, самую элементарную вещь: не импульс есть производная энергии по скорости, а скорость есть производная энергии по импульсу. Первое выполняется только при условии, что импульс линейно пропорционален скорости, а второе - всегда.

Вот этот медицинский факт я и имел в виду (и неправильно, и правильно - типа, "как хочу, так и верчу"). Неужели эта формула так сложна для понимания: $\displaystyle mv=\frac{d\frac{mv^2}{2}}{dv}$ ?

-- 24.10.2012, 21:19 --

f(x(t)) в сообщении #635324 писал(а):

Площадь
Что откладываем по второй оси? Отрезки, о которых Вы говорите, это отрезки между графиком функции и осью ОХ?

Прочтите еще раз. Радиус откладываем. Да, эти отрезки - значения площади круга при определенном значении радиуса. Я позже "набросаю" чертеж и потом выложу скрин.

-- 24.10.2012, 21:25 --

Munin в сообщении #635295 писал(а):

Вы, действительно, бессильны, но по другой причине: вы не имеете специального математического образования.

Да, я счастлив, что мой здравый смысл не искорёжен матанализом.

Цитата:

Да и с общим у вас явные проблемы.

Обычное для Вас: бла-бла-бла...

[Someone]

DANGER в сообщении #635351 писал(а):

Munin в сообщении #635295 писал(а):

Укажу только одну, самую элементарную вещь: не импульс есть производная энергии по скорости, а скорость есть производная энергии по импульсу. Первое выполняется только при условии, что импульс линейно пропорционален скорости, а второе - всегда.

Вот этот медицинский факт я и имел в виду (и неправильно, и правильно - типа, "как хочу, так и верчу"). Неужели эта формула так сложна для понимания: $\displaystyle mv=\frac{d\frac{mv^2}{2}}{dv}$ ?

А как Ваше утверждение работает, если $E=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ и $p=\frac{mv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$?