ПНД (отделен от Принцип наименьшего действия сильно заболел)

[Nymos]

Уважаемые коллеги. Допустим, что мы не считаем хорошей идеей обсуждать в связи с данной темой именно текст господина Юдина. Типа: он наивный, конспирологический, длинный и прочее. ОК.
Тогда, может быть, мы ответим господину Фоку? Текст здесь краткий, конкретный и без тени наива.
Вот просто откроим последнее издание ЛандЛифа, т.1, стр.9 и далее, по пунктам рецензии, написанной скоро как 75 лет назад.
Спасибо.

Парджеттер:

Отделено от темы «Принцип наименьшего действия сильно заболел», отправленной в Пургаторий (Ф)

[Munin]

Ссылку на Фока будьте добры.
(Недостатки конкретного учебника Ландау-Лифшица не обязательно являются недостатками принципа наименьшего действия в форме Гамильтона, которому и лет побольше...)

[Nymos]

Ссылка на Фока есть в тексте статьи инициатора данного обсуждения. Однако извольте: УФН т.28(1946) вып.2-3 с 377-383.
Спасибо.

[Munin]

А что там отвечать Фоку (которого не называли господином)? Он принцип наименьшего действия не критикует, и его замечания к тексту книги Ландау-Пятигорского (сильно изменившемуся в издании Ландау-Лифшица) не имеют ничего общего с лженаучными бреднями автора этой темы. По этой причине, и обсуждать их в этой теме дальше не стоит.

[Nymos]

Я могу ошибаться, но мне кажется, что заслуженный коллега несколько поторопился со своим ответом.
Вот только одна выдержка из рецензии Владимира Алексеевича Фока (которого, все же, называли господином в Петроградском университете в 1916 году), непосредственно относящаяся к теме обсуждения.

В основу построения механики полагается принцип наименьшего дей-
ствия (начало Гамильтона). Авторы исходят здесь из ошибочного представ-
ления, будто при заданных внешних условиях движение вполне определя-
ется координатами начала и конца движения (стр. 152). Что это представ-
ление неверно, особенно ясно видно на примере свободного движения ма-
териальной точки на поверхности шара. Если взять в качестве начальной
и конечной точек два полюса, меридиан, по которому она движется, оста-
нется неопределённым до тех пор, пока не будет указано, направление её
начальной скорости.
На самом деле, когда даны уравнения Лагранжа, движение
определяется начальными координатами и начальными скоростями. А поскольку задание
этих последних не эквивалентно заданию конечных координат, нельзя гово-
рить и об эквивалентности между началом Гамильтона, с одной стороны, и
уравнениями Лагранжа с начальными условиями, с другой стороны.
По этой причине полагать в основу механики принцип наименьшего дейст-
вия едва ли правильно, даже и независимо от того, что этот принцип приме-
ним не ко всем системам. Мы уже не говорим о том, что принцип наимень-
шего действия труднее уравнений движения и что, по нашему мнению, нужно
начинать с более легкого: в вопросах методики возможны разные мнения.
Говоря о принципе наименьшего действия, мы имели в виду известное
экстремальное свойство интеграла действия; исчезновение его первой вариа-
ции. Авторы же понимают это наименование буквально: они считают, что
всегда интеграл действия для действительного движения имеет минималь-
ное значение (стр. 13). Что это неверно, показывает тот же пример дви-
жения точки на шаре. Если начальное и конечное положения не являются
полюсами, то возможно прямое движение и кругосветное. Для прямого,
движения интеграл действия имеет минимум, а для кругосветного —нет.
В общем случае можно утверждать только то, что интеграл действия имеет
стационарное значение в смысле равенства нулю его первой вариации.

В том, что кто-то ошибается, нет никакой новости. Это всем свойственно: и авторам и их оппонентам. Однако, порой, полезно понять, что именно дало повод к ошибке.
Спасибо.

[Munin]

То, что упоминает Фок, давно известно как сопряжённые точки на экстремальной кривой. (Возможно, в 46 году это было ещё не так давно известно, тем более физику Фоку - кстати, 66 лет это далеко не 75.) Однако также известно, что они не мешают пользоваться принципом экстремума при небольших уточнениях. За исключением множества меры нуль формулировки принципа Гамильтона и уравнений Лагранжа остаются равносильными.

Как я уже сказал, продолжать в этой теме не стоит. Если хотите обсудить статью Фока, сделайте это в другой теме.

[Nymos]

Широко известно, что всего один профессионально сформулированный аргумент, в состоянии прекратить прения по любому вопросу. В то время как авторитарное давление скорее задевает чувства автора и подкрепляет его уверенность в собственной правоте, и множит число его сторонников.
Аргумент, основанный на ограниченной компетентности В.А Фока, который заведовал кафедрой Теоретической физики ЛГУ к моменту написания рецензии летом 1941 г. (ее опубликование задержала война), не кажется убедительным. Тем более, что приведенный мною отрывок, лишь один из нескольких, различных по содержанию, негативных оценок данного рецензента в отношении ПНД как основополагающего принципа всей механики.
Спасибо.

[Munin]

Nymos в сообщении #632827 писал(а):

Широко известно, что всего один профессионально сформулированный аргумент, в состоянии прекратить прения по любому вопросу.

Угу, если слушатели достаточно профессиональны, чтобы его понять.

Nymos в сообщении #632827 писал(а):

Аргумент, основанный на ограниченной компетентности В.А Фока, который заведовал кафедрой Теоретической физики ЛГУ к моменту написания рецензии летом 1941 г. (ее опубликование задержала война), не кажется убедительным.

То есть вы того, что я сказал, не поняли. Иначе вопрос был бы не в компетентности Фока, а в сути сказанного.

Nymos в сообщении #632827 писал(а):

Тем более, что приведенный мною отрывок, лишь один из нескольких, различных по содержанию, негативных оценок данного рецензента в отношении ПНД как основополагающего принципа всей механики.

Негативные оценки относятся к учебнику (который, как я уже сказал, был радикально переделан ко второму изданию, возможно, и с учётом замечаний Фока).

[Nymos]

Полагаю, что вполне понял Вас и не заслужил уничижений. Поскольку, возьми я произвольную потоковую задачу (Лоренцеву, для определенности), для которой всегда можно записать и Гамильтониан и Лагранжиан, и произведи варьирование последнего, исходную систему не получу. В авторитетном учебнике помощи по этому вопросу не нахожу. Тогда, я пишу об этом пост и размещаю на компетентном сайте. И вот ответ: объяснение этому есть, но не про твою честь. И точка.
Описанная ситуация – гипотетическая. Она лишь предметно моделирует мое видение данного обсуждения.
Но поскольку ответ на подобные вопросы мне лично известен, то, соответственно, очевидны и пробелы в дидактике. А собеседника – не найти.
Спасибо.

[Munin]

Nymos в сообщении #632915 писал(а):

Поскольку, возьми я произвольную потоковую задачу (Лоренцеву, для определенности), для которой всегда можно записать и Гамильтониан и Лагранжиан, и произведи варьирование последнего, исходную систему не получу.

Что такое "потоковая задача", я не в курсе.

Nymos в сообщении #632915 писал(а):

А собеседника – не найти.

Попробуйте поменьше заноситься.

[Nymos]

Хотелось бы знать, чем так провинился перед наукой месье Френе. Его алгоритм гнобили - гнобили в 19 веке больше 50 лет, пока лишь в начале 20-го допустили к публикации в специальной литературе. Так что герру Герцу и мистеру Хевисайду пришлось самим выводить уравнения сэра Максвелла. А уравнения-то – вот они, написаны в диссертации Френе и защищены в 1847 году.
Получается так, что к электродинамике Френе допущен, хотя и явочным порядком, а к классической механике – нет.
А у нас своя Френе-система есть

dr/ds = v, dv/ds = -r + k(1,s)m, dm/ds = -k(1,s)v + k(2,s)n …

И где здесь сэр Гамильтон с месье Лагранжем? Здесь, скорее, сэр Исаак, - снова здравствуйте.
А все почему? Да потому, что как только физик сказал, что он «не против» интерпретировать траекторию как геометрическую линию, то он может «быть свободен» («скрипач – не нужен», припоминаете?). Раз это векторная линия – значит занимаемая ею площадь, на двумерном отображении каждой векторной поверхности соответствующего векторного поля, имеет меру ноль. А это просто записать с помощью теоремы Стокса, откуда получить связь каждого интеграла движения H(r,H(i)) с соответствующей ему функцией Лагранжа L(r) = [0,0,l(r)]

([rot L(r) x grad H(r)] + ρ(r) grad H(r)).L(r) = 0

В качестве редукции этого выражения, получаем систему обыкновенных дифуров

dr/dr(3) = rot L(r)/ ρ(r)

которая, в частности, при условии dr(1)/dr(3)=r(2), сводится к уравнению Л.Эйлера. Причем, для каких угодно систем: голономных, не голономных, диссипативных, консервативных ets.
Ну и в чем здесь «великая механическая идея»? Ни чем не лучше алгоритма Френе, или любого другого формального алгоритма начертания искривленной линии.

Спасибо.

[Nymos]

Великодушно прошу простить.

Правка:

«..систему обыкновенных диффуров

dr(1)/dr(3) = dl(r)/dr(2))/ρ(r), dr(2)/dr(3) = dl(r)/dr(1))/ρ(r),»

[photon]

Nymos, используйте для записи формул тег math: «Краткий ФАК по тегу [math].»

[Munin]

Жду, когда сообщения post633096.html#p633096 post633123.html#p633123 будут переписаны:
с нормальным оформлением формул (в том числе с пояснениями по нетипичным обозначениям)
со ссылками на литературу, хотя бы учебную, а не с туманными намёками на "месье Френе", "сэра Гамильтона" и под.

[Oleg Zubelevich]

Nymos в сообщении #632774 писал(а):

В основу построения механики полагается принцип наименьшего дей-
ствия (начало Гамильтона). Авторы исходят здесь из ошибочного представ-
ления, будто при заданных внешних условиях движение вполне определя-
ется координатами начала и конца движения (стр. 152). Что это представ-
ление неверно, особенно ясно видно на примере свободного движения ма-
териальной точки на поверхности шара. Если взять в качестве начальной
и конечной точек два полюса, меридиан, по которому она движется, оста-
нется неопределённым до тех пор, пока не будет указано, направление её
начальной скорости.

Принцип Гамильтона локально эквивалентен уравнениям Лагранжа в следующем смысле. Если система натуральна, то при достаточно близких концах $q_1,q_2$ и достаточно коротких интервалах времени $|t_2-t_1|,\quad q(t_i)=q_i$ минимум функционала действия $\int_{t_1}^{t_2}Ldt$ существует и единтственен.
Что, конечно, не снимает претензий к ЛЛ