Длительное наблюдение за нелинейным процессом

[spctr]

Хм, интересно. А в теории управления обычно отдельно выделяют статическую нелинейность, полилинейную, полиномиальную, и общего вида.

[Munin]

А как это - полилинейная нелинейность?

[spctr]

Если все переменные зафиксировать, то уравнение по оставшейся переменной будет линейным. По сути просто перемножение переменных первой степени. По английски multilinear. Как пример уравнения Лоренца
$\begin{cases} \dot x = \sigma (y - x) \\ \dot y = x (r - z) - y \\ \dot z = x y - b z \end{cases}$
содержат полилинейную нелинейность в третьем уравнении.
Может математики поправят, как это правильно называется. Полилинейная форма?

[Munin]

Думаю, каким-нибудь преобразованием координат тут можно перейти к обычным квадратам и кубам.

[spctr]

Возможно. Но для целей управления это практически не имеет смысла, да и при наличии управления скорее всего тут можно провести линеаризацию обратной связью, что более привлекательно, чем иметь дело с квадратичными нелинейностями. Впрочем это уже оффтоп.

[Munin]

spctr в сообщении #617717 писал(а):

Но для целей управления это практически не имеет смысла

Ну вот. А математика занимается не этим практическим смыслом. Представьте себе, если бы мы гиперболу $x^2-y^2=2$ и $xy=1$ считали разными кривыми, и пытались рассматривать разными методами и аппаратами.

[profrotter]

statistonline в сообщении #617537 писал(а):

Буду говорить о процессе, в котором интересующая нас величина нелинейно зависит от времени.

Ой, представляется мне, что Вы все процессы делите на два класса: процессы, характеристика которых описывется законом $y(t)=at+b$, и все остальные. При этом хотите приписать всем остальным процессам некое общее свойство. Не слишком ли замахнулись? Что, например, насчёт $y(t)=at^2+bt+c$?

[statistonline]

profrotter в сообщении #617773 писал(а):

Ой, представляется мне, что Вы все процессы делите на два класса: процессы, характеристика которых описывется законом , и все остальные. При этом хотите приписать всем остальным процессам некое общее свойство. Не слишком ли замахнулись? Что, например, насчёт ?

Я, наверное, о другом совершенно думал. А именно вот о чем: мне нужно выявлять нелинейные корреляционные зависимости (во избежании тыкания носом опять - процессы, в которых величина статистически зависит от времени нелинейно). Я попытался использовать метод, предложенный Секеем (Gabor J. Szekely. "Brownian distance covariance"), через исследование так называемой броуновской ковариации и броуновской корреляции (дать ссылку не могу, так как в тырнете этих статей я не нашел, но желающим ознакомиться могу отослать на почту). Этот метод, судя по статьям, дает хорошее выявление нелинейности. Я применил его к своему случаю и получил коэффициент броуновской корреляции в 0,32 там, где, я точно знаю, корреляция гораздо более сильная, во всяком случае не меньше 0,50. Интервалы наблюдений за величиной у меня очень большие, более 3-х лет. И вот мне надо понять, метод здесь не работает или лыжи по другой причине не едут . Могу ли я сначала разбить все наблюдения на группы и проверить такое разбиение? Точнее, имею ли я право считать такое разбиение признаком нелинейной зависимости.

-- 12.09.2012, 09:43 --

shwedka в сообщении #617650 писал(а):

ЕСли процесс линейный в Вашем определении,
то он уходит на бесконечность со временем, и потому все статистические характеристики теряют смысл

Согласен, но мне нужно доказывать линейность или нелинейность, а не просто увидеть, что график пополз далеко наверх или вниз. И, наверное, зря я упомянул про inf. Мне достаточно значительно меньшего промежутка.

[shwedka]

statistonline в сообщении #617783 писал(а):

мне нужно доказывать линейность или нелинейность

Приходится повторить вопрос.
Что такое линейность и нелинейность?
Попробуйте формулами записать.

[statistonline]

shwedka в сообщении #617797 писал(а):

Попробуйте формулами записать

я попробую. Линейность в моем случае будет означать зависимость $A(t)=kt+b$, и эта зависимость легко обнаружится по коэффициенту корреляции Пирсона. Нелинейность - все остальное. Мне не нужно точно установить вид зависимости - квадратичная, кубическая или гиперболическая. Мне нужно доказать, что последовательность наблюдений не относится к первому случаю, и пока все. Можно, конечно, показать, что величина коэффициента корреляции незначима, но это ведь не доказательство нелинейности зависимости?

[shwedka]

statistonline в сообщении #617847 писал(а):

зависимость легко обнаружится по коэффициенту корреляции Пирсона.

а зачем так мудрить, Пирсона нагружать. По двум наблюдениям проведите прямую, а затем курите и проверяйте, лежат ли остальные точки на этой прямой.
Или, если угодно,
Посчитайте
$k_j=\frac{A(t_j)-A(t_1)}{t_j-t_1}$
Если все эти числа равны, то линейно, если не все, то нелинейно. Науки никакой не нужно.

[statistonline]

shwedka в сообщении #617908 писал(а):

Если все эти числа равны, то линейно, если не все, то нелинейно. Науки никакой не нужно

Но разброс всегда присутствует. Практически ничего идеально на прямой лежать не будет. И значения $k_j$ я проверял, они распределены бимодально на достаточно широком интервале.

[shwedka]

statistonline в сообщении #617927 писал(а):

Практически ничего идеально на прямой лежать не будет

Приходится аново требовать у Вас определение линейного процесса. В том что было дано ранее, ничего о 'практически' не было.

[hurtsy]

statistonline в сообщении #617847 писал(а):

в моем случае будет означать зависимость $A(t)=kt+b$

А ваш процесс зависит только от времени, или есть ещё не учитываемые степени свободы. Лучше их учесть, найти коэффициенты линейной модели методом наименьших квадратов и после этого подбирайте вид нелинейности. С уважением.

[statistonline]

hurtsy в сообщении #618177 писал(а):

А ваш процесс зависит только от времени, или есть ещё не учитываемые степени свободы. Лучше их учесть, найти коэффициенты линейной модели методом наименьших квадратов и после этого подбирайте вид нелинейности. С уважением.

Это физиологический процесс. Конечно, величина в нем будет зависеть еще от много чего. Подбирать виды нелинейности я могу, но мне хотелось бы сразу по какому-то критерию доказывать нелинейность.

shwedka в сообщении #617948 писал(а):

Приходится аново требовать у Вас определение линейного процесса. В том что было дано ранее, ничего о 'практически' не было

Мы (я) опять в тупике. Я решил попробовать метод Секея на модельных данных. Посмотрю, что он тут дает.