2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Длительное наблюдение за нелинейным процессом
Сообщение10.09.2012, 15:47 


06/09/12
890
Скажите, кто разбирается (у меня преподаватель не стал особо разбираться), возможна ли такая ситуация:
если мы достаточно долго (в пределе при t $\mapsto$ inf) наблюдаем за неким параметром системы, который, к примеру, гармонически (или схожим образом) зависит от времени, то значит ли это, что большая часть наблюдений будет приходиться на критические точки? Ведь вблизи них скорость изменения параметра замедляется, и система находится в окрестности этих точек большую часть времени? А значит и вероятность наугад выбрать именно эту окрестность - выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длительное наблюдение за нелинейным процессом
Сообщение10.09.2012, 18:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Я так понимаю, нелинейность тут ни при чём.

Да, маятник больше времени проводит вблизи крайних положений, чем в центре. Если мы будем с равной вероятностью проводить наблюдения в каждый равный интервал $\delta t,$ то на них будет приходиться отрезок параметра $\delta x=\tfrac{dx}{dt}\,\delta t.$ Поскольку у нас процесс, к счастью, периодический, то вероятность обнаружить параметр на данном отрезке за всё время, равна вероятности обнаружить его там, за один период (а для гармонического маятника - даже за полпериода). Функция плотности вероятности будет обратно пропорциональна длине отрезков, на которые приходится равная вероятность: $f(x)\sim\bigl(\tfrac{dx}{dt}\bigr)^{-1}.$ Для гармонического маятника получается $(\arcsin x)'=\tfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$:

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Длительное наблюдение за нелинейным процессом
Сообщение11.09.2012, 10:00 


06/09/12
890
Munin в сообщении #617095 писал(а):
Я так понимаю, нелинейность тут ни при чём.

Как это ни при чем? Как раз нелинейность процесса и позволяет наблюдать чаще процесс вблизи критических точек, нежели вдали от них.
Просто вот о чем я подумал: если мы получаем выборку по наблюдениям за неким процессом, и существует значимое разбиение этих наблюдений на некоторое количество групп (например, с помощью дискриминантного или кластерного анализа), то будет ли это служить подтверждением нелинейности нашего процесса?

 Профиль  
                  
 
 Re: Длительное наблюдение за нелинейным процессом
Сообщение11.09.2012, 13:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
statistonline в сообщении #617296 писал(а):
Munin в сообщении #617095 писал(а):
Я так понимаю, нелинейность тут ни при чём.

Как это ни при чем? Как раз нелинейность процесса и позволяет наблюдать чаще процесс вблизи критических точек, нежели вдали от них.
Просто вот о чем я подумал: если мы получаем выборку по наблюдениям за неким процессом, и существует значимое разбиение этих наблюдений на некоторое количество групп (например, с помощью дискриминантного или кластерного анализа), то будет ли это служить подтверждением нелинейности нашего процесса?

Содержательное обсуждение может начаться после того, как ТС определит, какие процессы он называет нелинейными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длительное наблюдение за нелинейным процессом
Сообщение11.09.2012, 16:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
statistonline в сообщении #617296 писал(а):
Как это ни при чем? Как раз нелинейность процесса и позволяет наблюдать чаще процесс вблизи критических точек, нежели вдали от них.

Колебания гармонического маятника - линейный процесс. Он возникает как решение линейного дифференциального уравнения $\ddot{x}+\omega^2 x=0.$ Нелинейным процессом называется (абсолютно общепринято) процесс, возникающий как решение нелинейного уравнения, например, (минимальная нелинейность - кубическая) $\ddot{x}+\omega^2 x+\alpha x^3=0.$

statistonline в сообщении #617296 писал(а):
Просто вот о чем я подумал: если мы получаем выборку по наблюдениям за неким процессом, и существует значимое разбиение этих наблюдений на некоторое количество групп (например, с помощью дискриминантного или кластерного анализа), то будет ли это служить подтверждением нелинейности нашего процесса?

Сначала научитесь тому, что такое нелинейность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длительное наблюдение за нелинейным процессом
Сообщение11.09.2012, 19:05 


06/09/12
890
Munin в сообщении #617481 писал(а):
Сначала научитесь тому, что такое нелинейность

Хорошо, научился. Буду говорить о процессе, в котором интересующая нас величина нелинейно зависит от времени. Моего вопроса выше это не снимает: будет ли такое разбиение служить подтверждением нелинейной зависимости величины от времени?

 Профиль  
                  
 
 Re: Длительное наблюдение за нелинейным процессом
Сообщение11.09.2012, 19:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Да, очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длительное наблюдение за нелинейным процессом
Сообщение11.09.2012, 19:35 


06/09/12
890
А существует ли критерий, по которому оценивается подобным образом нелинейность такой зависимости? Ну, например, по расстоянию между центрами таких разбиений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длительное наблюдение за нелинейным процессом
Сообщение11.09.2012, 19:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ну подумайте, зависимость вам буквально даёт производную по времени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длительное наблюдение за нелинейным процессом
Сообщение11.09.2012, 22:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
ЕСли процесс линейный в Вашем определении,
то он уходит на бесконечность со временем, и потому все статистические характеристики теряют смысл

 Профиль  
                  
 
 Re: Длительное наблюдение за нелинейным процессом
Сообщение11.09.2012, 22:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
shwedka
Или речь идёт об ограниченном интервале времени. Например, поезд Москва-Одесса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длительное наблюдение за нелинейным процессом
Сообщение11.09.2012, 22:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Или..
ТС употребляет термины без понятия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длительное наблюдение за нелинейным процессом
Сообщение11.09.2012, 22:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ну а чо поделать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длительное наблюдение за нелинейным процессом
Сообщение11.09.2012, 22:52 


01/05/11
79
Munin в сообщении #617481 писал(а):
минимальная нелинейность - кубическая


Вот это место можно поподробнее? Почему именно кубическая? То есть решение уравнения $\dot{x}=kx^2$ будет линейным?

 Профиль  
                  
 
 Re: Длительное наблюдение за нелинейным процессом
Сообщение11.09.2012, 23:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Точно, наверное, минимальная будет всё-таки второй степени. Кубическую часто вводят, когда из каких-то соображений оставляют ту же чётность, что у исходного уравнения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group