Два варианта уравнения ВТФ

[Mathusic]

Belfegor
У вас цитата некорректная: вы не мой пост цитируете

[Belfegor]

Mathusic в сообщении #603199 писал(а):

Belfegor
У вас цитата некорректная: вы не мой пост цитируете

Приношу извинения Уважаемый Mathusic. Техническая накладка!

-- Вс авг 05, 2012 17:04:45 --

tormans в сообщении #603184 писал(а):

Предлагаю несколько иной вариант:
$(5+a)^3 - a^3 =b^3$, где $a$ -четное число.
Раскрыв бином Ньютона, вычтя $a^3$ и вынеся за скобки число
$5$, получим: $5(25 +15a +3a^2)= b^3$.
Если $a$ не кратно $5$, $b$ - дробное число.
В общем случае: $(5+a)^n - a^n = b^n$ не имеет решения в целых числах. Если $n=5$, за скобки выносится $5^2$.
Еще более общий случай: $(5k+a)^n - a^n = b^n$, где $k$ - нечетное число. Это уравнение также не имеет решения в целых числах.
P.S. Если бы представленные мною варианты были известны, они несомненно были бы зафиксированы в математических источниках.

1.А как насчет 7?

2.За математические источники сказать ничего не могу, их такое множество...

[tormans]

В общем случае уравнение
$(mk+a)^n - a^n = b^n$, где $m$ - простое число, $k$ - нечетное число, не имеет решения в целых числах.
Обращаю внимание, что сумма слагаемых $mx +my + mz+...+mu +v$, где $m$ - простое число, а число $v$ не кратно числу $m$, не делится на число $m$. По этой причине приведенное уравнение не имеет решения в целых числах. Это и есть, по существу, общее доказательство ВТФ.

[tormans]

Уравнение $(mk+a)^n - a^n = b^n$ не имеет решения в целых числах и в случае, если $m = p^r$, где $p$ - простое или составное нечетное число, $r<n$ или $r\ne tn$, где $t$ - целое число. Разумеется, что число $k$ не кратно числу $m$. При этом нечетное число $k$ может быть простым или составным, состоящим из простых сомножителей в любой степени.
P.S. Если я ничего не упустил из виду, то получается, что я доказал ВТФ.

[Jnrty]

tormans в сообщении #603335 писал(а):

Если я ничего не упустил из виду, то получается, что я доказал ВТФ.

Согласно правилам форума, Вы должны написать полное доказательство для третьей степени.

[Mathusic]

tormans в сообщении #603324 писал(а):

Это и есть, по существу, общее доказательство ВТФ.

tormans в сообщении #603335 писал(а):

Уравнение $(mk+a)^n - a^n = b^n$ не имеет решения в целых числах и в случае, если $m = p^r$, где $p$ - простое или составное нечетное число, $r<n$ или $r\ne tn$, где $t$ - целое число. Разумеется, что число $k$ не кратно числу $m$. При этом нечетное число $k$ может быть простым или составным

Для начала ответьте на вопросы: почему уравнение ВТФ всегда представимо в таком виде?
Как у вас используется то, что $n > 2$?

[tormans]

Доказываю:
$(mk + a)^3 - a^3 = b^3$
$(mk + a)^3 - a^3 = (mk)^3 + 3(mk)^2a +3(mk)a^2 + a^3 - a^3= mk[(mk)^2 ++ 3(mk)a + 3a^2] = b^3$
Слагаемое $3a^2$ не содержит сомножитель $(mk)$, следовательно, сумма слагаемых в квадратных скобках не делится на $(mk)$. Следовательно, корень кубической из алгебраического выражения
$mk [(mk)^2 + 3(mk)a + 3a^2]$ с учетом приведенных ранее разъяснений по числам $m$ и $k$ дробное число.

[Mathusic]

tormans в сообщении #603379 писал(а):

Доказываю:

Нет, погодите. Сначала докажите, что всякое уравнение ВТФ представляется в таком виде!

[tormans]

Mathusic-y
Уравнение ВТФ $c^n = a^n + b^n$ запишем следующим образом:
$c^n - a^n = b^n$
Если числа взаимно простые, то по аналогии с теоремой Пифагора одно из чисел $a, b$ четное, другое нечетное, $c$ - большее из чисел всегда нечетное число. Я принял, что $a$ -четное число.
Поэтому число $c$ можно всегда записать как разность $c - a = mk$ или как сумму
$c = mk + a$. В частном случае разность $c - a =d $, где $d$ простое число. Но это ничего не меняет: тогда $m = d$, $k = 1$
Можно исходить из того, что числа $a, c$ оба нечетные, но это ничего не меняет в доказательстве.

[Jnrty]

tormans в сообщении #603400 писал(а):

по аналогии с теоремой Пифагора одно из чисел $a, b$ четное, другое нечетное

Это откуда взялась такая "аналогия"?

И где полное доказательство для третьей степени?

[Mathusic]

tormans в сообщении #603379 писал(а):

Слагаемое $3a^2$ не содержит сомножитель $(mk)$

За исключением того случая, когда $m=3,k=1$ (этот случай доказывается тривиально), но это неважно, так как вторая посылка тоже неверная.

Ну хорошо, у нас есть $mk[(mk)^2 + 3(mk)a + 3a^2] = b^3,$ где $m$ - простое, $k$ - нечётное (притом $(a,mk)=1$). Почему квадратная скобка обязана делиться на $mk$?

Да и к тому, же, как уже заметили, вы рассматриваете уравнение ВТФ когда "сигнатура" такая: (чет, нечет, нечет). Почему невозможно (нечет, нечет, чет)?

[Belfegor]

tormans в сообщении #603335 писал(а):

P.S. Если я ничего не упустил из виду, то получается, что я доказал ВТФ.

Поздравляю Уважаемый tormans! Значит нельзя мы тут подискутировали, в споре и родилась истина

tormans в сообщении #603379 писал(а):

$(mk + a)^3 - a^3 = b^3$
$(mk + a)^3 - a^3 = (mk)^3 + 3(mk)^2a +3(mk)a^2 + a^3 - a^3= mk[(mk)^2 ++ 3(mk)a + 3a^2] = b^3$

У Вас произведение двух взаимно простых чисел равно кубу. Не следует ли отсюда, что каждое из чисел является полным кубом?

-- Пн авг 06, 2012 20:44:23 --

tormans в сообщении #603379 писал(а):

$(mk + a)^3 - a^3 = b^3$
$(mk + a)^3 - a^3 = (mk)^3 + 3(mk)^2a +3(mk)a^2 + a^3 - a^3= mk[(mk)^2 ++ 3(mk)a + 3a^2] = b^3$

Как насчет вот этого случая:

$$(1 + a)^3 - a^3 = b^3$$

раскроем скобки и получим:

$$3a^2 + 3a +1= b^3$$

[ishhan]

Mathusic в сообщении #603388 писал(а):

Доказываю:
$(mk + a)^3 - a^3 = b^3$
$(mk + a)^3 - a^3 = (mk)^3 + 3(mk)^2a +3(mk)a^2 + a^3 - a^3= mk[(mk)^2 ++ 3(mk)a + 3a^2] = b^3$
Слагаемое $3a^2$ не содержит сомножитель $(mk)$, следовательно, сумма слагаемых в квадратных скобках не делится на $(mk)$. Следовательно, корень кубической из алгебраического выражения
$mk [(mk)^2 + 3(mk)a + 3a^2]$ с учетом приведенных ранее разъяснений по числам $m$ и $k$ дробное число.

Круто!
Но, если обозначить "родными" символами
$x=mk$

$y=a$
то Вам в одну строчку удалось доказать, что выражение
$x^3+3x^2y+3xy^2$
не может быть кубом целого числа!
У Вас ошибочка где-то гуляет это факт.
P.S. А по поводу самого первого поста, вроде все правильно.
Мне нравится:)

[Belfegor]

tormans в сообщении #603379 писал(а):

Доказываю:
$(mk + a)^3 - a^3 = b^3$
$(mk + a)^3 - a^3 = (mk)^3 + 3(mk)^2a +3(mk)a^2 + a^3 - a^3= mk[(mk)^2 ++ 3(mk)a + 3a^2] = b^3$
Слагаемое $3a^2$ не содержит сомножитель $(mk)$, следовательно, сумма слагаемых в квадратных скобках не делится на $(mk)$. Следовательно, корень кубической из алгебраического выражения
$mk [(mk)^2 + 3(mk)a + 3a^2]$ с учетом приведенных ранее разъяснений по числам $m$ и $k$ дробное число.

А для 2-ой степени?
$(mk + a)^2 - a^2 = b^2$
$(mk + a)^2 - a^2 = (mk)^2 + 2(mk)a + a^2 - a^2= mk[(mk)+ 2a ] = b^2$
Слагаемое $2a$ не содержит сомножитель $(mk)$, следовательно, сумма слагаемых в квадратных скобках не делится на $(mk)$. Следовательно, корень квадратный из алгебраического выражения
$mk[(mk)+ 2a ]$ с учетом приведенных ранее разъяснений по числам $m$ и $k$ дробное число. Теорема Пифагора не верна?

-- Пн авг 06, 2012 21:39:32 --

ishhan в сообщении #603545 писал(а):

Круто!
Но, если обозначить "родными" символами
$x=mk$

$y=a$
то Вам в одну строчку удалось доказать, что выражение
$x^3+3x^2y+3xy^2$
не может быть кубом целого числа!
У Вас ошибочка где-то гуляет это факт.
P.S. А по поводу самого первого поста, вроде все правильно.
Мне нравится:)

Уважаемый ishhan! Вы что же за столько лет не рассмотрели ни разу ВТФ вот в таком виде:
$(y+k)^3+y^3=x^3$
или в общем виде:
$(y+k)^n+y^n=x^n$

[ishhan]

Belfegor в сообщении #603552 писал(а):

Уважаемый ishhan! Вы что же за столько лет не рассмотрели ни разу ВТФ вот в таком виде:
$(y+k)^3+y^3=x^3$
или в общем виде:
$(y+k)^n+y^n=x^n$

Я знаю ещё восемь эквивалентных способов записи ВТФ (в общем виде) для не чётных простых показателей и в частности для n=3:
$x^3+y^3=z^3$
и его пара:
$(x+y-z)^3=3(x+y)(z-x)(z-y)$
Затем следуют ещё три парочки:
1)$(x+y-z)^3=x^3+y^3$
и
$z^3=3(x+y)(z-x)(z-y) $

2)$(x+y-z)^3+z^3=y^3$
и
$-x^3=3(x+y)(z-x)(z-y)$

3)$(x+y-z)^3+z^3=x^3$
и
$-y^3=3(x+y)(z-x)(z-y)$

Способ о котором Вы говорите впервые рассматривал К.Ф.Гаусс
Ваш любимый частный случай $z-y=1$ не в счёт