2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Два варианта уравнения ВТФ
Сообщение05.08.2012, 15:25 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
Belfegor
У вас цитата некорректная: вы не мой пост цитируете :evil:

 Профиль  
                  
 
 Re: Два варианта уравнения ВТФ
Сообщение05.08.2012, 16:03 


16/08/09
304
Mathusic в сообщении #603199 писал(а):
Belfegor
У вас цитата некорректная: вы не мой пост цитируете :evil:


Приношу извинения Уважаемый Mathusic. Техническая накладка! :shock:

-- Вс авг 05, 2012 17:04:45 --

tormans в сообщении #603184 писал(а):
Предлагаю несколько иной вариант:
$(5+a)^3 - a^3 =b^3$, где $a$ -четное число.
Раскрыв бином Ньютона, вычтя $a^3$ и вынеся за скобки число
$5$, получим: $5(25 +15a +3a^2)= b^3$.
Если $a$ не кратно $5$, $b$ - дробное число.
В общем случае: $(5+a)^n - a^n = b^n$ не имеет решения в целых числах. Если $n=5$, за скобки выносится $5^2$.
Еще более общий случай: $(5k+a)^n - a^n = b^n$, где $k$ - нечетное число. Это уравнение также не имеет решения в целых числах.
P.S. Если бы представленные мною варианты были известны, они несомненно были бы зафиксированы в математических источниках.


1.А как насчет 7?

2.За математические источники сказать ничего не могу, их такое множество...

 Профиль  
                  
 
 Re: Два варианта уравнения ВТФ
Сообщение06.08.2012, 08:10 
Заблокирован


21/07/12

21
В общем случае уравнение
$(mk+a)^n - a^n = b^n$, где $m$ - простое число, $k$ - нечетное число, не имеет решения в целых числах.
Обращаю внимание, что сумма слагаемых $mx +my + mz+...+mu +v$, где $m$ - простое число, а число $v$ не кратно числу $m$, не делится на число $m$. По этой причине приведенное уравнение не имеет решения в целых числах. Это и есть, по существу, общее доказательство ВТФ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два варианта уравнения ВТФ
Сообщение06.08.2012, 10:39 
Заблокирован


21/07/12

21
Уравнение $(mk+a)^n - a^n = b^n$ не имеет решения в целых числах и в случае, если $m = p^r$, где $p$ - простое или составное нечетное число, $r<n$ или $r\ne tn$, где $t$ - целое число. Разумеется, что число $k$ не кратно числу $m$. При этом нечетное число $k$ может быть простым или составным, состоящим из простых сомножителей в любой степени.
P.S. Если я ничего не упустил из виду, то получается, что я доказал ВТФ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два варианта уравнения ВТФ
Сообщение06.08.2012, 11:26 
Модератор


16/01/07
1567
Северодвинск
tormans в сообщении #603335 писал(а):
Если я ничего не упустил из виду, то получается, что я доказал ВТФ.
Согласно правилам форума, Вы должны написать полное доказательство для третьей степени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два варианта уравнения ВТФ
Сообщение06.08.2012, 13:17 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
tormans в сообщении #603324 писал(а):
Это и есть, по существу, общее доказательство ВТФ.

tormans в сообщении #603335 писал(а):
Уравнение $(mk+a)^n - a^n = b^n$ не имеет решения в целых числах и в случае, если $m = p^r$, где $p$ - простое или составное нечетное число, $r<n$ или $r\ne tn$, где $t$ - целое число. Разумеется, что число $k$ не кратно числу $m$. При этом нечетное число $k$ может быть простым или составным

Для начала ответьте на вопросы: почему уравнение ВТФ всегда представимо в таком виде?
Как у вас используется то, что $n > 2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Два варианта уравнения ВТФ
Сообщение06.08.2012, 13:27 
Заблокирован


21/07/12

21
Доказываю:
$(mk + a)^3 - a^3 =  b^3$
$(mk + a)^3 - a^3 = (mk)^3 + 3(mk)^2a +3(mk)a^2 + a^3 - a^3= mk[(mk)^2 ++ 3(mk)a + 3a^2] = b^3$
Слагаемое $3a^2$ не содержит сомножитель $(mk)$, следовательно, сумма слагаемых в квадратных скобках не делится на $(mk)$. Следовательно, корень кубической из алгебраического выражения
$mk [(mk)^2 + 3(mk)a + 3a^2]$ с учетом приведенных ранее разъяснений по числам $m$ и $k$ дробное число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два варианта уравнения ВТФ
Сообщение06.08.2012, 13:38 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
tormans в сообщении #603379 писал(а):
Доказываю:

Нет, погодите. Сначала докажите, что всякое уравнение ВТФ представляется в таком виде! :evil:

 Профиль  
                  
 
 Re: Два варианта уравнения ВТФ
Сообщение06.08.2012, 14:00 
Заблокирован


21/07/12

21
Mathusic-y
Уравнение ВТФ $c^n = a^n + b^n$ запишем следующим образом:
$c^n - a^n = b^n$
Если числа взаимно простые, то по аналогии с теоремой Пифагора одно из чисел $a, b$ четное, другое нечетное, $c$ - большее из чисел всегда нечетное число. Я принял, что $a$ -четное число.
Поэтому число $c$ можно всегда записать как разность $c -  a = mk$ или как сумму
$c = mk + a$. В частном случае разность $c - a =d $, где $d$ простое число. Но это ничего не меняет: тогда $m = d$, $k = 1$
Можно исходить из того, что числа $a, c$ оба нечетные, но это ничего не меняет в доказательстве.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два варианта уравнения ВТФ
Сообщение06.08.2012, 15:21 
Модератор


16/01/07
1567
Северодвинск
tormans в сообщении #603400 писал(а):
по аналогии с теоремой Пифагора одно из чисел $a, b$ четное, другое нечетное
Это откуда взялась такая "аналогия"?

И где полное доказательство для третьей степени?

 Профиль  
                  
 
 Re: Два варианта уравнения ВТФ
Сообщение06.08.2012, 15:38 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
tormans в сообщении #603379 писал(а):
Слагаемое $3a^2$ не содержит сомножитель $(mk)$

За исключением того случая, когда $m=3,k=1$ (этот случай доказывается тривиально), но это неважно, так как вторая посылка тоже неверная.

Ну хорошо, у нас есть $mk[(mk)^2 + 3(mk)a + 3a^2] = b^3,$ где $m$ - простое, $k$ - нечётное (притом $(a,mk)=1$). Почему квадратная скобка обязана делиться на $mk$?

Да и к тому, же, как уже заметили, вы рассматриваете уравнение ВТФ когда "сигнатура" такая: (чет, нечет, нечет). Почему невозможно (нечет, нечет, чет)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Два варианта уравнения ВТФ
Сообщение06.08.2012, 19:32 


16/08/09
304
tormans в сообщении #603335 писал(а):
P.S. Если я ничего не упустил из виду, то получается, что я доказал ВТФ.


Поздравляю Уважаемый tormans! Значит нельзя мы тут подискутировали, в споре и родилась истина :wink:

tormans в сообщении #603379 писал(а):
$(mk + a)^3 - a^3 = b^3$
$(mk + a)^3 - a^3 = (mk)^3 + 3(mk)^2a +3(mk)a^2 + a^3 - a^3= mk[(mk)^2 ++ 3(mk)a + 3a^2] = b^3$


У Вас произведение двух взаимно простых чисел равно кубу. Не следует ли отсюда, что каждое из чисел является полным кубом?

-- Пн авг 06, 2012 20:44:23 --

tormans в сообщении #603379 писал(а):
$(mk + a)^3 - a^3 = b^3$
$(mk + a)^3 - a^3 = (mk)^3 + 3(mk)^2a +3(mk)a^2 + a^3 - a^3= mk[(mk)^2 ++ 3(mk)a + 3a^2] = b^3$


Как насчет вот этого случая:
$$(1 + a)^3 - a^3 = b^3$$
раскроем скобки и получим:

$$3a^2 + 3a +1= b^3$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Два варианта уравнения ВТФ
Сообщение06.08.2012, 19:58 


21/11/10
546
Mathusic в сообщении #603388 писал(а):
Доказываю:
$(mk + a)^3 - a^3 = b^3$
$(mk + a)^3 - a^3 = (mk)^3 + 3(mk)^2a +3(mk)a^2 + a^3 - a^3= mk[(mk)^2 ++ 3(mk)a + 3a^2] = b^3$
Слагаемое $3a^2$ не содержит сомножитель $(mk)$, следовательно, сумма слагаемых в квадратных скобках не делится на $(mk)$. Следовательно, корень кубической из алгебраического выражения
$mk [(mk)^2 + 3(mk)a + 3a^2]$ с учетом приведенных ранее разъяснений по числам $m$ и $k$ дробное число.



Круто!
Но, если обозначить "родными" символами
$x=mk$

$y=a$
то Вам в одну строчку удалось доказать, что выражение
$x^3+3x^2y+3xy^2$
не может быть кубом целого числа!
У Вас ошибочка где-то гуляет это факт.
P.S. А по поводу самого первого поста, вроде все правильно.
Мне нравится:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Два варианта уравнения ВТФ
Сообщение06.08.2012, 20:07 


16/08/09
304
tormans в сообщении #603379 писал(а):
Доказываю:
$(mk + a)^3 - a^3 = b^3$
$(mk + a)^3 - a^3 = (mk)^3 + 3(mk)^2a +3(mk)a^2 + a^3 - a^3= mk[(mk)^2 ++ 3(mk)a + 3a^2] = b^3$
Слагаемое $3a^2$ не содержит сомножитель $(mk)$, следовательно, сумма слагаемых в квадратных скобках не делится на $(mk)$. Следовательно, корень кубической из алгебраического выражения
$mk [(mk)^2 + 3(mk)a + 3a^2]$ с учетом приведенных ранее разъяснений по числам $m$ и $k$ дробное число.

А для 2-ой степени?
$(mk + a)^2 - a^2 = b^2$
$(mk + a)^2 - a^2 = (mk)^2 + 2(mk)a + a^2 - a^2= mk[(mk)+ 2a ] = b^2$
Слагаемое $2a$ не содержит сомножитель $(mk)$, следовательно, сумма слагаемых в квадратных скобках не делится на $(mk)$. Следовательно, корень квадратный из алгебраического выражения
$mk[(mk)+ 2a ]$ с учетом приведенных ранее разъяснений по числам $m$ и $k$ дробное число. Теорема Пифагора не верна? :shock:

-- Пн авг 06, 2012 21:39:32 --

ishhan в сообщении #603545 писал(а):
Круто!
Но, если обозначить "родными" символами
$x=mk$

$y=a$
то Вам в одну строчку удалось доказать, что выражение
$x^3+3x^2y+3xy^2$
не может быть кубом целого числа!
У Вас ошибочка где-то гуляет это факт.
P.S. А по поводу самого первого поста, вроде все правильно.
Мне нравится:)


Уважаемый ishhan! Вы что же за столько лет не рассмотрели ни разу ВТФ вот в таком виде:
$(y+k)^3+y^3=x^3$
или в общем виде:
$(y+k)^n+y^n=x^n$ :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Два варианта уравнения ВТФ
Сообщение06.08.2012, 21:39 


21/11/10
546
Belfegor в сообщении #603552 писал(а):
Уважаемый ishhan! Вы что же за столько лет не рассмотрели ни разу ВТФ вот в таком виде:
$(y+k)^3+y^3=x^3$
или в общем виде:
$(y+k)^n+y^n=x^n$ :shock:


Я знаю ещё восемь эквивалентных способов записи ВТФ (в общем виде) для не чётных простых показателей и в частности для n=3:
$x^3+y^3=z^3$
и его пара:
$(x+y-z)^3=3(x+y)(z-x)(z-y)$
Затем следуют ещё три парочки:
1)$(x+y-z)^3=x^3+y^3$
и
$z^3=3(x+y)(z-x)(z-y)
$

2)$(x+y-z)^3+z^3=y^3$
и
$-x^3=3(x+y)(z-x)(z-y)$

3)$(x+y-z)^3+z^3=x^3$
и
$-y^3=3(x+y)(z-x)(z-y)$

Способ о котором Вы говорите впервые рассматривал К.Ф.Гаусс
Ваш любимый частный случай $z-y=1$ не в счёт :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 69 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group