Количество простых чисел на интервале (р-п)

Апис · 01.02.2007, 15:44

И так. Я буду говорить, об определении количества простых чисел на интервале (р-п)
где р - простые числа п - натуральные числа
Зависимость между значениями (р) и (п) $p^2 \leqslant p_/^2$ где $p_/$ следующее за (р) простое число. Например: п=168 $11^2 \leqslant 168 < 13^2$ р=11 $p_/$ =13
Несколько изменим задачу и будем искать количество составных чисел. Количество простых чисел в дальнейшем найдём как разницу от общего количества и количества составных чисел.
Введём новые понятия: базисное число и базис. Я понимаю введение новых понятий, а тем более использование известных понятий, но в другой ипостаси - чревато. Но в данном случае ничего нового не придумал, а базисное число и базис, как нельзя более полно отражают суть понятия и облегчают намного восприятие работы.
Базисное число - любое натуральное число
Базис от базисного числа - совокупность составных чисел имеющих во главе множитель базисное число
Если (п) количество чисел в интервале (0-п) тогда:
$\tfrac{n}{2}$ - базис от базисного числа 2
$\tfrac{n}{3}$ - базис от базисного числа 3
$\tfrac{n}{6}$ - базис от базисного числа 6
$\tfrac{n}{5}$ - базис от базисного числа 5
$\tfrac{n}{{15}}$ - базис от базисного числа 15
и.т.д.
Для определения количества простых чисел, от общего количества (п) отнимаем базис от 2 далее отнимаем базис от 3 и прибавляем базис от 6, что бы скомпенсировать повторы в базисах от 2 и от 3 и. т. д.
$n - \tfrac{n}{2} - \tfrac{n}{3} + \tfrac{n}{6} - \tfrac{n}{{15}} + \tfrac{n}{{10}} + \tfrac{n}{{15}} - \tfrac{n}{{30}}$ .......и.т.д.
Например: ( $n - \tfrac{n}{2}$ ) при п < 9 это выражение даёт количество простых чисел на интервале (2-9)
( $n - \tfrac{n}{2} - \tfrac{n}{3} + \tfrac{n}{6}$ ) при $9 \leqslant n < 25$ это выражение даёт количество простых чисел на интервале (3-п). Так как базисные числа 2 и 3 входят в свои базисы, для нас они являются составными.

Двигаемся дальше.
Выражение $n - \tfrac{n}{2} - \tfrac{n}{3} + \tfrac{n}{6} - \tfrac{n}{5} + \tfrac{n}{{10}} + \tfrac{n}{{15}} - \tfrac{n}{{30}}$ ...... приведём к виду удобному для вычислений
$n - \tfrac{n}{2} - \tfrac{n}{3} + \tfrac{n}{6} - \tfrac{1}{5}(n - \tfrac{n}{2} - \tfrac{n}{3} + \tfrac{n}{6})$ =
$(n - \tfrac{n}{2} - \tfrac{n}{3} + \tfrac{n}{6})(1 - \tfrac{1}{5})$ =
$(n - \tfrac{n}{2}) - \tfrac{1}{3}(n - \tfrac{n}{2})(1 - \tfrac{1}{5})$ =
$(n - \tfrac{n}{2})(1 - \tfrac{1}{3})(1 - \tfrac{1}{5})$ =
$n(1 - \tfrac{1}{2})(1 - \tfrac{1}{3})(1 - \tfrac{1}{5})$ =
$n(\tfrac{1}{2})(\tfrac{2}{3})(\tfrac{4}{5})$ .... и.т.д.
$M_p=(\tfrac{1}{2})(\tfrac{2}{3})(\tfrac{4}{5})(\tfrac{6}{7})$ ....... $\frac{{(p - 1)}}{p}$
$M_p = \frac{{(p - 1)\# }}{{p\# }}$ - рекуррентная формула для определения значения $\frac{{(p - 1)\# }}{{p\# }}$

Исходя из выше изложенного, выводим общую формулу определения количества простых чисел на интервале (p-n).

$P_n = nm_p - 1$
$P_n$ - количество простых чисел на интервале (p-n)
P - простые числа
n - натуральные числа
$p^2 \leqslant n < (p_/ )^2$ Зависимость между значениями (n) и (p)
Например: n=168. $11^2 \leqslant 168 < 13^2$
$m_p = \frac{{(p - 1)\# }}{{p\# }}$ Рекуррентная формула для определения значений $\frac{{(p - 1)\# }}{{p\# }}$

$\begin{gathered} m_2 = \tfrac{1} {2} = 0,5 \hfill \\ m_3 = 0,333... \hfill \\ m_5 = 0,2666 \hfill \\ m_7 = 0,2285714 \hfill \\ m_{11} = 0,20779220778 \hfill \\ \end{gathered}$
$P_n = nm_p - 1 = 168 \cdot 0,20779 - 1 = 33,9$
Истинное значение - 34
В полученной формуле есть сходство с числовой функцией Элера, но там если принять мою терминологию, значения (p) получены при факторизации числа (n). А это совершенно другой подход.
Погрешность вычисления $P_n$
(п) при прохождении всех числовых значений внутри интервала $(p^2 - p_/^2 )$ даёт с каждым шагом прирост значения $p_n$ равный $m_p$ . Шаг изменения числового значения $p_n$ равен $m_p$ . (п) пробегая по составным числам с каждым шагом увеличивает погрешность значения $p_n$ на $m_p$ И уменьшает погрешность на( $1 - m_p$ ) при прохождении простого числа
Какая же максимальная погрешность, или что тоже самое, какой максимальной длины может быть непрерывная цепочка из составных чисел на данном интервале?
Базисное число (р) где р - простое число в этом случае, начинает создавать свой базис с значения ( $p^2$ ) до этого оно входило в чужие базисы на правах рядового члена. Начиная с ( $p^2$ ) базисное число при формировании составных чисел своего базиса, стоит во главе образования.
Отсюда следует, что в составных числах меньших числа ( $p_/^2$ ) Все базисные числа из интервала ( $1 - p_/$ )
Закон сбора составных чисел в непрерывные цепочки, следует из построения первоначальной непрерывной цепочки ( $1 - p_/$ ) состоящей из базисных чисел (простых чисел) и их базисов
Докажем это
Составные числа имеющие в себе одно и тоже число (р) за базис, которое при формировании составных чисел своего базиса, стоит во главе образования, никогда не могут собратся в непреравную цепочку, между ними всегда будет интервал.
Составные числа имеющие в себе разные числа (р) определяющие ихние базисы, могут собиратся в непрерывную цепочку. Но между себе подобными, опять же, всегда есть интервал (простое число). Это правило действует в пределах интервала ( $1 - p_/^2$ )
То есть самая длинная непрерывная цепочка из составных чисел интервала ( $1 - p_/^2$ ) может иметь в себе составные числа с одинаковыми базисными числами, объединяет которых в цепочку составные числа с другими базисами. И правило это отображено в общем виде в первоначальной цепочке ( $1 - p_/$ ) состоящей из базисных чисел (простых чисел) и их базисов.
Значит погрешность при вычислении $p_n$ не может превышать величину $p_/ m_p$ . Сергей Ситников.

И всё таки был резон, когда в предыдущей теме "оцените красоту формулы" я хотел показать ход решения, а не сразу конечный результат. И вот почему.
Стремление к конечному результату непродуктивно. Пример? Пожалуста.
Хочу вас спросить, почему так много шума вокруг теоремы Ферма. Все ищут какое-то общее решение. При п>2. Ну допустим нашли, это решение должно же как-то соотносится с показателем п=2
Я могу показать вам, что доказательство теоремы Ферма, есть всего лишь следствие, побочный результат решения обыкновенной задачи для средней школы. И задача эта, как и теорема Ферма доступна для решения учениками средней школы. Могу побится об заклад, что в течении двух уроков, с любым десятым классом средней школы теорема Ферма будет доказана детьми. При моём маленьком вступлении конечно.

Gordmit · 01.02.2007, 19:02

Цитата:

Я могу показать вам, что доказательство теоремы Ферма, есть всего лишь следствие, побочный результат решения обыкновенной задачи для средней школы. И задача эта, как и теорема Ферма доступна для решения учениками средней школы. Могу побится об заклад, что в течении двух уроков, с любым десятым классом средней школы теорема Ферма будет доказана детьми. При моём маленьком вступлении конечно.

Ферматист? Не советую Вам бросаться такими заявлениями, т.к. тогда мало кто будет воспринимать Вас всерьез.

juna · 01.02.2007, 20:40

Цитата:

Я могу показать вам, что доказательство теоремы Ферма, есть всего лишь следствие, побочный результат решения обыкновенной задачи для средней школы. И задача эта, как и теорема Ферма доступна для решения учениками средней школы. Могу побится об заклад, что в течении двух уроков, с любым десятым классом средней школы теорема Ферма будет доказана детьми. При моём маленьком вступлении конечно.

Ну вот. А все так хорошо начиналось..

На самом деле ваш подход – это комбинаторный метод включений, исключений. Связь с функцией Эйлера происходит отсюда же.
Погрешность проще оценить (прикинуть) на конкретных расчетах.
Вот код Maple, позволяющий это сделать.

Код:

with(numtheory):
s:=1;
for i from 1 by 1 to 50 do
s:=s*(ithprime(i)-1)/ithprime(i); 
for j from (ithprime(i))^2 by 1 while j<(ithprime(i)+1)^2 do 
print(j): 
print(ithprime(i)): 
print(pi(j)-pi(ithprime(i))):
 print(evalf(s*j-1)):  
print(evalf(j/ln(j)-(ithprime(i))/ln(ithprime(i))))
end do 
end do; 

Это фрагмент расчетов

52893
229
5347
5396.072300
4821.120965

52894
229
5347
5396.174338
4821.204454

52895
229
5347
5396.276375
4821.287944

52896
229
5347
5396.378413
4821.371437

52897
229
5347
5396.480450
4821.454926

52898
229
5347
5396.582488
4821.538418

52899
229
5347
5396.684526
4821.621911

Первое число блока - $n$
Второе число блока - $p$
Третье число блока – реальное количество простых в промежутке $(n-p)$
Четвертое число блока – количество простых по формуле Аписа
Пятое число блока – количество простых по стандартной формуле $\frac{n}{ln(n)}$ .
Асимптотически, похоже, отношение третьего числа к четвертому сходится к единице.
Только ценность этой формулы зависит от того, какую асимтпотику можно предложить для $m_p$ .

Руст · 01.02.2007, 20:55

Уже выяснили, что его формула дает примерно на 12% больше истинного при больших n. Что касается вычисления при не очень больших значениях на компьютере, то лучше брать сравнение c Li(x) или x/(lnx -1), при небольших x Лежандр брал приближение x/(lnx-1,08).

juna · 01.02.2007, 22:09

Руст писал(а):

Уже выяснили, что его формула дает примерно на 12% больше истинного при больших n. Что касается вычисления при не очень больших значениях на компьютере, то лучше брать сравнение c Li(x) или x/(lnx -1), при небольших x Лежандр брал приближение x/(lnx-1,08).

Оказывается, Апису уже все объяснили! Просто я не следил за той дискуссией до конца.
У меня тоже всплывала в памяти связь $m_p$ c формулой Мертенса $\prod\limits_{\forall p<N}{(1-1/p)}\sim \frac{e^{-\gamma}}{ln(N)}$ .
Тогда проще говорить о количестве простых, меньших $N$ . Это дает $m_p\cdot N\sim \frac{N \cdot e^{-\gamma}}{ln(N)}$ и вылезает асимптотическая ошибка $e^{-\gamma}$ .
Т.е. эта формула может иметь только “учебный” интерес.

Руст · 01.02.2007, 22:49

Точнее $2e^{-\gamma }$ смотри post RIPa.
Формула учебного интереса как раз не представляет. Так как его вывод абсолютно безграмотен и неверен.

juna · 01.02.2007, 23:30

Руст писал(а):

Точнее $2e^{-\gamma }$ смотри post RIPa.
Формула учебного интереса как раз не представляет. Так как его вывод абсолютно безграмотен и неверен.

Артамонов писал(а):

“учебный”

Апис · 02.02.2007, 10:50

Руст Оказывается мне уже всё объяснили. Тогда я повторю вопрос который задавал вам.
Если $nm_p$ - простые числа с погрешностью 12%
Тогда естественно $n(1 - m_p )$ - составные числа с погрешность 12% только с обратным знаком.
Если вы всё точно подсчитали, скажите в каком случае погрешность положительна в каком отрицательна. Эти же формулы зеркальное отрожение, как вы и в той и другой получаете одну погрешность. Не говорите о знаке, неужели это для точной науки неважно.

Апис · 02.02.2007, 14:04

После P>100 процент погрешности в моей формуле меньше 1%

RIP · 02.02.2007, 15:08

Апис писал(а):

После P>100 процент погрешности в моей формуле меньше 1%

Я от нечего делать провёл вычисления при $n=500000$ и у меня получилась ошибка около 3%. Правда, я считал на калькуляторе

(не дружу я со всякими матпакетами типа Maple итд), так что вполне мог ошибиться.

Добавлено спустя 13 минут 52 секунды:

Апис писал(а):

Если $nm_p$ - простые числа с погрешностью 12%
Тогда естественно $n(1 - m_p )$ - составные числа с погрешность 12% только с обратным знаком.

Это, может быть, и естественно, но неверно. $n(1-m_p)$ - кол-во составных чисел с погрешностью 0% (примерно).

Someone · 02.02.2007, 15:38

Я верно понял, что формула должна давать количество простых чисел в промежутке $(p,n]$ , где $p$ - простое число, $p<n<p_/^2$ , $p_/$ - простое число, следующее за $p$ ?

Код:

  NN=50;s=1;p=Prime[NN];p1=Prime[NN + 1]; 
  For[k=1,k<=NN,k++,s =s(Prime[k]-1)/Prime[k]];
  n=p1^2-1;Pn=n s-1; Qn=PrimePi[n]-PrimePi[p]; 
  Print["NN = ",NN,", p = ",p,", n = ",n,", Pn = ",N[Pn],", Qn = ",Qn,", погрешность = ",N[100(Pn-Qn)/Pn],"%"]

NN = 5, p = 11, n = 168, Pn = 33.9091, Qn = 34, погрешность = -0.268097%
NN = 50, p = 229, n = 54288, Pn = 5538.41, Qn = 5472, погрешность = 1.19916%
NN = 100, p = 541, n = 299208, Pn = 26553.7, Qn = 25836, погрешность = 2.70273%
NN = 1000, p = 7919, n = 62837328, Pn = 3.92523x10^6, Qn = 3719273, погрешность = 5.24707%
NN = 10000, p = 104729, n = 10971096048, Pn = 5.32745x10^8, Qn = 497128058, погрешность = 6.68558%
NN = 50000, p = 611953, n = 374491369848, Pn = 1.57784x10^10, Qn = 14624947044, погрешность = 7.31061%

NN - номер простого числа p,
p1 - следующее простое число (с номером NN+1),
n=p1^2-1,
Pn - оценка количества простых чисел между p и n по предлагаемой формуле,
Qn - действительное количество простых чисел между p и n.

Руст · 02.02.2007, 16:09

Апис писал(а):

Руст Оказывается мне уже всё объяснили. Тогда я повторю вопрос который задавал вам.
Если $nm_p$ - простые числа с погрешностью 12%
Тогда естественно $n(1 - m_p )$ - составные числа с погрешность 12% только с обратным знаком.
Если вы всё точно подсчитали, скажите в каком случае погрешность положительна в каком отрицательна. Эти же формулы зеркальное отрожение, как вы и в той и другой получаете одну погрешность. Не говорите о знаке, неужели это для точной науки неважно.

Неестественно. Погрешность для составных асимптотический 0%, так как плотность простых чисел нулевая.
Для простых чисел ошибка всегда в сторону увеличения (по вашей формуле) их количества, начиная с некоторого n. Судя по вычислениям Артамонова, это возможно, начиная с n>1000.

Апис · 02.02.2007, 17:14

Руст представьте себе есть только формула для определения количества составных чисел на интервале (р-п) определите величину погрешности.

PAV · 02.02.2007, 17:27

Апис писал(а):

Руст представьте себе есть только формула для определения количества составных чисел на интервале (р-п) определите величину погрешности.

А в чем вопрос? Разница между истинным значением и оценкой - абсолютная погрешность. Отношение абсолютной погрешности к истинному значению - относительная погрешность.

juna · 02.02.2007, 17:41

Вообще, уже нет предмета для спора:
1. формула Мертенса - доказанный факт,
2. асимптотический закон для простых - доказанный факт.
Поэтому, то что Ваша формула врет на указанную величину тоже доказанный факт - это же простая подстановка формулы в формулу.

Научный форум dxdy

Количество простых чисел на интервале (р-п)