Количество простых чисел на интервале (р-п)

[PAV]

Someone писал(а):

PAV писал(а):

Разница между истинным значением и оценкой - абсолютная погрешность. Отношение абсолютной погрешности к истинному значению - относительная погрешность.

К приближённому значению. А истинное может быть и неизвестным.

Не согласен. Если истинное значение неизвестно, то мы не сможем посчитать даже абсолютную погрешность. Допустим, что истинное значение равно 100, а приближенное - 200. Если делить на истинное значение, то относительная погрешность равна 100%, что, по-моему, правильно. А если делить на приближенное, то получится только 50%, что неверно.

[Апис]

Извините за двойное сообщение, немного теряюсь за компьютером.

[PAV]

e2e4 писал(а):

Что означает в записи $\pi(n) = \frac{n}{ln(n} (1+o(1))$ член o(1)?

$o(1)\to 0$ при $n\to\infty$. Это все, что известно про эту величину из данной записи.

Добавлено спустя 1 минуту 8 секунд:

Апис писал(а):

Извините за двойное сообщение, немного теряюсь за компьютером.

Так исправьте свой пост, и всего делов.

[Апис]

Интересный спор, если две формулы дают разные значения, которая правильная. Сравнением погрешностей здесь не поможешь. Если погрешность 3% это формула а если 3000% Нужно обсуждать не численные расхождения, а то как были выведены эти формулы и там искать ошибки.

[e2e4]

PAV писал(а):

Разница между истинным значением и оценкой - абсолютная погрешность. Отношение абсолютной погрешности к истинному значению - относительная погрешность.

Совершенно так. Для вычисления относительно погрешности делить всегда следует на истинное значение, по определению.

[RIP]

Апис писал(а):

Нужно обсуждать не численные расхождения, а то как были выведены эти формулы и там искать ошибки.

Вам уже много раз показали, где в Ваших рассуждениях содержится ошибка. Если честно, я не совсем понял, как Вы оцениваете погрешность. Если пойму, укажу на ошибку.
Численные примеры были приведены только для того, чтобы показать, что Ваша формула вовсе не так хороша, как Вам может показаться (раз уж абсолютно строгим математическим доказательствам Вы не верите.)

Добавлено спустя 26 минут 9 секунд:

Насколько я понял, то Вы рассуждаете примерно так.
Когда $n$ пробегает цепочку из составных чисел из интервала $(p^2;p_/^2)$, то при увеличении $n$ на $1$ погрешность возрастает на $m_p$, если же $n$ принимает простое значение, погрешность уменьшается на $1-m_p$. Поэтому надо оценить длину самой длинной цепочки из составных чисел. Далее, похоже, идет док-во того, что эта длина не более $p_/$ (я вообще не понял, что там происходит, даже не понял, что Вы доказываете.) Далее Вы делаете вывод, что погрешность не может превышать $p_/m_p$. Я правильно понял ход Ваших мыслей?

[Апис]

RIP У нас разговор слепого с глухим. Я же не зря ограничился составными числами. Числовые сравнения здесь не работают, так что посмотрим где ваше строгое математическое обоснование неправильности моей работы. Первая часть работы до раздела погрешности обыкновеная арифметика. Где здесь ошибка? Претензии у меня к самому себе появляются после того как выясняется что вычисления надо проводить и получать результат в целых числах. Я определил максимальную, теоретически возможную погрешность, вывод которой вы не поняли. На каком основании вы заявляете что имеете абсолютно строгое математическое доказательство что моя формула не так хороша как мне кажется. Разве есть в математике определения так хороша или не так хороша.
Давайте лучше поговорим о погрешности, да вы правильно поняли ход моих мыслей, если считать ходом моих мыслей моё сообщение которое вы повторили. Лучше представьте себе, что мы ищем не погрешность, а правило по которому идёт построение непрерывных цепочек из составных чисел. Так будет легче вам.
И последне я уже наверно говорил, как бы не была хороша или не хороша формула не это важно. Здесь есть огромная перспектива для дальнейших иследований. А это поважнее любой формулы

Добавлено спустя 16 минут 44 секунды:

Извините всё забываю, всем вам, задать один вопрос. Какие числовые значения вы сравниваете. В моей формуле нет погрешности, нет погрешности не может быть и числового значения, что вы с чем сравниваете?

[Someone]

e2e4 писал(а):

PAV писал(а):

Разница между истинным значением и оценкой - абсолютная погрешность. Отношение абсолютной погрешности к истинному значению - относительная погрешность.

Совершенно так. Для вычисления относительно погрешности делить всегда следует на истинное значение, по определению.

Мужики, Вы что??? Как Вы будете оценивать относительную погрешность, если Вам точное значение неизвестно, а есть только приближённое значение и оценка абсолютной погрешности? Да и математическую энциклопедию открыть можно. В статье ПОГРЕШНОСТЬ как раз и прочитаем:

Цитата:

ПОГРЕШНОСТЬ - разность $x-a$, где $a$ - данное число, которое рассматривается как приближённое значение некоторой величины, точное значение которой равно $x$. Разность $x-a$ называется также абсолютной погрешностью. Отношение $x-a$ к $a$ называется относительной погрешностью числа $a$.

Да и пример с точным значением 100 и приближённым 200 совершенно естественный: относительная погрешность равна 50%, то есть, половине известного значения.

Добавлено спустя 26 минут 53 секунды:

Апис писал(а):

Я определил максимальную, теоретически возможную погрешность, вывод которой вы не поняли. На каком основании вы заявляете что имеете абсолютно строгое математическое доказательство что моя формула не так хороша как мне кажется.

Апис писал(а):

http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=51208#51208
Значит погрешность при вычислении

\[P_n \]

не может превышать величину

\[p_/ m_p \]

.

Это утверждение совершенно не согласуется с результатами численных расчётов.

Например, при $p=p_{1000}=7919$ имеем $p_/=p_{1001}=7927$, $n=p_/^2-1=62837328$, $p_/m_p=494.673$, то есть, соглшасно Вашему утверждению, разность $(nm_p-1)-(\pi(n)-\pi(p))$ должна быть меньше $495$, в то время как на самом деле она равна $\approx 205960$.

[Апис]

Ещё раз объсняю формулы

\[nm_p (1 - nm_p )\]

дают только значения числового ряда вам известного и ничего больше и только с погрешностью в сумме получается формула определения простых чисел. Но это вам мало что даст, вы же оперируете или непонятными прямыми расчётами, хоть бы привели рекурентный ряд при вычислении

\[m_p \]

что бы можно было проверить. Или при сравнении оперируете очень большими числами. Тогда объясните как вы очень большие числа сравниваете с формулой, с каждым слагаемым отдельно и что получаете? Что две бесконечности не так хорошо как одна бесконечность.

[RIP]

Апис
Я не понимаю, какая связь между длиной цепочки из составных чисел и погрешностью. Ведь для нескольких таких цепочек погрешности складываются, в итоге может накопиться очень большая погрешность. А есть еще простые числа, когда погрешность уменьшается, так что априори неизвестно еще, может, погрешность станет отрицательной и большой по модулю.
Откуда сделан вывод, что погрешность не превосходит $p_/m_p$? Могу лишь сказать, что это неверно и такая оценка даже рядом не валялась с истинным значением погрешности. Это можно проверить на конкретных числах (что уже было сделано), а можно доказать строго математически (что также уже было не раз проделано), но для того, чтобы понять это док-во, надо знать несколько далеко не тривиальных теорем, с которыми можно ознакомиться по книжкам, которые Вам уже советовали. Правда, эти книги предъявляют довольно высокие требования к математической подготовке читателя.

Цитата:

И последне я уже наверно говорил, как бы не была хороша или не хороша формула не это важно. Здесь есть огромная перспектива для дальнейших иследований.

Вот здесь я с Вами абсолютно согласен. И подобные исследования уже давно ведутся, как я уже писал со ссылкой на книжку.

[Апис]

RIP Я бы вам поверил на слово, если бы моя формула была выведена эмпирическим путём, вы не опровергаете работу. Вы говорите - у нас есть лучшая формула для определения количества составных чисел на интервале (р-п) и есть лучшая формула для определения погрешности. Нет у вас формулы для определения количества составных чисел на интервале (р-п). Была бы написали бы рядом с моей.

[RIP]

Чтобы написать формулу для количества составных чисел, надо из количества всех чисел вычесть количество простых. Зачем 100 раз переписывать одно и то же?

[Апис]

Уважаемые студенты. Что хотел сказать я сказал. Ваше мнение услышал.
СПАСИБО ВСЕМ.
ТЕМА ЗАКРЫТА. Апис.

[незваный гость]

Апис писал(а):

Уважаемые студенты. Что хотел сказать я сказал. Ваше мнение услышал.

А-а-а-а-а! Он хотел меня обидеть! Студентом обозвал!

[PAV]

Someone писал(а):

Мужики, Вы что??? Как Вы будете оценивать относительную погрешность, если Вам точное значение неизвестно, а есть только приближённое значение и оценка абсолютной погрешности? Да и математическую энциклопедию открыть можно. В статье ПОГРЕШНОСТЬ как раз и прочитаем:

Согласен. Спасибо за разъяснение, я это понимал неправильно.