Количество простых чисел на интервале (р-п)

[Апис]

Я вас с самого начала купил как котят, посмотрите в начало, решето Эрастофена

\[m_p \]

вычисляется по всем натуральным числам, а не по простым. Математики прах вас побери.
Апис.

[AndAll]

PAV писал(а):

Someone писал(а):

Мужики, Вы что??? Как Вы будете оценивать относительную погрешность, если Вам точное значение неизвестно, а есть только приближённое значение и оценка абсолютной погрешности? Да и математическую энциклопедию открыть можно. В статье ПОГРЕШНОСТЬ как раз и прочитаем:

Согласен. Спасибо за разъяснение, я это понимал неправильно.

Я же позволю себе не согласиться

Если известно точное значение, как оно здесь понимается, то приближенное значение и относительная погрешность не имеют смысла.
Абсолютная погрешность есть погрешность метода (определения некоторой величины), например, какого-то инструмента или формулы.
Толщину проволоки можно измерить линейкой, штангенциркулем или микрометром. Во всех случаях абсолютная погрешность будет определяться свойствами инструмента (метода) . Измеренную величину во всех случаях можно считать точной, с точностью доступной данному инструменту. Если взять два куска провода диаметрами 2мм и 20 мм, то абсолютная погрешность в обоих случаях будет одной и той же для одного и того же инструмента, в то время как относительная погрешность будет разной.
Формула – тот же инструмент. Нельзя приписывать погрешность формулы, реализующей некоторый метод, формуле, реализующей другой метод, даже если обе формулы определяют одну и ту же величину. Нельзя ни относительную, ни абсолютную погрешность определения числа простых чисел с помощью асимптотического закона или интегрального логарифма применять для оценки метода решета.
На самом деле, абсолютная погрешность данного метода равна $\pi \left( p \right)$.

[Someone]

Апис писал(а):

Я вас с самого начала купил как котят, посмотрите в начало, решето Эрастофена

\[m_p \]

вычисляется по всем натуральным числам, а не по простым. Математики прах вас побери.
Апис.

То есть, Вы хотите сказать, что

$$m_p=\prod\limits_{k=2}^p\frac{k-1}k=\frac{(p-1)!}{p!}=\frac 1p\text{?}$$

Это противоречит тому, что Вы писали, и Вашим примерам:

Апис писал(а):

http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=50329#50329

\[ \begin{gathered} m_2 = \tfrac{1}{2} = 0,5 \hfill \\ m_3 = 0,333... \hfill \\ m_5 = 0,2666 \hfill \\ m_7 = 0,2285714 \hfill \\ m_{11} = 0,20779220778 \hfill \\ \end{gathered} \]

\[P_n = nm_p - 1 = 168 \cdot 0,20779 - 1 = 33,9\]

Истинное значение - 34

Кроме того, результаты в этом случае получаются ещё веселее (для расчётов используется Mathematica 4.1):

NN=10000;p=Prime[NN];p1=Prime[NN+1];mp=1/p;n=p1^2-1;Pn=n*mp - 1;Qn=PrimePi[n]-PrimePi[p];Print["NN = ",NN,", p = ",p,", n = ",n,", Pn = ",N[Pn],", Qn = ",Qn,", погрешность = ",N[100(Pn - Qn)/Pn],"%, p1*mp = ",N[p1*mp],", Pn-Qn = ",N[Pn-Qn]]

Результаты:

NN = 10000, p = 104729, n = 10971096048, Pn = 104756.00186194846, Qn = 497128058, погрешность = -474458.0674748686%, p1*mp = 1.000133678350791, Pn-Qn = -497023301.99813807

Теперь Ваша формула обещает 104756 простых чисел между 104729 и 10971096048, в то время как на самом деле их 497128058. Ей Богу, старый вариант был лучше. Там Ваша формула обещала 532745136 простых чисел, что больше правильного на 6.68558% (как Вам писали, для очень больших p и n ожидается погрешность примерно в 12%; посмотрев на мои расчёты, можно сделать вывод, что это правдоподобно).

[нг]

[mod]Апис,

Апис писал(а):

Уважаемые студенты. Что хотел сказать я сказал. Ваше мнение услышал.
ТЕМА ЗАКРЫТА.

Апис писал(а):

Я вас с самого начала купил как котят, посмотрите в начало, решето Эрастофена $\[m_p \]$ вычисляется по всем натуральным числам, а не по простым. Математики прах вас побери.

Ваш стиль общение выходит за рамки принятого на форуме. Следите за собой![/mod]

[Апис]

Это не мой стиль общения, это учебный пример, что бы почувствовали на себе, насколько легче предъявлять претензии, чем на них отвечать. Пример по теме.
RIP Объявил, что вычисление погрешности ничего не стоит, за всё время общения от вас ни одного самостоятельного шага. Я уже говорил, легче говорить не о погрешности, а представить, что ищем правило по которому строятся непрерывные цепочки из составных чисел. Следующий шаг, непрерывные цепочки из составных чисел представьте в виде чисел. Цепочка из двух чисел это двойка и.т.д. Посмотрите как они выстраиваются на числовой оси, это вам ничего не напоминает. Ну включите же воображение. И последнее, ответит ли кто нибудь на вопрос, что вы там всё время сравниваете? И учитываете ли вы, что мы говорим об интервале (р-п), а не об общей числености.

[e2e4]

PAV писал(а):

Someone писал(а):

Мужики, Вы что??? Как Вы будете оценивать относительную погрешность, если Вам точное значение неизвестно, а есть только приближённое значение и оценка абсолютной погрешности? Да и математическую энциклопедию открыть можно. В статье ПОГРЕШНОСТЬ как раз и прочитаем:

Согласен. Спасибо за разъяснение, я это понимал неправильно.

Видимо, существуют разные определения относительной погрешности. Насчет истинного значения:

Истинное значение - это своего рода аксиома. Можно принять за истину некоторое значение в законодательном так сказать порядке, можно провести серию измерений, вычислить среднее и его принять за истину, можно найти истину качественно другим методом измерения, чем тот, погрешность которого мы пытаемся найти. В любом случае есть понятие "истинное значение", есть понятие "измеренное значение". Способо, каким мы определили истинное значение, не играет роли. В предельном случае, когда имеется всего одно измерение, другими методами истинное не находится, иогда можно принять одно это единственное измерение как истинное, при этом погрешности будут 0 и 0% соответственно. Так что вопрос деления на неизвестную величину не должен уже стоять к моменту, когда определена абсолютная погрешность.
Приведу цитату из Е. М. Коварский, Ю. И. Янко "Испытания электрических машин". стр. 8: "Всякое измерение дает приближенное значение A измеряемой величины, отличающиеся от действительного значения X на значение обсолютной погрешности a, т.е. A = X + a. Отношение a/X или, посколько a<<X, то отношение aplha = a/A называется относительной погрешность."

Как видите, в случае, когда абсолютная погрешность сильно меньше истинного значения, в общем-то все равно, на что делить - ошибка будет мала.

Еще раз подчеркну - вопрос на что делить - на истину или измеренное - вопрос определения. К сожалению, единого определения, видимо, не существует.

[PAV]

Я поясню, почему согласился с Someone
Рассмотрим мой пример, когда значение оценки равно 200. Что нам говорит фраза "относительная погрешность равна 50%"? Если в определении делить на значение оценки, то ясно, что абсолютная погрешность не превышает 50% от 200, т.е. диапазон для истинного значения 100 - 300. И также это можно естественно записать так: $x=200(1\pm 0.5)$

Если же в определении погрешности делить на истинное значение, то диапазон будет больше: от 133 до 400. И это естественным образом не записывается. Точнее, записывается так: $x(1\pm 0.5)=200$, что действительно выглядит не очень...

[e2e4]

PAV, вы вправе соглашаться с Someone, со мной, да и с кем либо еще.
Я уже писал, что вопрос на что делить - вопрос определения.
Важно соглашаться с общепринятой точкой зрения, доказывать тут что-либо "удобством" не требуется. Исторически сложилось, например, что мы используем 10-ую систему счисления, хотя для передачи и хранения информации электронными методами удобнее 2-ая. Но не будете же вы объяснять в магазине, что вам требует 10(binary) буханок хлеба...

[RIP]

Апис писал(а):

И последнее, ответит ли кто нибудь на вопрос, что вы там всё время сравниваете?

Берутся большие числа $n$ и соответствующие $p$. На компьютере вычисляется $P_n=m_pn-1$ и истинное значение для количества простых чисел на интервале $(p;n]$ (обзовем его $Q_n$). Затем эти значения сравниваются. Погрешность вычисляется следующим образом: $\frac{P_n-Q_n}{P_n}\cdot100\%$

Добавлено спустя 12 минут 33 секунды:

Someone писал(а):

как Вам писали, для очень больших p и n ожидается погрешность примерно в 12%; посмотрев на мои расчёты, можно сделать вывод, что это правдоподобно.

На самом деле, когда я говорил о погрешности в 12%, я подразумевал, что погрешность вычисляется по формуле $\frac{P_n-Q_n}{Q_n}\cdot100\%$. По Вашей формуле ожидается погрешность $(1-\frac{e^{\gamma}}2)\cdot100\%\approx11\%$

Более точная оценка для погрешности (по Вашей формуле) $1-\frac{e^{\gamma}}2\left(1+\frac1{\ln n}\right)$. Вот из-за этого $\ln n$ сходимость очень медленная ("Логарифм стремится к бесконечности, но очень медленно. Просто умереть можно, как медленно", как верно сказал как-то мой преподаватель по комплексному анализу)

[нг]

[mod]

Апис писал(а):

Это не мой стиль общения, это учебный пример, что бы почувствовали на себе, насколько легче предъявлять претензии, чем на них отвечать.

Строгое замечание за пререкание с модератором.
Если Вам угодно обсудить это или предыдущее замечание — я (и остальные модераторы) к Вашим услугам (используя email или ЛС ).[/mod]
P.S. В математике довольно часто проще привести контр-пример, чем доказательство (или найти ошибку в оном). Поскольку контр-пример нужен один, а доказывать нужно для всех случаев. Так что Вы напрасно обижаетесь на остальных — дыры-то Ваши.

[Апис]

RIP Куда вы дели погрешность из формулы, без погрешности это всего лишь численное значение ряда, умноженое на число и ничего более.

\[(nm_p + 1) \pm pm_p \]

[Апис]

Согласен. Контр-примеры ваши, а дыры наши. Приведите контр-пример.

\[(P \pm 1)PM_p \]

количество простых чисел на интервале

\[(P - P^2 )\]

Добавлено спустя 15 минут 24 секунды:

Прошу прощения не количество простых чисел а интервал на котором находится численое значение количества простых чисел.

[Someone]

Апис писал(а):

Согласен. Контр-примеры ваши, а дыры наши. Приведите контр-пример.

\[(P \pm 1)PM_p \]

количество простых чисел на интервале

\[(P - P^2 )\]

Контрпример к чему? К оценке погрешности?

Апис писал(а):

http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=51310#51310
После P>100 процент погрешности в моей формуле меньше 1%

Апис писал(а):

http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=51208#51208
Значит погрешность при вычислении

\[P_n \]

не может превышать величину

\[p_/ m_p \]

.

Смотрите
1) http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=51314#51314,
2) http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=51317#51317,
3) http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=51701#51701.

[Руст]

Вот мои вычисления точности расчёта числа простых чисел по этой формуле:

$$f(n)=\pi(\sqrt n )+n\prod_{p<\sqrt n } (1-\frac 1p), \ z=100\% (\frac{f(n)-\pi (n)}{\pi (n)}), \ n=10^{2k}),k=2,3,...9.$$

Здесь z относительная ошибка в процентах. Точные значения $\pi(n),n=10^k,k=1,2,...,22$ млжно найти в портале prime pages.
k=2, z=1,42116
k=3, z=5,01427
k=4, z=7,40137
k=5, z=8,86721
k=6, z=9,8009
k=7, z=10,441
k=8, z=10,9138
k=9, z=11,2783
Теоретическая оценка формулы Мертенса полностью подтверждается.
Для того, чтобы уменьшить накопление ошибок при расчёте
$$\prod_{p<\sqrt n =10^k}(1-1/p)=\prod_{i=1}^k a(k), \ a(k)=\prod_{10^{k-1}<p<10^k}(1-\frac 1p ),$ каждое из a(k) считалось через суммы логарифмов с двойной точностью.

[Апис]

Давайте на время оставим поиск погрешности при вычислениях.
Ограничив значения (п) интервалом

\[P^2 - P_/^2 \]

я сузил границы поиска.
Правильно будет ограничить значение (п) интервалом

\[P - P_/^2 \]

. Исходя из новых значений (п) можно утверждать, что на интервале

\[P - P_/^2 \]

при

\[M_p \]

есть такое значение (п) при котором полученное из

\[ n(1 - m_p )\]

значение, отличается от истинного значения, количества составных чисел на интервале (р-п), не более чем на число

\[m_p \]

. Тоже самое естественно можно и сказать о количестве простых чисел на интервале (р-п).То есть я утверждаю, что для каждого

\[m_p \]

есть такое значение (п) на интервале

\[P - P_/^2 \]

при котором величина вычисления

\[n(1 - m_p )\]

и истинное значение количества составных чисел на интервале (р-п) отличаются не более чем на величину

\[m_p \]

. То есть существуют некие точки ноль, если их можно так назвать.