Сумма с целой частью [Теория чисел]

[Whitaker]

ИСН в сообщении #593219 писал(а):

(это так идут корни из n/5, например)

У вас ведь здесь знаменатель фиксирован!
А на самом деле знаменатель, т.е. $x$ - меняющийся.

[ИСН]

Думайте об этом под другим углом. Знаменатель, т.е. x - постоянный. У первого слагаемого постоянный. У второго слагаемого постоянный (хотя другой, нежели у первого). У третьего слагаемого постоянный. И так далее.

[Whitaker]

ИСН
Если возьмем $n=10$, $m=2$ то получаем суммирование будет идти по числам $x=2,3,5,6,7,8,10$ и получаем
$\sum \limits_{x}\big[\sqrt{\frac{10}{x}}\big]=2+1+1+1+1+1+1=8\neq [10]=10$
Где ошибка?

[kw_artem]

А откуда задача сама?

[Whitaker]

kw_artem
Гашков-Чубариков "Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений"

[ИСН]

Whitaker в сообщении #593140 писал(а):

по всем $x, 1\leq x \leq n$

[xmaister]

Whitaker в сообщении #593210 писал(а):

У нас такая сумма получается

$$\sum \limits_{x}\Big[\sqrt[m]{\frac{n+1}{x}}\Big]$$

Каждое из чисел $<n+1$ (их $[n+1]$ штук) представимо в виде $xk^m,k\in\mathbb{Z}$. Сколько для фиксированного $x$ существует $k$, такие что $xk^m<n+1$? В итоге выходит $[n+1]$, если не наврал нигде.

(Оффтоп)

Это вроде бы не безызвестная задача...

[Whitaker]

ИСН в сообщении #593241 писал(а):

Whitaker в сообщении #593140 писал(а):

по всем $x, 1\leq x \leq n$

но ведь еще на x налагается следующее условие: $x$ не делятся ни на какие $m$-е степени натуральных чисел. При n=10, m=2 получаем, что x не может принимать значения 1,4,9. Где у меня ошибка?

[kw_artem]

xmaister в сообщении #593269 писал(а):

Whitaker в сообщении #593210 писал(а):

У нас такая сумма получается

$$\sum \limits_{x}\Big[\sqrt[m]{\frac{n+1}{x}}\Big]$$

Каждое из чисел $<n+1$ (их $[n+1]$ штук) представимо в виде $xk^m,k\in\mathbb{Z}$.

(Оффтоп)

Это вроде бы не безызвестная задача...

Разве каждое? Если например, $m=2$ и попадется простое число меньшее $n$. или $x$ -- не только целое?

-- 08.07.2012, 08:34 --

Так что у вас $x$ означает?

-- 08.07.2012, 08:47 --

Whitaker в сообщении #593232 писал(а):

[b]
Если возьмем $n=10$, $m=2$ то получаем суммирование будет идти по числам $x=2,3,5,6,7,8,10$ и получаем
$\sum \limits_{x}\big[\sqrt{\frac{10}{x}}\big]=2+1+1+1+1+1+1=8\neq [10]=10$
Где ошибка?

да, при $m=3$ тоже $8$ получается

-- 08.07.2012, 08:57 --

а при $n=100$ и $m=3$ выходит вообще 112 вместо [100]

-- 08.07.2012, 09:00 --

Цитата:

Гашков-Чубариков "Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений"

может очепятка?

[Whitaker]

kw_artem в сообщении #593307 писал(а):

может очепятка?

Проверил. Никакой опечатки нет.

[kw_artem]

В самой книге я имею ввиду

[Whitaker]

kw_artem
В книжке И.М. Виноградова "Основы ТЧ"нашел эту задачу там точно такое же условие.
А может быть я где-то ошибку допустил?

[ИСН]

Возможно, надо было вычеркнуть из иксов все числа, делящиеся на какие-нибудь квадраты?

-- Вс, 2012-07-08, 09:57 --

Возможно, у Вас в условии, которое приведено в первом посте, ровно это и написано? Возможно, если при этом возникает (или кажется, что возникает) какая-то неоднозначность, её надо попытаться разрешить силой собственных рук?

[kw_artem]

Вы имеете ввиду самому отыскать значение $m$.

[ИСН]

Нет, не настолько круто. m годится любое.