Сумма с целой частью [Теория чисел]

[xmaister]

kw_artem в сообщении #593307 писал(а):

Разве каждое?

Я же указал, что $k$- целое.

[ИСН]

Да, каждое натуральное, а что?

[Whitaker]

Условие задачи я полностью понял.
Вроде решил задачку.

$$\lfloor n\rfloor=\sum \limits_{t\in \mathbb{N}:t\leqslant n}1=\sum \limits_{1\leqslant xk^m\leqslant n}1$$

В последней сумме $x$ не делится ни на какую $m$-ю степень числа. Последнюю сумму можно записать в виду двух сумм.

$$\sum \limits_{1\leqslant xk^m\leqslant n}1=\sum \limits_{1\leqslant x\leqslant n \atop{d^m \nmid x}}\sum \limits_{\frac{1}{x}\leqslant k^m \leqslant \frac{n}{x}}1=\sum \limits_{1\leqslant x \leqslant n \atop{x\neq d^mx_1 }}\sum\limits_{1\leqslant k \leqslant \sqrt[m]{\frac{n}{x}}}1=\sum \limits_{1\leqslant x \leqslant n \atop{x\neq d^mx_1 }}\Big\lfloor \sqrt[m]{\frac{n}{x}} \Big\rfloor$$

Отсюда получаем, что:

$$\lfloor n\rfloor=\sum \limits_{1\leqslant x \leqslant n \atop{x\neq d^mx_1 }}\Big\lfloor \sqrt[m]{\frac{n}{x}} \Big\rfloor$$

[kw_artem]

(Оффтоп)

xmaister в сообщении #593348 писал(а):

Я же указал, что - целое.

да я не про $k$ а про $x$

[Whitaker]

Большое спасибо ИСН за помощь!