Сумма с целой частью [Теория чисел]

[Whitaker]

Здравствуйте, друзья!
Помогите пожалуйста разобраться с задачкой.

Сумма чисел $\Big[\sqrt[m]{\frac{n}{x}}\Big]$, взятая по всем $x, 1\leq x \leq n$, не делящимся ни на какие $m$-e степени натуральных чисел, равна $[n]$

С уважением, Whitaker.

[ИСН]

Один студент © подрабатывал продавцом в ларьке и злоупотреблял заменой похожих товаров: просят пиво "Невское" - давал "Клинское", просят картошку - давал киви.
Потом ему сломали ноги и он стал передвигаться на костылях.
Вот таких: $\lceil\ \rceil$
А если их поставить к стеночке вверх ногами, они выглядели так: $\lfloor\ \rfloor$

-- Сб, 2012-07-07, 21:40 --

Коротко: когда n возрастает на единицу, то что происходит с левой частью, как она меняется? Если само n "хорошее" (в том же смысле, что x), то все корни чуть-чуть подрастают, но округление это съедает (почему?), зато добавляется новое слагаемое с $x=n$. Если n "плохое", то новое слагаемое не добавляется, зато - - -

[Whitaker]

ИСН
Честно говоря, я Вас не понял.

[ИСН]

Начиная с какого слова?

[svv]

Я стараюсь не заниматься теорией чисел, так как от неё у меня болят зубы.

Зубная боль возникает от операций взятия целой части (в разных вариантах). Думая о них, я испытываю чувство, как будто металлические керамические шарики отскакивают от моих зубов (как в рекламе зубной пасты). Мягкая непрерывность функций, так любимая мною, заменяется цокающей по зубам дискретностью.

[Whitaker]

ИСН в сообщении #593167 писал(а):

Коротко: когда n возрастает на единицу...

[ИСН]

Предположим, что для данных n и m мы его уже проверили и нашли верным. Тогда.

[Whitaker]

ИСН
Если я Вас правильно понял, то Вы хотите доказать индукцией по $n$?

[ИСН]

Нет, не так. Это Вы хотите доказать индукцией по n.

-- Сб, 2012-07-07, 22:03 --

Я-то ничего не хочу, мне оно не нужно.

[Whitaker]

Но вот я не понял когда мы переходим к $n+1$ как меняется наша сумма?
Никакой информации нет

[ИСН]

Понаблюдайте за округлёнными корнями в естественной среде обитания. $\lfloor\sqrt{13}\rfloor,\,\lfloor\sqrt{14}\rfloor,\,\lfloor\sqrt{15}\rfloor...$

-- Сб, 2012-07-07, 22:13 --

Как он меняется? И главное, когда?

[Whitaker]

ИСН в сообщении #593199 писал(а):

Понаблюдайте за округлёнными корнями в естественной среде обитания. $\lfloor\sqrt{13}\rfloor,\,\lfloor\sqrt{14}\rfloor,\,\lfloor\sqrt{15}\rfloor...$

$[\sqrt{9}]=[\sqrt{10}]=\dots=[\sqrt{15}]=3$, а вот $[\sqrt{16}]=4$
Меняется когда "наступает" квадрат

[ИСН]

Вот
Теперь у Вас не один корень, а сумма. Приложите это знание к ней (в смысле, к каждому корню в ней).

[Whitaker]

ИСН
У нас такая сумма получается

$$\sum \limits_{x}\Big[\sqrt[m]{\frac{n+1}{x}}\Big]$$

взятая по всем $x:$ $1\leq x\leq n+1$, не делящимся ни на какие $m$-е степени натуральных чисел.
Как-то не понятно как с ней "работать"

[ИСН]

ИСН в сообщении #593199 писал(а):

Понаблюдайте за округлёнными корнями в естественной среде обитания. Как он меняется? И главное, когда?

Шаг, кстати, не обязан быть единицей. $\lfloor\sqrt{15.4}\rfloor,\,\lfloor\sqrt{15.6}\rfloor,\,\lfloor\sqrt{15.8}\rfloor...$

-- Сб, 2012-07-07, 23:04 --

(это так идут корни из n/5, например)