Открытые множества в топологии

[lim(f(x))]

Если быть точным, я думаю, что давался этот пример. Потому что условия были такими же, за исключением того, что окрестности вида [0;a)\{1\n} были окрестностями любой точки, а не только нуля. Надо посмотреть, выполняются ли в таком случае 3 перечисленные аксиомы. Думаю, преподаватель мог ошибиться.

[Someone]

lim(f(x)) в сообщении #584170 писал(а):

Мне эти свойства напоминают признаки базы из учебника Колмогорова

Разумеется, $\bigcup\limits_{x\in X}\mathscr O_x$ - база открытых множеств той самой топологии, которая определяется этими окрестностями.

lim(f(x)) в сообщении #584205 писал(а):

окрестности вида [0;a)\{1\n} были окрестностями любой точки

Не понял. Во-первых, подозреваю, что формулу Вы написали неправильную. Во-вторых, Вы могли бы уже заметить, что другие участники форума пишут формулы как-то не так, как это делаете Вы. Будьте любезны разобраться (читайте http://dxdy.ru/topic8355.html, http://dxdy.ru/topic183.html, смотрите http://dxdy.ru/topic45202.html; код формулы в чужом сообщении можно подсмотреть, наведя на неё курсор мыши). Если будете продолжать писать в Вашем стиле, можете неожиданно обнаружить свои темы в Карантине.

[lim(f(x))]

Я уже разобрался, вы правы, это я неправильно записывал (всё же задание как в книге), да и сейчас ошибся одним символом.
Я имел в виду под знаком "\" разность множеств. По идее должно было быть так : $[0;\alpha ) \backslash \{\frac1n\} , n \in \mathbb{N} $ (если так можно писать). Извините, что писал не в TeX, я не думал, что маленькие формулы из "простых" символов тоже надо оформлять в нём.
Полагаю, можно считать вопрос решённым, спасибо за ответы

[Someone]

Точно $[0,\alpha)\setminus\left\{\frac 1n\right\}$, а не $[0,\alpha)\setminus\left\{\frac 1n:n\in\mathbb N\right\}$? Это не одно и то же. В первом случае вычитается не более чем одна точка, во втором - бесконечная последовательность.

lim(f(x)) в сообщении #584640 писал(а):

я не думал, что маленькие формулы из "простых" символов тоже надо оформлять в нём

По правилам, так надо писать даже формулы из одного символа, например, $x$.

[lim(f(x))]

Да, всё же надо указывать, какое именно $n$, в скобках, то есть правильная формула вторая: $[0,\alpha)\setminus\left\{\frac 1n:n\in\mathbb N\right\}$ .