Открытые множества в топологии

[lim(f(x))]

Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, разобраться с определением.
В книге Колмогорова по функциональному анализу есть такой пример (с. 95-96):

Цитата:

Примером хаусдорфова пространства, не являющегося регулярным, может служить отрезок [0, 1], в котором окрестности всех точек, кроме точки 0, определяются обычным способом, а окрестностями нуля считаются всевозможные полуинтервалы [0, а), из которых выкинуты точки вида 1/n (n = 1, 2, ...). Это — хаусдорфово пространство, но в нем точка 0 и не содержащее ее замкнутое множество {1/n} не отделимы друг от друга непересекающимися окрестностями, т. е. аксиома Т3 не выполнена.

В данной книге окрестность точки - это открытое множество, содержащее эту точку.
Вроде бы всё хорошо, но по определению топологии объединение любого числа открытых множеств - тоже открытое множество. Допустим, я хочу объединить окрестность точки 2/7 (1/7;3/7) с окрестностью нуля [0;3/7) с выкинутыми точками. Тогда в получившемся множестве появляется выкинутая точка 1/4, и это множество уже нельзя назвать открытым, как я понимаю. Я неправильно понял пример, или нужно говорить, что объединение любого числа окрестностей одной точки есть окрестность (а не объединение любого числа любых окрестностей)?

[мат-ламер]

lim(f(x)) в сообщении #584030 писал(а):

и это множество уже нельзя назвать открытым, как я понимаю

А какие множества будут открытыми - надо разбираться.

-- Вт июн 12, 2012 21:54:24 --

Открытые множества являются окрестностью любой своей точки. В данном случае $0$ принадлежит этому множеству, и это множество не является окрестностью нуля. Да ...

[lim(f(x))]

Может, имеется в виду, что можно выкидывать любые количество точек и в любом порядке? Тогда в данном случае получается n={1,3,4,5,6,...}.
Однако, если рассмотреть пересечение, например, окрестности нуля [0;5/7) и окрестности 3/7 (2/7;5/7), то можно увидеть, что это множество не содержит точки 1/2 и при этом не является окрестностью нуля, так что это тоже не открытое множество, и предыдущее предположение не решает проблемы.

[Nemiroff]

У меня ощущение, что это просто ошибка. Там не только этот факт непонятен, книжка вроде монументальная, но ляпы бывают.

[muzeum]

Речь, очевидно, идет о базисе окрестностей нуля.

[lim(f(x))]

О базе или предбазе? Тогда получается, что база или предбаза вообще окрестностей, если не ошибаюсь. Это следует из моих предыдущих примеров, где получающиеся множества не являются окрестностями нуля.

[muzeum]

Базис. Чтобы не путаться в определениях, уточню: в полученной топологии открытыми множествами не содержащими ноль являются обычные открытые множества. Множество является окрестностью нуля, если содержит некоторое подмножество, указанного в учебнике вида.
Извините, редактирую. Конечно, ляп маленький есть. Выброшенным из обычной открытой окрестности может быть любое подмножество чисел вида $\frac{1}{n}$. Я просто не заметил.

[Nemiroff]

muzeum в сообщении #584063 писал(а):

Множество является окрестностью нуля, если содержит некоторое подмножество, указанного в учебнике вида.

Это противоречит тому, что написано в книге.

Я еще не понял, как быть с пересечением. Тогда окрестности всех точек достаточно специфичны.

[muzeum]

Я отредактировал свой предыдущий пост сообразно своему пониманию фразы:
"из которых выкинуты точки вида 1/n (n = 1, 2, ...)" , - т.е. речь не идет о выбрасывании всех точек такого вида, а о выбрасывании некоторого множества иаких точек, в том числе и пустого, что даст обычную окрестность.

[Nemiroff]

muzeum в сообщении #584072 писал(а):

"из которых выкинуты точки вида 1/n (n = 1, 2, ...)" , - т.е. речь не идет о выбрасывании всех точек такого вида, а о выбрасывании некоторого множества иаких точек, в том числе и пустого, что даст обычную окрестность.

Тогда я не понимаю, почему нуль так выделен. Как следствие ведь получится, что для любой точки окрестность может не содержать некоторого подмножества вашего множества.

[Someone]

Всё правильно в учебнике написано. Определим окрестности точек $x\in(0,1]$ как $O_{\varepsilon}(x)=(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\cap[0,1]$ и окрестности нуля как $O_{\varepsilon}(0)=[0,\varepsilon)\setminus\{\frac 1n:n\in\mathbb N\}$, где $\varepsilon>0$. Легко проверить, что все аксиомы открытых окрестностей выполняются. Поэтому эти окрестности определяют некоторую топологию. При желании можно даже в качестве $\varepsilon$ брать только числа вида $\frac 1n$, $n\in\mathbb N$.

Вы почему-то хотите определить сразу все открытые множества. Между тем, некоторые из них устроены очень сложно. Однако каждое открытое множество является объединением окрестностей указанного вида. В том числе, например, множество $[0,\varepsilon)$ при $0<\varepsilon\leqslant$ является открытым в обсуждаемой топологии, хотя и не является окрестностью указанного выше вида.

Вообще, имейте в виду, что термин "окрестность" является неопределённым, его смысл определяется в каждом конкретном случае соответствующим определением.

[Nemiroff]

Someone в сообщении #584097 писал(а):

Легко проверить, что все аксиомы открытых окрестностей выполняются.

Не понял. Вы имеете в виду, что эти множества предбазу образуют?

Someone в сообщении #584097 писал(а):

В том числе, например, множество $[0,\varepsilon)$ при $0<\varepsilon\leqslant$ является открытым в обсуждаемой топологии, хотя и не является окрестностью указанного выше вида.

Если так, тогда может быть. Просто я привык, что "окрестность точки" и "открытое множество, содержащее точку" - одно и то же.

[lim(f(x))]

Тогда получается, что была дана база топологии (или предбаза), а не сама топология. Но и по идее всё должно сходится, надо попробовать подумать над этим.
А про окрестности в книге "Элементарная топология", кажется, было сказано, что они определяются по-разному: или любое множество, содержащее открытую окрестность с точкой, или просто открытая окрестность с точкой.

[Someone]

Nemiroff в сообщении #584103 писал(а):

Вы имеете в виду, что эти множества предбазу образуют?

Почему предбазу? Базу.

lim(f(x)) в сообщении #584107 писал(а):

Тогда получается, что была дана база топологии (или предбаза), а не сама топология.

Указание окрестностей всех точек - это один из стандартных способов задания топологии. Прямое определение топологии (семейства всех открытых множеств) - дело обычно весьма нетривиальное.

Nemiroff в сообщении #584103 писал(а):

Просто я привык, что "окрестность точки" и "открытое множество, содержащее точку" - одно и то же.

Если топология уже задана, то Вы можете определить открытую окрестность точки как любое открытое множество, содержащее эту точку. Но если топология пока не определена, и Ваша задача - определить эту какую-нибудь топологию, то откуда взять это самое "одно и то же"?

Один из способов определения топологии - это указание окрестностей точек. У нас имеется некоторое множество $X$. Мы для всех точек $x\in X$ определяем непустые семейства $\mathscr O_x$ подмножеств множества $X$, удовлетворяющие следующим аксиомам.
O1. Если $O\in\mathscr O_x$, то $x\in O$.
O2. Если $O_1\in\mathscr O_x$ и $O_2\in\mathscr O_x$, то существует такое $O_3\in\mathscr O_x$, что $O_3\subseteq O_1\cap O_2$.
O3. Если $O\in\mathscr O_x$ и $y\in O$, то существует такое $O'\in\mathscr O_y$, что $O'\subseteq O$.
Элементы семейства $\mathscr O_x$, $x\in X$, называются открытыми окрестностями точки $x$.

Далее можно определять всякие топологические понятия, используя эти окрестности. Например, множество $U\subseteq X$ называется открытым, если для каждой точки $x\in U$ существует такая окрестность $Ox\in\mathscr O_x$, что $Ox\subseteq U$.

Легко проверить, что в обсуждаемом примере из учебника Колмогорова и Фомина указанные выше три аксиомы выполняются.

[lim(f(x))]

Спасибо за ответ. Мне эти свойства напоминают признаки базы из учебника Колмогорова (с.87-88). Сейчас попробую понять получше всё это.

Как я понял, данные вами определения окрестностей и открытых множеств подходят под обсуждаемый пример. Если это так, то хорошо.
Нам этот пример давался как упражнение, и там было несколько пунктов. Один из них - доказать, что это топология. Если понимать под топологией совокупность всех открытых множеств, то это не топология (?), однако, этот пример всё же задаёт топологию. Вроде бы так.