Антимагические квадраты

[Nataly-Mak]

Общие формулы ассоциативных квадратов Стенли

Параллельно с обсуждением конкурсной задачи "Пандиагональные квадраты из простых чисел" обсуждаю и квадраты Стенли.
dmd помог мне с решением нескольких систем уравнений, в том числе и для квадратов Стенли.
Решила рассмотреть общие формулы для ассоциативных квадратов Стенли, начиная с порядка $n=2$. По-хорошему надо написать статью, а вообще-то - это глава будущей книги "Антимагические квадраты Стенли". Только не знаю, напишу ли я её. Материалов уже много в черновиках.
Поскольку я занимаюсь построением квадратов из различных простых чисел, примеры все будут именно такими, за исключением тех порядков, для которых ещё не найдены решения.
Однако приведённые формулы являются общими, по ним можно построить квадраты из любых натуральных чисел (и даже не обязательно натуральных).

Определение ассоциативных квадратов Стенли я уже давала.
Ещё обозначения: $k$ - константа ассоциативности, $S$ - индекс ассоциативного квадрата Стенли. Константа ассоциативности $k$ квадрата порядка $n$ связана с индексом $S$ следующей формулой:
$k=2S/n$

Итак, начинаю.

$n=2$

Конфигурация квадрата (далее под квадратами потнимаются "ассоциативные квадраты Стенли", сокращаю для удобства) имеет вид:

x1 x2
k-x2 k-x1

Очевидно, что свободные переменные x1, x2, k. При заданной константе ассоциативности свободных переменных остаётся две.

Пример (наименьший квадрат из различных простых чисел)

3 5
11 13

$k=16$, $S=16$

$n=3$

Конфигурация квадрата:

x1 x2 x3
x4 x5 k-x4
k-x3 k-x2 k-x1

Центральный элемент квадрата для $n=3$ (и для всех нечётных порядков) равен $k/2$.

Общая формула:

x3=2 x2-x1
x4=x1+x5-x2

При заданной константе ассоциативности имеем две свободных переменных ($x_5=k/2$).

Пример (наименьший квадрат из различных простых чисел)

5 17 29
47 59 71
89 101 113

$k=118$, $S=177$

(продолжение следует)

[Nataly-Mak]

$n=4$

Конфигурация квадрата:

x1 x2 x3 x4
x5 x6 x7 x8
k-x8 k-x7 k-x6 k-x5
k-x4 k-x3 k-x2 k-x1

Общая формула:

x6=x2+x5-x1
x4=x2+x3-x1
x7=x3+x5-x1
x8=x2+x3+x5-2 x1

Интересный момент: в формулах для квадратов чётных порядков никак не фигурирует константа ассоциативности, то есть она вообще отсутствует и никакая свободная переменная через неё не выражается.
Свободный переменных получается четыре.

Пример (наименьший квадрат из различных простых чисел)

7 13 31 37
17 23 41 47
73 79 97 103
83 89 107 113

$k=120$, $S=240$

$n=5$

Конфигурация квадрата:

x1 x2 x3 x4 x5
x6 x7 x8 x9 x10
x11 x12 x13 k-x12 k-x11
k-x10 k-x9 k-x8 k-x7 k-x6
k-x5 k-x4 k-x3 k-x2 k-x1

Общая формула:

x11=x1+x13-x3
x12=x2+x13-x3
x4=2 x3-x2
x5=2 x3-x1
x7=x2+x6-x1
x8=x3+x6-x1
x9=2 x3-x2+x6-x1
x10=2 x3+x6-2 x1

При заданной константе ассоциативности имеем 4 свободных переменных ($x_{13}=k/2$).

Пример (наименьший квадрат из различных простых чисел)

41 101 491 881 941
113 173 563 953 1013
251 311 701 1091 1151
389 449 839 1229 1289
461 521 911 1301 1361

$k=1402$, $S=3505$

$n=6$

Конфигурация квадрата:

x1 x2 x3 x4 x5 x6
x7 x8 x9 x10 x11 x12
x13 x14 x15 x16 x17 x18
k-x18 k-x17 k-x16 k-x15 k-x14 k-x13
k-x12 k-x11 k-x10 k-x9 k-x8 k-x7
k-x6 k-x5 k-x4 k-x3 k-x2 k-x1

Общая формула:

x8=x2+x7-x1
x9=x3+x7-x1
x10=x4+x7-x1
x5=x3+x4-x2
x6=x3+x4-x1
x11=x3+x4-x2+x7-x1
x12=x3+x4+x7-2 x1
x14=x2+x13-x1
x15=x3+x13-x1
x16=x4+x13-x1
x17=x3+x4-x2+x13-x1
x18=x3+x4+x13-2 x1

Свободных переменных получилось шесть.

Пример (наименьший квадрат из различных простых чисел)

17 53 83 101 131 167
113 149 179 197 227 263
317 353 383 401 431 467
373 409 439 457 487 523
577 613 643 661 691 727
673 709 739 757 787 823

$k=840$, $S=2520$

(продолжу)
Уважаемые коллеги! Прошу высказывать замечания. Формулы оригинальные, могу ошибаться.
Только для $n=10$ была решена система уравнений, описывающая ассоциативный квадрат Стенли, и получена общая формула. Остальные формулы я составляю по аналогии.

[Nataly-Mak]

$n=7$

Конфигурация квадрата:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14
x15 x16 x17 x18 x19 x20 x21
x22 x23 x24 x25 k-x24 k-x23 k-x22
k-x21 k-x20 k-x19 k-x18 k-x17 k-x16 k-x15
k-x14 k-x13 k-x12 k-x11 k-x10 k-x9 k-x8
k-x7 k-x6 k-x5 k-x4 k-x3 k-x2 k-x1

Общая формула:

x22=x1+x25-x4
x23=x2+x25-x4
x24=x3+x25-x4
x5=2 x4-x3
x6=2 x4-x2
x7=2 x4-x1
x9=x2+x8-x1
x10=x3+x8-x1
x11=x4+x8-x1
x12=2 x4-x3+x8-x1
x13=2 x4-x2+x8-x1
x14=2 x4+x8-2 x1
x16=x2+x15-x1
x17=x3+x15-x1
x18=x4+x15-x1
x19=2 x4-x3+x15-x1
x20=2 x4-x2+x15-x1
x21=2 x4+x15-2 x1

При заданной константе ассоциативности имеем 6 свободных переменных ($x_{25}=k/2$).

Пример (наименьший квадрат из различных простых чисел)

389 1181 3701 5009 6317 8837 9629 
3449 4241 6761 8069 9377 11897 12689 
13109 13901 16421 17729 19037 21557 22349 
14669 15461 17981 19289 20597 23117 23909 
16229 17021 19541 20849 22157 24677 25469 
25889 26681 29201 30509 31817 34337 35129 
28949 29741 32261 33569 34877 37397 38189

$k=38578$, $S=135023$

Такой наименьший квадрат найден по моей программе. Большой индекс получился. И закрадывается сомнение в возможности ошибки

(продолжение следует)

[Nataly-Mak]

Прежде чем перейти к квадратам 8-го порядка, сделаю замечание о связи ассоциативных квадратов Стенли порядков, являющихся простым числом, с идеальными магическими квадратами.
Выше показаны наименьшие ассоциативные квадраты Стенли порядков 5 и 7 из различных простых чисел. Понятно, что к этим квадратам можно применить преобразование Россера. В результате мы получаем не просто пандиагональные квадраты, а идеальные квадраты.

Но тут есть такой нюанс. Для порядка 5 все пандиагональные квадраты являются регулярными, то есть получаются из квадратов Стенли с помощью преобразования Россера.
Поэтому и все идеальные квадраты тоже регулярные. Идеальный квадрат, получаемый из показанного выше наименьшего ассоциативного квадрата Стенли тоже наименьший, вот он:

41   1151   1301   563   449
911   173   389   941   1091
1289   881   701   521   113
311   461   1013   1229   491
953   839   101   251   1361

Иными словами: между множеством всех квадратов Стенли 5-го порядка и между множеством всех пандиагональных квадратов 5-го порядка существует взаимно-однозначное соответствие. Множество всех ассоциативных квадратов Сенли 5-го порядка - подмножество всех квадратов Стенли данного порядка. И этому подмножеству взаимно-однозначно соответствует подмножество пандиагональных квадратов - идеальные квадраты.

Не так для квадратов 7-го порядка. Для данного порядка существуют регулярные и нерегулярные пандиагональные квадраты. Регулярные квадраты получаются из квадратов Стенли с помощью преобразования Россера. Нерегулярным пандиагональным квадратам квадраты Стенли не соответствуют (из чисел, составляющих нерегулярные квадраты, квадраты Стенли не составляются). Это распространяется и на подмножество, каким являются идеальные квадраты. Эти квадраты тоже могут быть регулярными и нерегулярными. И регулярным идеальным квадратам как раз и соответствуют ассоциативные квадраты Стенли.

Из показанного выше наименьшего ассоциативного квадрата Стенли 7-го порядка с помощью преобразования Россера получается такой регулярный идеальный квадрат:

9629 17729 16229 34877 4241 23117 29201
29741 11897 17981 35129 5009 13109 22157
30509 389 19037 17021 37397 6761 23909
24677 32261 12689 19289 25889 6317 13901
14669 31817 1181 21557 19541 38189 8069
16421 25469 33569 3449 20597 26681 8837
9377 15461 34337 3701 22349 20849 28949

Однако этот идеальный квадрат не является наименьшим.
alexBlack нашёл нерегулярный идеальный квадрат 7-го порядка из различных простых чисел с магической константой 5411

1439 1307 359 47 137 599 1523
443 227 269 1163 983 953 1373
863 929 1097 1433 719 317 53
977 179 887 773 659 1367 569
1493 1229 827 113 449 617 683
173 593 563 383 1277 1319 1103
23 947 1409 1499 1187 239 107

Вопрос о минимальности этого идеального квадрата остаётся открытым.

[Nataly-Mak]

Если никто не возражает, я продолжу

$n=8$

Конфигурация квадрата:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15 x16
x17 x18 x19 x20 x21 x22 x23 x24
x25 x26 x27 x28 x29 x30 x31 x32
k-x32 k-x31 k-x30 k-x29 k-x28 k-x27 k-x26 k-x25
k-x24 k-x23 k-x22 k-x21 k-x20 k-x19 k-x18 k-x17
k-x16 k-x15 k-x14 k-x13 k-x12 k-x11 k-x10 k-x9
k-x8 k-x7 k-x6 k-x5 k-x4 k-x3 k-x2 k-x1

Общая формула:

x6=x4+x5-x3
x7=x4+x5-x2
x8=x4+x5-x1
x10=x9+x2-x1
x11=x9+x3-x1
x12=x9+x4-x1
x13=x9+x5-x1
x14=x9+x4+x5-x3-x1
x15=x9+x4+x5-x2-x1
x16=x9+x4+x5-2 x1
x18=x17+x2-x1
x19=x17+x3-x1
x20=x17+x4-x1
x21=x17+x5-x1
x22=x17+x4+x5-x3-x1
x23=x17+x4+x5-x2-x1
x24=x17+x4+x5-2 x1
x26=x25+x2-x1
x27=x25+x3-x1
x28=x25+x4-x1
x29=x25+x5-x1
x30=x25+x4+x5-x3-x1
x31=x25+x4+x5-x2-x1
x32=x25+x4+x5-2 x1

Имеем 8 свободный переменных.
Программа, написанная по этой формуле, работает очень быстро. Мне удалось проверить все потенциальные константы ассоциативности и подтвердить минимальность найденного мной давно ассоциативного квадрата Стенли 8-го порядка из различных простых чисел. Вот этот квадрат:

19 83 1019 1583 3229 3793 4729 4793
103 167 1103 1667 3313 3877 4813 4877
499 563 1499 2063 3709 4273 5209 5273
523 587 1523 2087 3733 4297 5233 5297
709 773 1709 2273 3919 4483 5419 5483
733 797 1733 2297 3943 4507 5443 5507
1129 1193 2129 2693 4339 4903 5839 5903
1213 1277 2213 2777 4423 4987 5923 5987

$k=6006$, $S=24024$

Теперь несколько слов об ассоциативных квадратах Стенли чётных порядков. Из этих квадратов получаются совершенные магические квадраты.
Для порядка 4 имеем взаимно-однозначное соответствие между ассоциативными квадратами Стенли и совершенными магическими квадратами. Для следующих чётных порядков это не так: не любой ассоциативный квадрат Стенли может быть превращён в совершенный магический квадрат.
Преобразования, превращающие ассоциативные квадраты Стенли в совершенные магические квадраты, я приводила выше.
Из показанного выше наименьшего ассоциативного квадрата Стенли 6-го порядка совершенный магический квадрат не получается, а из показанного только что ассоциативного квадрата 8-го порядка получается.

Тут возник очень тонкий момент, который от меня ускользает.
Итак:
я проверила все потенциальные константы для ассоциативных квадратов Стенли 8-го порядка. Наименьшая константа, для которой такой квадрат построился, равна 6006. Этот квадрат показан. Индекс квадрата равен 24024.
Значит ли это, что наименьший совершенный магический квадрат тоже имеет магическую константу 24024 (то есть у него константа комплементарности равна 6006)

Поиск наименьшего совершенного магического квадрата пока продолжаю (начала с магической константы 24024 и двигаюсь вниз). Может быть, делаю пустую работу
Но не могу строго доказать сей факт.

[Nataly-Mak]

Общая формула для ассоциативных квадратов Стенли 9-го порядка приведена здесь.
Не буду повторять. В этой же теме и формула для квадратов 10-го порядка, которая была получена решением системы уравнений; именно эта формула дала мне образец, как найти общие формулы для всех других порядков.
Ещё раз спасибо dmd за решение составленной мной системы линейных уравнений, описывающей ассоциативный квадрат Стенли 10-го порядка. Решение получилось отличное!

Для порядка 9 мне пока не удалось найти квадрат из различных простых чисел; есть только первое приближение к решению - квадрат, в котором большинство чисел простые:

163 239 1031 3551 4859 6167 8687 9479 9555
313 389 1181 3701 5009 6317 8837 9629 9705
3373 3449 4241 6761 8069 9377 11897 12689 12765
13033 13109 13901 16421 17729 19037 21557 22349 22425
14593 14669 15461 17981 19289 20597 23117 23909 23985
16153 16229 17021 19541 20849 22157 24677 25469 25545
25813 25889 26681 29201 30509 31817 34337 35129 35205
28873 28949 29741 32261 33569 34877 37397 38189 38265
29023 29099 29891 32411 33719 35027 37547 38339 38415

Однако и не простых чисел многовато. Этот квадрат получен достраиванием наименьшего ассоциативного квадрата Стенли 7-го порядка. Он имеет такую же константу ассоциативности и такой же центральный элемент, как и квадрат 7-го порядка.

Точно так же построила ассоциативный квадрат Стенли 10-го порядка из произвольных натуральных чисел - достраиванием квадрата 8-го порядка:

11 13 77 1013 1577 3223 3787 4723 4787 4789
17 19 83 1019 1583 3229 3793 4729 4793 4795
101 103 167 1103 1667 3313 3877 4813 4877 4879
497 499 563 1499 2063 3709 4273 5209 5273 5275
521 523 587 1523 2087 3733 4297 5233 5297 5299
707 709 773 1709 2273 3919 4483 5419 5483 5485
731 733 797 1733 2297 3943 4507 5443 5507 5509
1127 1129 1193 2129 2693 4339 4903 5839 5903 5905
1211 1213 1277 2213 2777 4423 4987 5923 5987 5989
1217 1219 1283 2219 2783 4429 4993 5929 5993 5995

И наконец, квадрат 9-го порядка достроила до ассоциативного квадрата Стенли 11-го порядка тоже из произвольных натуральных чисел:

131 145 221 1013 3533 4841 6149 8669 9461 9537 9551
149 163 239 1031 3551 4859 6167 8687 9479 9555 9569
299 313 389 1181 3701 5009 6317 8837 9629 9705 9719
3359 3373 3449 4241 6761 8069 9377 11897 12689 12765 12779
13019 13033 13109 13901 16421 17729 19037 21557 22349 22425 22439
14579 14593 14669 15461 17981 19289 20597 23117 23909 23985 23999
16139 16153 16229 17021 19541 20849 22157 24677 25469 25545 25559
25799 25813 25889 26681 29201 30509 31817 34337 35129 35205 35219
28859 28873 28949 29741 32261 33569 34877 37397 38189 38265 38279
29009 29023 29099 29891 32411 33719 35027 37547 38339 38415 38429
29027 29041 29117 29909 32429 33737 35045 37565 38357 38433 38447

Общую формулу для квадратов 11-го порядка тоже написала, но не буду её приводить.
Аналогия уже достаточно хорошо просматривается в приведённых формулах. Кто захочет, легко может написать общую формулу для любого следующего порядка.

[Nataly-Mak]

Интересное наблюдение

У меня получился такой наименьший ассоциативный квадрат Стенли 3-го порядка из различных простых чисел:

5 17 29
47 59 71
89 101 113

Индекс квадрата равен 177.
Вспомнила, что наименьший магический квадрат 3-го порядка из различных простых чисел имеет магическую константу 177 (см. A164843).
Подумалось, что это не случайное совпадение. Глянула на наименьший МК --- он составлен из тех же самых простых чисел.
Известно, что пандиагональных квадратов 3-го порядка не существует. Зато все квадраты 3-го порядка ассоциативны.
Оказывается, между ассоциативными квадратами Стенли и магическими квадратами 3-го порядка существует взаимно-однозначное соответствие.

Это матричное преобразование, которое превращает любой ассоциативный квадрат Стенли 3-го порядка (aij) в магический квадрат:

a12 a31 a23
a33 a22 a11
a21 a13 a32

Применив данное преобразование к приведённому наименьшему ассоциативному квадрату Стенли, получим такой наименьший магический квадрат:

17 89 71
113 59 5
47 29 101

Это обратное преобразование, превращающее любой магический квадрат 3-го порядка (aij) в ассоциативный квадрат Стенли:

a23 a11 a32 
a31 a22 a13
a12 a33 a21

Пример 1
возьмём магический квадрат:

67 1 43
13 37 61
31 73 7

и применим к нему данное преобразование, получим следующий ассоциативный квадрат Стенли:

61 67 73
31 37 43
1 7 13

Пример 2
возьмём классический магический квадрат 3-го порядка:

4 9 2
3 5 7
8 1 6

и применим к нему данное преобразование, получим обратимый квадрат (который, конечно, является ассоциативным квадратом Стенли):

7 4 1
8 5 2
9 6 3

Забавно
Чтобы построить классический магический квадрат 3-го порядка, надо написать самый простой обратимый квадрат (все числа от 1 до 9 в естественном порядке):

1 2 3
4 5 6
7 8 9

и применить к нему показанное выше преобразование (ассоциативный квадрат Стенли --> магический квадрат). Получится такой классический магический квадрат:

2 7 6
9 5 1
4 3 8

[Nataly-Mak]

Ещё одно интересное наблюдение

Как известно, квадраты Стенли обладают таким свойством: если в квадрате Стенли удалить любую строку и любой столбец, получившийся квадрат будет квадратом Стенли.
В результате такого свойства мы имеем для ассоциативных квадратов такие "матрёшки" из вложенных друг в друга ассоциативных квадратов Стенли.
Покажу две такие "матрёшки", ассоциативные квадраты Стенли 7-го и 8-го порядков, в которых хорошо видны вложенные ассоциативные квадраты Стенли меньших порядков.





Все вложенные ассоциативные квадраты имеют такую же константу ассоциативности, как самый большой внешний квадрат. Это похоже также на окаймлённые квадраты.

Понятно, что в ассоциативном квадрате Стенли можно удалять не любые строки/столбцы, а только симметричные относительно осей симметрии. Можно удалить и любые другие пары симметричных строк/столбцов, например, так:

19 1019 1583 3229 3793 4793
499 1499 2063 3709 4273 5273
523 1523 2087 3733 4297 5297
709 1709 2273 3919 4483 5483
733 1733 2297 3943 4507 5507
1213 2213 2777 4423 4987 5987

Получился новый ассоциативный квадрат Стенли 6-го порядка.

[Nataly-Mak]

Надолго отложила тему ассоциативных квадратов Стенли; вот сегодня немного возобновила работу по этой теме.
Искала второй ассоциаивный квадрат Стенли 8-го порядка из различных простых чисел, наименьший по моим данным имеет константу ассоциативности 6006.
Второй квадрат с константой ассоциативности 6510 нашла сегодня:

61 281 661 947 1201 1487 1867 2087
1693 1913 2293 2579 2833 3119 3499 3719
1777 1997 2377 2663 2917 3203 3583 3803
2113 2333 2713 2999 3253 3539 3919 4139
2371 2591 2971 3257 3511 3797 4177 4397
2707 2927 3307 3593 3847 4133 4513 4733
2791 3011 3391 3677 3931 4217 4597 4817
4423 4643 5023 5309 5563 5849 6229 6449

Сейчас проверяю этот массив комплементарных чисел на возможность построения совершенного магического квадрата 8-го порядка. Если построится, это будет тоже второй совершенный магический квадрат, первый имеет магическую константу 24024 и получается из ассоциативного квадрата Стенли с константой ассоциативности 6006.

Терерь перехожу к поиску наименьшего ассоциативного квадрата Стенли 10-го порядка. Программа у меня уже написана.
По свойству матрёшек (см. выше) имеем: константа ассоцитивности квадрата Стенли 10-го порядка не может быть меньше константы ассоциативности ассоциативного квадрата Стенли 8-го порядка. Ассоциативный квадрат Стенли 10-го порядка с константой ассоциативности 6006 не существует, как говорит моя программа. Теперь надо проверить существование ассоциативного квадрата 10-го порядка с константой ассоциативности 6510 (все промежуточные константы ассоциативности пропускаю, они невозможны для квадрата 10-го порядка, так как квадрат 8-го порядка с такими константами ассоциативности не существует).
Ну, и далее буду двигаться вверх с шагом 2: 6512, 6514 и т.д.
У меня пока нет ни одного ассоциативного квадрата Стенли 10-го порядка из различных простых чисел.

[Deggial]

Nataly-Mak, напоминаю, что форум подразумевает обсуждение, а не изложение в виде блога:

правила форума писал(а):

1) Нарушением считается:
...
ж) ... Создание тем в стиле личного блога, не предполагающих обсуждения какого-либо вопроса.

потому просьба для сохранения темы строить свои посты соответствующим образом

[Nataly-Mak]

Как я понимаю, дело не в том, как я строю свои посты, а в том, что обсуждать тему никто не желает.

Можете закрывать эту тему, я больше не буду сообщать о своих исследованиях, которые, между прочим, являются уникальными (если не так, найдите в Интернете аналогичные исследования и подобные полученным мной результаты по антимагическим квадратам Стенли).

Мою тему "Магические квадраты" тоже можете закрыть. Её тоже обсуждать нет желающих. Можете вообще все мои темы закрыть и отправить в корзину. Я разрешаю.

И тему "Дьявольские магические квадраты из простых чисел" тоже закройте.
Расплодила тут свои магические квадраты! не продохнуть

нг в сообщении #123576 писал(а):

Господа, давайте не превращать тему в блог. Я наблюдаю за ней с самого начало, но уже давно не могу понять: какой же вопрос(ы) обсуждается.

Предлагаю чётко сформулировать вопрос, ответ на который ищется.

Тогда maxal спас тему "Магические квадраты", низкий поклон ему за это.
Сейчас эта тема имеет более 117000 просмотров, содержит оригинальные алгоритмы и уникальные результаты, которых нет в мире (что показал прошедший недавно международный конкурс программистов).

Закройте и эту тему, бросьте её в корзину.

Можете мне ещё и бан добавить за обсуждение действий модератора, месяца на три примерно, а лучше всего - пожизненный.

[Nataly-Mak]

Позволю себе добавить информацию по теме.

На сайте primepuzzles.net была опубликована головоломка "Ассоциативные квадраты Стенли из простых чисел":
http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_717.htm

К сожалению, эта головоломка никем не решена, в отличие от головоломки о произвольных квадратах Стенли из простых чисел.

Недавно я отправила автору сайта Carlos Rivera ещё одну головоломку о квадратах Стенли из простых чисел. В этой головоломке требуется составлять квадраты Стенли (произвольные и ассоциативные) из последовательных простых чисел.
Carlos ответил, что головоломка принята и будет опубликована.

Я выложила эту головоломку на форуме ПЕН:
http://e-science.ru/forum/index.php?s=& ... t&p=429139

[Кстати, не понимаю, почему на данном форуме рядовые (не заслуженные) участники не могут прикреплять файлы. Привилегия ЗУ?
Может быть, участникам с большим стажем (скажем, более 5 лет), пусть и не заслуженным, разрешить это делать? Опция очень удобная; на ПЕН пользовалась ей очень часто.]

Можно решать задачу уже сейчас, не дожидаясь, когда она будет опубликована на сайте primepuzzles.net.
Только вряд ли найдутся желающие решать

P.S. Понимаю, что это сообщение ничуть не повысило "обсуждабельность" данной темы, но раз уж мне милостиво разрешили ещё что-то написать, я и написала.

[Nataly-Mak]

Только что получила ответ от C. Rivera:

Цитата:

Your puzzle already published as Puzzle 731. Second part for a next puzzle soon.

Carlos опубликовал только первую часть задачи - произвольные квадраты Стенли из последовательных простых чисел.
Вторую часть задачи (ассоциативные квадраты Стенли из последовательных простых чисел) он оставил на другую головоломку.

Итак, решайте головоломку #731.
Ничего сложного, за исключением того, что программы перебора "буксуют". Ищите интересные технические решения в этих программах. Я не сомневаюсь в том, что их можно найти.

Решения можно отправлять на сайт primepuzzles.net или же присылайте мне.

[Nataly-Mak]

Nataly-Mak в сообщении #837201 писал(а):

Итак, решайте головоломку #731.
Ничего сложного, за исключением того, что программы перебора "буксуют". Ищите интересные технические решения в этих программах. Я не сомневаюсь в том, что их можно найти.

А вот и первые решения:

Цитата:

Andersen wrote:
In puzzle 681 I found n=4 with minimal difference 82 between the 16 consecutive primes.
The first case is 4164532312868707261 added to each of the 16 numbers:
0 6 18 30
10 16 28 40
42 48 60 72
52 58 70 82

The second case is 6856521413120052187 added to these:
0 10 42 52
12 22 54 64
24 34 66 76
30 40 72 82

If the primes are minimized instead of their difference then there
are probably much smaller solutions but I haven't searched.

И снова Andersen!

Обидно за державу (c)

[Nataly-Mak]

Кстати, не могу даже проверить это решение Andersen:

Цитата:

The first case is 4164532312868707261 added to each of the 16 numbers:
0 6 18 30
10 16 28 40
42 48 60 72
52 58 70 82

потому что у меня нет таких больших простых чисел.
У кого-нибудь есть?

Надо проверить, действительно ли эти простые числа являются последовательными.
Первое простое число - 4164532312868707261.
Этому числу соответствует 0 в том квадрате Стенли, который вы видите в решении.
А следующие простые числа получаются прибавлением к первому простому числу элементов квадрата Стенли:
6, 10, 16, 18, ... , 82

Всего получится 16 простых чисел, которые должны быть последовательными.

Всё правильно? Кто может проверить?

Точно так же надо проверить второе решение Andersen.

Думаю, что оба решения абсолютно правильные.
Да и автор сайта Carlos Rivera все решения проверяет прежде чем публиковать.

Однако, как я поняла, Andersen не уверен, что найденные им решения наименьшие.