Уравнения идеальных газов. Зависимости между Q, P, V и T

[AAK]

Помогите разобраться.
Задача на уровне восьмого класса сельской средней школы: необходимо определить зависимости между приращением тепловой энергии, давлением, молярным объемом и температурой в идеальных газах.

Я её решал следующим образом.
В адиабатическом процессе зависимость между давлением и молярным объемом соответствует уравнению Пуассона:

при $Q=\operatorname{const}$, $PV^\gamma=\operatorname{const}$,

При этом нужно учитывать, что разным молярным тепловым энергиям $Qi$ соответствуют разные адиабаты. Следовательно, уравнение Пуассона можно записать в следующем виде:

$PV^\gamma=f(Qi)$, (1).

Из уравнения (1) следует, что при изменении молярной тепловой энергии $Qi$ для определения расположения адиабат необходимо определить зависимость изменения функции $f(Qi)$.

Является важным, что уравнение (1) является общим и соответствует ЛЮБЫМ равновесным состояниям идеальных газов (в любой точке рис.1.)

В изобарном процессе зависимость между приращением молярной тепловой энергии и изменением молярного объема соответствует уравнению:

при $P=\operatorname{const}$, $\Delta Q=P \Delta V$ . (2)

Рис.1. Изобарно-адиабатический процесс.

Для изобарных процессов получаем систему уравнений:
уравнение (1) имеет вид:

при $P=\operatorname{const}$, $\frac {f(Q)} {V^\gamma}=k_1=\operatorname{const}$, (3)

уравнение (2) имеете вид:

при $P=\operatorname{const} $, $\frac {\Delta Q} {\Delta V}=k_2=\operatorname{const}$. (4)

Решая систему уравнений (3) и (4) получаем:

$f(Q)=kQ^\gamma$, (5)

используя уравнение (5), уравнение (1) можно записать:

$PV^\gamma=kQ^\gamma$, (6)

$kQ^\gamma=RTV^{(\gamma-1)}$, (7)

$R^\gamma T^\gamma=kQ^\gamma P^{(\gamma-1)}$, (8)

где Q – молярная тепловая энергия, P – давление, T – температура (молярная интенсивность излучения), V – молярный объем, R – универсальная газовая постоянная, k – коэффициент пропорциональности; $\gamma$ – показатель адиабаты, k -- коэффициент пропорциональности:

$k=1(\frac {M^3} {joules})^{(\gamma-1)}$.

Я не встречал таких уравнений в учебнике.
Кто может сказать -- есть ли у меня ошибки? Если есть, то какие?

[Himfizik]

Я Вас не понимаю. Зачем Вы прибегаете к такой казуистике, если рассматриваете идеальный газ. Уравнение состояние для него известно. Кроме того не понятна Ваша логика. Сначала Вы хотите вывести некое соотношение для адиабатических процессов, затем рассматриваете изобарный процесс, делая ошибку в $I$ начале термодинамики, потеряв там изменение внутренней энергии.

Стартуйте с $pV=RT$. Первое начало Вам в помощь. Рассмотрите процессы, какие Вашей душе угодно. И еще одно, в постановке задачи путаница: приращения связывают с приращениями, а не с мгновенными значениями функции.

[AAK]

Himfizik в сообщении #561159 писал(а):

Я Вас не понимаю. Зачем Вы прибегаете к такой казуистике, если рассматриваете идеальный газ. Уравнение состояние для него известно.
Стартуйте с $pV=RT$. Первое начало Вам в помощь. Рассмотрите процессы, какие Вашей душе угодно.

Спасибо, но мне не понятно, как Вы предлагаете из уравнения Клайперона-Менделеева определить зависимости между приращениями молярной тепловой энергии, давлением и молярным объемом? Подчеркну, меня интересуют -- зависимости именно между молярной тепловой энергией и другими параметрами идеальных газов.

Цитата:

Кроме того не понятна Ваша логика. Сначала Вы хотите вывести некое соотношение для адиабатических процессов, затем рассматриваете изобарный процесс, делая ошибку в $I$ начале термодинамики, потеряв там изменение внутренней энергии.

Внутренняя энергия учитывается в изменениях параметров состояний идеальных газов.

Цитата:

И еще одно, в постановке задачи путаница: приращения связывают с приращениями, а не с мгновенными значениями функции.

Поясните -- в чем ошибка?

[Himfizik]

AAK в сообщении #561181 писал(а):

Поясните -- в чем ошибка?

Да, не ошибка. Просто, не понимаю логики действий, оттого и задаю такие вопросы. Было бы логичнее, например, интересоваться как с приращением теплоты меняется объем. Пишу я, например, для одного моля идеального газа в изобарном процессе:
$\delta Q=dU+pdV=\frac{i}{2}RdT+pdV=\frac{i}{2}pdV+pdV=\frac{i+2}{2}pdV$. Вот Вам и связь приращения теплоты с приращением объема (приращение давления естественно нуль ).

[AAK]

Himfizik в сообщении #561213 писал(а):

Да, не ошибка. Просто, не понимаю логики действий, оттого и задаю такие вопросы.

Логика проста -- Это необходимо для расчетов и объяснения многих термодинамических процессов. Например, изменения состояний идеальных газов при изотермических процессах, объяснении работы тепловых двигателей и насосов, объяснении механизмов формирования состояний газов в атмосферах Земли, Солнца и звезд и т.д.

МОЛЯРНАЯ ТЕПЛОВАЯ ЭНЕРГИЯ является одним из основных показателей состояний идеальных газов. Приращения тепловой энергии сопровождают ВСЕ термодинамические процессы, кроме адиабатических. В уравнениях идеальных газов Клайперона-Менделеева и Пуассона нет зависимостей от молярной тепловой энергии. И хотелось получить какие-то более-менее простые зависимости между приращением тепловой энергии, молярным объемом, давлением и температурой, аналогичные уравнениям Клайперона-Менделеева и Пуассона и более того, хотелось объединить все уравнения общими зависимостями.

Цитата:

Было бы логичнее, например, интересоваться как с приращением теплоты меняется объем. Пишу я, например, для одного моля идеального газа в изобарном процессе:
$\delta Q=dU+pdV=\frac{i}{2}RdT+pdV=\frac{i}{2}pdV+pdV=\frac{i+2}{2}pdV$. Вот Вам и связь приращения теплоты с приращением объема (приращение давления естественно нуль ).

Спасибо. Но КАК это уравнение связать с уравнением Пуассона и Клайперона-Менделеева?
По образованию я механик, к физике и математике отношения не имею. И в первую очередь меня интересует сам принцип зависимостей между молярной тепловой энергией, давлением, молярным объемом и температурой.

На рис. 1. изображен замкнутый изобарно-адиабатический цикл. Хотелось бы рассмотреть полностью связанный механизм расчета данного цикла.

[Himfizik]

AAK в сообщении #561280 писал(а):

Но КАК это уравнение связать с уравнением Пуассона и Клайперона-Менделеева?

Кхе-кхе, дык я же использовал в этой строчке это уравнение (Менделеева-Клапейрона, а не Клайперона), когда от $RdT$ переходил к $pdV$. Эта связь уже учтена. Если хотите $\delta Q$ еще с температурой связать, так сделайте обратную замену $pdV \rightarrow RdT$.
Рекомендую Вам чего-нибудь серьезное по термодинамике всеж-таки почитать. Пока, как мне кажется, Вы хотите перехитрить устоявшиеся уравнения и методы (либо я Вас не правильно понял).

Механизм расчета, который, как Вы выразились, желаете рассмотреть, основан на двух этих уравнениях (уравнение состояния и первое начало термодинамики), объединенных у меня в одну строчку выше. Больше никаких кульбитов с формулами делать не надо, они этого не очень любят (тем более, что многие из них являются именными), да и термодинамика системы от этого "лучше" описываться не будет. Все уже написано.

[AAK]

Himfizik в сообщении #561294 писал(а):

Пока, как мне кажется, Вы хотите перехитрить устоявшиеся уравнения и методы (либо я Вас не правильно понял).

По большому счету может и так -- хочу кого-то перехитрить. Но, в общем-то мне нужны были зависимости изменения состояний газов в изотермических системах с разными давлениями. При их анализе пришел к выводу, что изотермические системы с разными давлениями уравновешиваются переходами тепловой энергии. Стал искать зависимости и пришел к уравнениям (6), (7), (8). (Совершенно не желая кого-то перехитрить.)

Цитата:

Механизм расчета, который, как Вы выразились, желаете рассмотреть, основан на двух этих уравнениях (уравнение состояния и первое начало термодинамики), объединенных у меня в одну строчку выше. Больше никаких кульбитов с формулами делать не надо, они этого не очень любят (тем более, что многие из них являются именными), да и термодинамика системы от этого "лучше" описываться не будет. Все уже написано.

Может уже все и написано. Я не спорю. Может и такие уравнения уже кто-то выводил, а может они совсем бредовые (я много го не знаю).

Есть например энтальпия:http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BF%D0%B8%D1%8F
Энтальпи́я, также тепловая функция и теплосодержание — термодинамический потенциал, характеризующий состояние системы в термодинамическом равновесии при выборе в качестве независимых переменных давления, энтропии и числа частиц.

Проще говоря, энтальпия - это та энергия, которая доступна для преобразования в теплоту при определенных температуре и давлении.

Именно потенциал (запас) тепловой энергии меня и интересует.

В рассмотрении зависимостей состояний идеальных газов я хотел бы рассматривать именно полное состояние молярной тепловой энергии $Q$ газов, а не приращение $d(Q)$.

(Не знаю поняли ли Вы меня, но в дальнейшем я хочу перейти на определение зависимостей состояний средних энергий электронов в атомах. Именно для этого мне и нужна зависимость состояния молярной тепловой энергии $Q$, а не приращения).

[Himfizik]

Бр-р-р. Так нельзя. Не перескакивайте с одной постановки на другую, не разобравшись окончательно (то изобарный процесс, то изотермический). У меня вопрос: читали ли Вы какую-нибудь литературу по термодинамике? Если нет, то почитайте. Вы по ходу написания совершаете ошибки. Это значит, что недостаточно хорошо владеете материалом, чтобы делать выводы или рассуждать о той или иной физической ситуации.
"Термодинамический потенциал" и "запас" не есть синонимы. Почитайте классические учебники, базовые приемы решения термодинамических задач, не надо сразу привлекать кучу понятий, тем более термодинамические потенциалы. Теплота $Q$ это не функция состояния, а функция процесса, поэтому писать $dQ$ некорректно, правильно $\delta Q$. Это важно, так как за этим стоит определенный смысл.
Короче, Вам не хватает осведомленности в этой тематике (возможно не только в этой), учите матчасть.

[Alexandr007]

AAK в сообщении #561315 писал(а):

Именно потенциал (запас) тепловой энергии меня и интересует.

Если потенциал, то наверно внутренняя энергия, для одноатомных идеальных газов $E=\frac 3 2 RT $

AAK в сообщении #561315 писал(а):

я хочу перейти на определение зависимостей состояний средних энергий электронов в атомах.

Тут все просто пока кТ много меньше разности энергий между основным и возбужденным состоянием, все электроны находятся в основном состоянии, и их средняя энергия равна энергии основного состояния.

[AAK]

Himfizik в сообщении #561319 писал(а):

Теплота $Q$ это не функция состояния, а функция процесса, поэтому писать $dQ$ некорректно, правильно $\delta Q$. Это важно, так как за этим стоит определенный смысл.

Вероятно я что то не правильно понимаю.
Начнем по порядку.
1. Рассмотрим опыт Крушева. Берем адиабатический сосуд, перегороженный подвижным прозрачным поршнем с вакуумной прослойкой, на две камеры. Камеры заполнены идеальным газом. При перемещении поршня в первой камере происходит снижение давления, во второй камере происходит увеличение давления. Соответственно в первой камере при снижении давления происходит адиабатическое охлаждение газа, а во второй камере, в результате увеличения давления происходит адиабатический нагрев газа. При неподвижной фиксации поршня, в результате перехода тепловой энергии в виде излучения через прозрачный поршень, происходит постепенное выравнивание температур в первой и второй камерах.

В адиабатическом сосуде с подвижным прозрачным поршнем имеющим вакуумную прослойку можно моделировать все термодинамические процессы -- изотермические, адиабатические, изохорные, изобарные.
При этом важно, что передача тепловой энергии происходит только излучением через прозрачный поршень.
Зависимость изменений состояний идеальных газов от количества поглощаемой--излучаемой тепловой энергии свидетельствует, что состояние идеальных газов определяется не только давлением, молярным объемом, температурой, но так же и количеством поглощенной молярной тепловой энергии - $Q$.

Таким образом, молярная тепловая энергия $Q$ это функция не процесса, а именно состояния идеальных газов. Из опыта Крушева видно, что между молярной тепловой энергией, давлением, молярным объемом и температурой имеются строго определенные зависимости.

Поэтому, я считаю, что молярная тепловая энергия может обозначаться именно как $Q$, аналогично давлению $P$, молярному объему $V$, температуре $T$.

2.

Himfizik в сообщении #561213 писал(а):

например, для одного моля идеального газа в изобарном процессе:
$\delta Q=dU+pdV=\frac{i}{2}RdT+pdV=\frac{i}{2}pdV+pdV=\frac{i+2}{2}pdV$. Вот Вам и связь приращения теплоты с приращением объема (приращение давления естественно нуль ).

Я считаю, что у Вас ошибка -- Вы дважды считаете расход тепла на увеличение одного и того же объема газа. Дело в том, что первичными состояниями газов являются молярная тепловая энергия $Q$ и давление $P$. Температура $T$ и молярный объем $V$ являются вторичными от молярной тепловой энергии и давления.

-- Ср апр 18, 2012 22:06:22 --

Alexandr007 в сообщении #561585 писал(а):

AAK в сообщении #561315 писал(а):

я хочу перейти на определение зависимостей состояний средних энергий электронов в атомах.

Тут все просто пока кТ много меньше разности энергий между основным и возбужденным состоянием, все электроны находятся в основном состоянии, и их средняя энергия равна энергии основного состояния.

Ошибочная у Вас теория.
Не так все просто.
Дело в том, что любой энергетический уровень в атоме является основным. И на любом энергетическом уровне без внешнего воздействия электроны могут находиться неопределенно долгое время. Для перехода электронов по энергетическим уровням электрон должен получить внешнее воздействие. Для перехода на более высокие энергетические уровни электрон должен захватить фотон с энергией разности энергетических уровней. Для перехода на более низкие энергетические уровни электрон должен получить тормозное возмущение, с энергией разности энергетических уровней.

Например посмотрите Ридберговские атомы. В вакууме, при отсутствии неупругих столкновений между атомами, в результате захвата фотонов, электроны в атомах постепенно переходят на высокие энергетические уровни. http://www.prao.ru/History/history_6.html
Исследования РРЛ линий привели к получению ряда принципиально новых, важных для физики и астрономии результатов. Было установлено, что в разреженной межзвездной среде атомы, как квантовые системы, могут существовать до уровней возбуждения
n ~ 1000, достигая размеров ~ 0.1 мм. Излучаемые (поглощаемые) ими спектральные линии можно наблюдать на Земле в широком диапазоне радиоволн от миллиметровых до декаметровых.
Интересно отметить, что Н.Бор в известной мере предвидел, что наиболее высоковозбужденные атомы можно наблюдать именно в космосе. В своей работе "О спектре водорода", объясняя почему в лабораторных условиях не удается наблюдать столь же высокие члены бальмеровской серии, как в спектре небесных тел, он писал: "Только при очень низких давлениях большие электронные орбиты не будут возмущаться электрическими силами соседних атомов; давление должно быть столь низким, что в гейслеровской трубке обычных размеров мы не можем получить свечение достаточной яркости. Однако можно предполагать, что в небесных телах водород может находиться в крайне разрежении на огромных просторах" [25]. Как мы сейчас видим, предположение Бора было весьма прозорливым, хотя он, конечно, не мог предвидеть того, что наиболее возбужденные атомы будут зарегистрированы методами радиоастрономии. Во время создания им квантовой теории атома ее просто не существовало.

[Himfizik]

Вы мне не ответили.

Himfizik в сообщении #561319 писал(а):

У меня вопрос: читали ли Вы какую-нибудь литературу по термодинамике?

Если читали, то какую?
В рассуждениях выше имеется терминологическая путаница. Вы путаете теплоту $Q$ с внутренней энергией $U$. Первая не является функцией состояния, и точка. Вторая - функция состояния.

AAK в сообщении #561637 писал(а):

Я считаю, что у Вас ошибка -- Вы дважды считаете расход тепла на увеличение одного и того же объема газа. Дело в том, что первичными состояниями газов являются молярная тепловая энергия и давление . Температура и молярный объем являются вторичными от молярной тепловой энергии и давления.

Это какой-то поток слов, предположительно бессвязный. Почему дважды-то. На изменение внутренней энергии и на работу. Что значит первичными состояниями? Есть функции, а есть переменные. Выбор переменных в задаче определяется ее спецификой и удобством расчета. Вы все время талдычите об удельных (молярных) величинах, не надо этих повторов. Ведите все рассмотрение для одного моля газа, тогда и оговорок постоянных больше делать не надо.

P.S. Еще раз настаиваю прочитать серьезный учебник по термодинамике. Путаница только растет. Различайте количество теплоты и внутреннюю энергию. Если всеж-таки Вам адиабатический процесс нужен, то $\delta Q=0=dU+pdV.$

[Munin]

AAK в сообщении #561637 писал(а):

Дело в том, что любой энергетический уровень в атоме является основным. И на любом энергетическом уровне без внешнего воздействия электроны могут находиться неопределенно долгое время. Для перехода электронов по энергетическим уровням электрон должен получить внешнее воздействие. Для перехода на более высокие энергетические уровни электрон должен захватить фотон с энергией разности энергетических уровней. Для перехода на более низкие энергетические уровни электрон должен получить тормозное возмущение, с энергией разности энергетических уровней.

О нет.
Основным является только самый низкий уровень по энергии. Для перехода на более низкий уровень электрон может спонтанно излучить фотон с энергией разности уровней. Поэтому на возбуждённых уровнях электрон не может находиться неопределённо долго, он находится там порядка времени жизни возбуждённого состояния. Кроме того, электрон может перейти на более низкий уровень безызлучательно, например, в столкновении атомов отдав лишнюю энергию. В курсах квантовой механики этого обычно не изучают, потому что для расчёта распада возбуждённого состояния нужна уже квантовая электродинамика - более сложная теория, чем квантовая механика. Поэтому в квантовой механике условно считается, что все уровни энергии стационарные, - в каком-то приближении так можно считать.

Есть ещё пара нюансов (правила отбора, индуцированное излучение, переходы в тепловом равновесии с излучением), но углубляться в них не буду.

[Alexandr007]

AAK в сообщении #561637 писал(а):

молярная тепловая энергия $Q$ это функция не процесса, а именно состояния идеальных газов.

Вспомните, что в цикле Карно количество теплоты не равно нулю.

AAK в сообщении #561637 писал(а):

Для перехода на более низкие энергетические уровни электрон должен получить тормозное возмущение

Обычно этот процесс называют излучением фотона.

[AAK]

Munin в сообщении #561694 писал(а):

Есть ещё пара нюансов (правила отбора, индуцированное излучение, переходы в тепловом равновесии с излучением), но углубляться в них не буду.

А вот это зря. Меня как раз интересует рассмотрение более глубоких механизмов термодинамического равновесия с переходами излучения. Без рассмотрения механизмов перехода тепловой энергии невозможно объяснить механизмы термодинамики. Тогда и получается, что путают тепловую энергию с внутренней энергией и рассматривают увеличение температуры и увеличение молярного объема как независимые процессы.

Цитата:

Основным является только самый низкий уровень по энергии. Для перехода на более низкий уровень электрон может спонтанно излучить фотон с энергией разности уровней. Поэтому на возбуждённых уровнях электрон не может находиться неопределённо долго, он находится там порядка времени жизни возбуждённого состояния.

Объясните -- как формируются Ридберговские атомы?

Цитата:

Кроме того, электрон может перейти на более низкий уровень безызлучательно, например, в столкновении атомов отдав лишнюю энергию. В курсах квантовой механики этого обычно не изучают, потому что для расчёта распада возбуждённого состояния нужна уже квантовая электродинамика - более сложная теория, чем квантовая механика. Поэтому в квантовой механике условно считается, что все уровни энергии стационарные, - в каком-то приближении так можно считать.

Спасибо, что согласились.

[Munin]

AAK в сообщении #561985 писал(а):

А вот это зря. Меня как раз интересует рассмотрение более глубоких механизмов термодинамического равновесия с переходами излучения.

Пускай оно вас интересует. Без понимания азов вы там ничего не поймёте. А азы тут простые: КМ и статфизика. Из КМ берётся взаимодействие как возмущение, из статфизики - нахождение распределения по статсумме. Получается формула Больцмана, которую вам уже говорили: пока разница уровней больше $kT,$ где $T$ - температура излучения в линиях поглощения, все уровни, кроме основного, незаполнены.

AAK в сообщении #561985 писал(а):

Без рассмотрения механизмов перехода тепловой энергии невозможно объяснить механизмы термодинамики. Тогда и получается, что путают тепловую энергию с внутренней энергией и рассматривают увеличение температуры и увеличение молярного объема как независимые процессы.

Не читая учебники, можно вообще всё перепутать, как это делаете вы.

AAK в сообщении #561985 писал(а):

Объясните -- как формируются Ридберговские атомы?

Рентгеновским фотоном хренакс по атому - и глубинный электрон вылетает наружу. Потом всё, что получилось, постепенно осыпается, как песок в песочных часиках.

AAK в сообщении #561985 писал(а):

Спасибо, что согласились.

Я не согласился, а разъяснил. Если вы подумали, что я согласился, - значит, я зря разъяснял. У меня не получилось указать на отличия.