Запутанные состояния, нелокальность и КМ

[AlexDem]

Котофеич писал(а):

а Вы тогда разберетесь

Будем надеяться

[Котофеич]

Продолжим наши игры.
Распределение Вигнера P(q, p;t) в простейшем случае определяется как:
(1) P (q, p;t) = (1/\pi h)\int \psi^{*}(x+y,t) \psi(x-y,t)exp[2ipy]dy,
где ψ — волновая функция для квантовой системы с гамильтонианом H(p,q) а x и p — координата и импульс.
http://qis.ucalgary.ca/quantech/wiggalery.html
Вместо функции Вигнера, которая в общем случае не имеет физического смысла
(потому что просто высосана из пальца) пользуйтесь фейнмановской амплитудой, следующего вида
\Psi(q, p;t_{1}, t_{2}),где
(2) \Psi(q, p;t_{1}, t_{2})= \int exp[ (i/h)S(t_{1}, t_{2} )] Dq(t)Dp(t),
интеграл вычисляется по всем траекториям с условием
(3) q(t_{1})=q_{1}, q(t_{2})=q_{2}, p(t_{1})=p_{1} , p(t_{2})=p_{2},где
(4) S(t_{1}, t_{2} ) = \int_{t{1}}^{t_{2}} [p(t)q^{'}(t)-H(q(t),p(t)) ] dt,

[AlexDem]

Что-то как ни стараюсь, не могу понять Ваших аргументов... Что мы сейчас пытаемся доказать - сводимость КМ к статфизике или ошибочность исходного утверждения?..

Посмотрел о функции Вигнера в Википедии. В том виде, в котором Вы её приводите, она справедлива для чистых состояний. Для запутанных (неклассических, смешанных) состояний она приведена в другом виде и сказано, что для таких состояний она принимает отрицательные значения. Там же сказано, что при определённых условиях эта функция может представлять матрицы плотности.

Рассмотрим всё же опыт с зеркалами и бомбой, кторый я приводил выше (вот по этой ссылке), или, даже лучше, - опыт со щелями, описанный в Фейнмановских лекциях. Закроем одну из щелей, посчитаем вероятность $P(x, p)$, то же самое сделаем и с другой щелью. Откроем обе, теперь число путей прибавилось, поэтому по идее нужно брать простую сумму двух интегралов.

Но функция $P(x, p)$ - реальна, то есть все значения - вещественные числа, и потому мы получим $P = P_1 + P_2 = \psi_1^2 + \psi_2^2$, хотя на самом деле должны получить $P = |\psi_1 + \psi_2|^2$.

Если бы кто-нибудь дал мне ссылку на более-менее простые примеры расчётов квантовых систем, можно было бы разговаривать о КМ более конкретно, но я при всём своём желании нигде не могу их найти - всё только в общем виде. Пока даже свойство эрмитовой матрицы $a^2 = a$, о котором говорят Л-Л, у меня не получается - возможно, должны быть соблюдены какие-то дополнительные условия.

[Котофеич]

Вам нужна книжка Фейнмана и Хибса, с определением фейнмановского интеграла.
Амплитуда, которую я записал, как раз комплексная.

[AlexDem]

Да, я нашёл, скачаю на выходных - а то опять лимит закончится. Кстати, если она у Вас под рукой - может вышлете на ADemidov[собака]bis.ru? На почту лимита нет

[Котофеич]

Под рукой нет. Но если не найдете сами, то вышлю. А потом я покажу Вам как
описывается все это дело для смешанных состояний гармонического осциллятора.

[Котофеич]

AlexDem писал(а):

Что-то как ни стараюсь, не могу понять Ваших аргументов... Что мы сейчас пытаемся доказать - сводимость КМ к статфизике или ошибочность исходного утверждения?..

КМ действительно, (в некотором строгом смысле) сходится к статистической механике, а вовсе не к классической, как принято ошибочно считать, но доказывать это здесь мы не будем. Мы будем заменять некорректный аппарат с функцией Вигнера, на корректный аппарат с фейнмановской амплитудой.

[AlexDem]

Котофеич писал(а):

Под рукой нет. Но если не найдете сами, то вышлю. А потом я покажу Вам как описывается все это дело для смешанных состояний гармонического осциллятора.

Книга теперь есть, но насколько я заметил - запутанные состояния там не рассматриваются, хотя в контексте данной ветки именно они и представляют интерес в первую очередь. Вот ссылка на примеры таких состояний. Но рассмотреть конкретный пример осциллятора - с цифрами - всё равно было бы очень интересно!

Котофеич писал(а):

Я завтра напишу другую, с помощью Фейнмановского интеграла, а Вы тогда разберетесь, можно ее вычислять на КК или нет.

Насколько я знаю, на КК можно вычислить всё, что вычислимо на классическом компьютере, и наоборот (только с разной трудоёмкостью). Вычисление с комплексными и отрицательными вероятностями запрограммировать можно - поскольку всё это дело выразимо формулами. Так что, как мне кажется, здесь только две проблемы - интерпретации и реализуемости самого КК.

Котофеич писал(а):

КМ действительно, (в некотором строгом смысле) сходится к статистической механике, а вовсе не к классической, как принято ошибочно считать, но доказывать это здесь мы не будем. Мы будем заменять некорректный аппарат с функцией Вигнера, на корректный аппарат с фейнмановской амплитудой.

Подозреваю, что любое чистое состояние - в том числе и примеры с зеркалами и щелями всё же можно описать в рамках квантовой статфизики, использующей комплексные вероятности (по той простой причине, что численно этот метод должен вроде совпадать с КМ). Насчёт запутанных состояний - не уверен.

Предлагаю следующее определение: будем говорить, что КМ сводится к статфизике (статистической механике), если поведение частицы можно описать (пусть вероятностным образом) независимо от её истории, исключительно исходя из её текущего состояния и конфигурации окружающей системы, с которой эта частица может взаимодействовать.

Исходя из этого определения у меня возникло два вопроса (книгу Фейнмана пока подробно не читал, скорее всего там есть ответ на первый вопрос):

1) Почему интегралы по путям берутся в общем случае по всему пространству, даже когда начальная и конечная рассматриваемые точки траектории отстоят друг от друга на небольшое время? Не может ли в таком случае тот же электрон локализоваться на расстоянии 1 св.год от начальной точки траектории спустя время 1 сек?

2) Соблюдаются ли в случае интегралов по путям аксиомы отделимости? По-моему, это необходимо, чтобы суметь задать метрическое пространство вообще. В частности, нулевая аксиома отделимости выглядит так:

Цитата:

Аксиома $T_0$ (аксиома Колмогорова):
Для любых двух не совпадающих точек хотя бы одна из них имеет окрестность, не содержащую другую точку.

Если нулевая аксиома отделимости не соблюдается, то топология будет тривиальной. По-моему, метрику на ней вообще не задать (по крайней мере - я не вижу, как). Для того, чтобы аксиома соблюдалась, мы должны уметь выделять в пространстве области, а в случае интегралов по путям мы всегда рассматриваем пространство целиком - просто по некоторым путям интегралы могут получиться нулевые. Не противоречит ли этот подход интегралов по путям аксиомам отделимости?

[Котофеич]

AlexDem писал(а):

Котофеич писал(а):

Под рукой нет. Но если не найдете сами, то вышлю. А потом я покажу Вам как описывается все это дело для смешанных состояний гармонического осциллятора.

Книга теперь есть, но насколько я заметил - запутанные состояния там не рассматриваются, хотя в контексте данной ветки именно они и представляют интерес в первую очередь. Вот ссылка на примеры таких состояний. Но рассмотреть конкретный пример осциллятора - с цифрами - всё равно было бы очень интересно!

.
Если Вам понятно, как Фейнман там подсчитал свою амплитуду, для случая гармонического осциллятора, то подсчитайте теперь амплитуду (2) для такого же осциллятора. На Ваши предложения отвечу позже.

[AlexDem]

Копия сообщений из ветки Электродинамика Гельмгольца

AlexDem писал(а):

Метрика 2D пространства Минковского: $ds^2 = dx^2 - dy^2$, следовательно, если проекции на координатные оси равны и отличны от нуля, путь всё равно будет нулевым. То есть, если мы нарисуем равнобедренный треугольник, то длина его гипотенузы будет = 0. Что-то у меня не получается представить это пространство наглядно...

AlexDem писал(а):

Представить пространство Минковского наглядно не получается потому, что оно не является метрическим. По классификации оно - лишь общее метрическое пространство.

Пространство Минковского не является метрическим, поскольку для него не соблюдается аксиома:
(M1): $p(x, y) = 0$ тогда и только тогда, когда $x = y$.

Не знаю почему, у меня слово "псевдоевклидово" всегда сочеталось с "плоское", хотя, раз пространство не метрическое, понятие "плоское" к нему применить затруднительно... На самом деле "псевдоевклидово" берет начало от "псевдометрики", когда указанная аксиома заменяется на:
(M1'): $p(x, x) = 0$ для каждого $x \in X$ (Энгелькинг "Общая топология", раздел 4.1 "Метрические и метризуемые пространства").

Далее, в том же разделе Энгелькинг пишет:

Цитата:

Пространство $X$ с топологией, индуцированной псевдометрикой $p$, является $T_0$-пространством тогда и только тогда, когда $p$ - метрика. В самом деле, если $p(x_1, x_2) = 0$ для $x_1 \ne x_2$, то каждая окрестность точки $x_1$ содержит точку $x_2$, и наоборот, так что $X$ не является $T_0$-пространством.

А как раз это мы установили чуть выше - когда говорили, что аксиома отделимости $T_0$ не выполняется. Очень интересно...

[Аурелиано Буэндиа]

AlexDem писал(а):

Представить пространство Минковского наглядно не получается потому, что оно не является метрическим.

видимо все дело в том, что метрика Минковского не подходит для метризации пространства. Например, из M1-3 следует, что должно выполняться неравенство $\rho(x,y)\geqslant 0$, но оно явно нарушается для метрики Минковского. Хотя слово нарушается здесь не очень уместно...

[AlexDem]

То, что называют "метрикой Минковского" следует называть "псевдометрикой Минковского", а выводы указывают на то, что вся КМ может быть естественным следствием развития событий в этом псевдометрическом пространстве. Но это ещё надо доказать

[Аурелиано Буэндиа]

AlexDem писал(а):

а выводы указывают на то, что вся КМ может быть естественным следствием развития событий в этом псевдометрическом пространстве

Не понял, нужно ли Вас понимать, что КМ следует из псевдоевклидовости? Что-то я не уловил связи...

[AlexDem]

Да, так и нужно понимать. Поскольку мы вывели из КМ, что пространство с необходимостью неотделимо, и тому же условию удовлетворяет пространство, индуцированное псевдометрикой Минковского. Однако, таких псевдометрик можно придумать множество, и единственная причина, по которой эту псевдометрику можно выделить из всех других - то, что она получена из опыта.

[Аурелиано Буэндиа]

AlexDem писал(а):

мы вывели из КМ, что пространство с необходимостью неотделимо

Это Вы о чем?