ур-е Лагранжа 2-го рода

[Rage2304]

http://pixs.ru/showimage/model2jpg_3996738_4259761.jpg
Нужно составить уравнения Лагранжа второго рода и привести его к виду указанному в пункте 1; Если кто-то разбирается помогите пожалуйста - буду очень признателен!!! Как я понимаю за обобщенные координаты берутся углы! В уравнении Лагранжа берутся частные производные по обобщенным координатам и обобщенным скоростям от кинетической энергии!!! Как для этой системы будет выглядеть выражения для кинетической энергии? Заранее спасибо за любые ответы и советы!!!

[svv]

Пожалуйста, запишите систему из двух уравнений Лагранжа для Вашей задачи. Можете сразу писать в первом уравнении в качестве обобщенной координаты $\theta$, а во втором $\varphi$. Только по нашим правилам это надо сделать с помощью $\TeX$ (см. http://dxdy.ru/topic8355.html, http://dxdy.ru/topic183.html). Я Вам помогу с задачей, но Вы должны что-то сделать и сами.

[Rage2304]

Хорошо, спасибо за отзыв! Завтра напишу, что смогу по этому поводу!! Да и ТЕХ нужно вспомнить)

[svv]

Хорошо. Конечно, пишите пока в общем виде (если бы Вам была ясна вся конкретика, Вы бы не обращались с вопросом )

[Rage2304]

Ну думаю начнем с этого)

$$\left\{\begin{array}{l} \frac{d}{dt}(\frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}})-\frac{\partial T}{\partial {\theta}}=Q_{\theta}\\ \\ \frac{d}{dt}(\frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}})-\frac{\partial T}{\partial {\varphi}}=Q_{\varphi}\end{array}\right.$$

Ну и соответственно первая проблема! Как найти кинетическую энергию...Я честно говоря очень далек от физики, ну и единственное что мне приходит в голову - это то что кинетическая энергия будет складываться из двух вращательных движений.

$$T=T_{\varphi}+T_{\theta}$$ $$T_{\varphi}=\frac{J\dot{\varphi}^{2}}{2}$$ $$T_{\theta}=\frac{mr^{2}\dot{\theta}^{2}}{2}$$

Ну на этом пожалуй остановлюсь, дабы не вогнать Вас в полное уныние своими выкладками =)

-- 16.03.2012, 10:46 --

Еще в голове вертится мысль, что (как минимум) для первого уравнения системы нужно вводить функцию Лагранжа L=T-П, т.к на груз, движущийся по кольцу - действует сила тяжести!!! Но это опять же все только мои наивные догадки =) В общем с нетерпением жду ваших комментариев!

[svv]

О, отлично! "Собственные попытки решения" у Вас уже есть, и Вы на правильном пути.
Полная кинетическая энергия системы $T$ общая для обоих уравнений. Она состоит из двух слагаемых: кинетическая энергия пластинки и кинетическая энергия грузика. В принципе, каждое слагаемое может зависеть и от $\dot{\theta}$, и от $\dot{\varphi}$, и даже от $\theta$ и $\varphi$, поэтому лучше обозначать их не $T_{\varphi}$ и $T_\theta$, а как-то вроде $T_{\text{пл}}$ и $T_{\text{гр}}$.

Кинетическую энергию пластинки Вы нашли правильно: $T_{\text{пл}}=\frac 1 2 J \dot\varphi^2$.

С грузиком сложнее. Он участвует сразу в двух вращениях -- вокруг вертикальной оси и вокруг горизонтальной. Ваша формула была бы верна, если бы грузик только двигался по каналу в плоскости неподвижной пластинки. Но пластинка и сама вращается, сообщая грузику дополнительную переносную скорость. Вектор скорости движения грузика равен сумме:
-- вектора скорости движения грузика относительно пластинки; он лежит в плоскости пластинки, его модуль равен $r\dot\theta$;
-- вектора переносной скорости; он перпендикулярен пластинке, его модуль равен $r\dot\varphi\sin\theta$ (понятно, откуда $\sin\theta$ ?).
Раз эти векторы перпендикулярны, квадрат суммы по теореме Пифагора равен сумме квадратов. Результат:
$v^2_{\text{гр}}=r^2 (\dot\theta^2 + \dot\varphi^2 \,\sin^2\theta )$
$T_{\text{гр}}=\frac 1 2 m v^2_{\text{гр}} = \frac 1 2 mr^2 (\dot\theta^2 + \dot\varphi^2 \,\sin^2\theta)$

Поэтому полная кинетическая энергия равна $T=T_{\text{пл}}+T_{\text{гр}}=\frac 1 2 J \dot\varphi^2+\frac 1 2 mr^2 (\dot\theta^2 + \dot\varphi^2 \,\sin^2\theta) $.

Второй вопрос -- как учесть силы. Это можно сделать двумя способами.
1) включить в уравнение, соответствующее координате $q_i$, слагаемое $\frac {\partial U}{\partial q_i}$, ну, а в $U$ включить соответствующее этой силе слагаемое;
2) записать обобщенную силу $Q_i$ в правой части уравнения, соответствующего $q_i$.

Я вижу, что Вы выбрали второй способ. Но первый тоже хороший. Он годится для потенциальных сил. В нашем случае обе силы потенциальные -- сила тяжести, действующая на грузик, и момент, действующий на пластину. Потенциальная энергия равна $U=-mgr\cos\theta-M\varphi$, и теперь надо всё подставить в уравнения

$$\left\{\begin{array}{l}\dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial T}{\partial \dot{\theta}} -\dfrac{\partial T}{\partial {\theta}}=- \dfrac {\partial U}{\partial \theta}\\[2.5ex]\dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}} -\dfrac{\partial T}{\partial {\varphi}}=- \dfrac {\partial U}{\partial \varphi}\end{array}\right.$$

Rage2304 писал(а):

Еще в голове вертится мысль, что (как минимум) для первого уравнения системы нужно вводить функцию Лагранжа L=T-П, т.к на груз, движущийся по кольцу - действует сила тяжести!!! Но это опять же все только мои наивные догадки =) В общем с нетерпением жду ваших комментариев!

Догадка Ваша была верной, и я эту силу учёл. Что касается $L$, то при желании мы можем писать эту букву вместо $T-U$, и уравнения станут ещё красивее:

$$\frac{d}{dt}\frac {\partial L} {\partial \dot q_i} - \frac {\partial L} {\partial q_i} = 0$$

Но с точки зрения решения задачи это будет шаг назад, к более абстрактной форме.

[Rage2304]

Все отлично - ответ сходиться!
Не уверен, что я верно понимаю откуда взялся синус!!! Предполагаю, что он появился в результате того, что переносное движение характеризующее движение точки выражается через векторное произведение радиус вектора проведенного к этой точке на соответствующее угловое ускорение(ну а соответственно модуль этого выражения записывается через синус)!!!

Позвольте мне поблагодарить Вас за помощь!!! Вы не представляете как мне помогли! Это была первая часть задания курсовика по математическому моделированию!!!Так что теперь с чистой совестью пойду с Matlab и Simulink работать=) Еще раз спасибо!!! Приятно видеть, что есть еще люди, готовые бескорыстно оказать помощь(писал не на одном форуме, но отозвались только Вы)!!!)

P.S. А про синус можете все-таки ответить)

-- 16.03.2012, 19:12 --

А, нет - вру!!! Нашлись кроме Вас еще два "добрых самаритянина"!!! Один был готов помочь за 400 рублей, а другой оказался еще добрее - он был готов помочь за 1500 рублей =)

[svv]

Это будет примерно 100 и 400 гривен. Молодцы ребята, особенно второй.

Про синус. Да, можно найти через векторное произведение, а именно -- использовать формулу $\mathbf v=\mathbf \omega\times \mathbf r$, она здесь как раз уместна -- позволяет найти линейную скорость $\mathbf v$ движения точки вращающегося твердого тела (пластинки) по вектору угловой скорости $\mathbf \omega$ и радиус-вектору точки $\mathbf r$.

Давайте применим эту формулу. Вектор угловой скорости направлен вдоль вертикальной оси, причем вверх (чтобы наблюдатель, глядя навстречу вектору, видел, что вращение пластинки происходит против часовой стрелки, а, судя по Вашему рисунку, это так и есть). Модуль же его равен как раз $\dot\varphi$.

Радиус-вектор $\mathbf r$ направлен из некоторой точки на оси вращения (неважно, из какой) в точку, скорость которой нас интересует, т.е. в точку, где находится грузик. Тем самым он лежит в плоскости пластины.

Тогда их векторное произведение $\mathbf v=\mathbf \omega\times \mathbf r$ будет направлено перпендикулярно обоим векторам, то есть 1) горизонтально и 2) перпендикулярно пластине. Угол между векторами $\omega$ и $\mathbf r$ равен $\pi-\theta$, поэтому модуль $\mathbf v$ равен $\dot\varphi r \sin(\pi-\theta)=\dot\varphi r \sin\theta$.

Можно также обойтись совершенно элементарными рассуждениями: линейная скорость точки равна произведению угловой скорости $\omega=\dot\varphi$ на расстояние от точки до оси вращения. А это расстояние равно $r\sin\theta$.

[paskat]

Здавстуйте, уважаемые умные люди! У меня задание, очень похожее на предыдущее, и так же возникают много вопросов.... Не могли бы вы тоже мне помочь, пожалуйста? вот само задание http://pixs.ru/showimage/Rk8aQZmawB_9361346_4934472.jpg Буду очень признательна!!

[svv]

Я попробовал решить Вашу задачу, привести уравнение к требуемому виду. И у меня это не получилось.
Во-первых, похоже, что угол $\theta$ определен не так, как нарисовано на рисунке, а как дополнительный к нему. Во-вторых, похоже, что в методичке вместо $\cos^2\theta$ написали $\cos\theta$.

Вы можете показать эти моменты преподавателю и спросить, не может ли здесь быть ошибки?

Я выводил уравнения для случая $k=0$. В случае же произвольного $k$ возможны и другие неприятности.

[Oleg Zubelevich]

svv в сообщении #548896 писал(а):

Потенциальная энергия равна $U=-mgr\cos\theta-M\varphi$

вопрос на засыпку: что представляет собой конфигурационное прострнство системы?

[svv]

$S^1\times\mathbb R$. Цилиндр (вернее, цилиндрическая поверхность).
В моем подходе $(\theta, \varphi)$ и $(\theta+2\pi, \varphi)$ -- одна и та же точка конфигурационного пространства, а $(\theta, \varphi)$ и $(\theta, \varphi+2\pi)$ -- разные.

[Oleg Zubelevich]

А если бы момент $M$ отсутствовал?

[svv]

В этом случае
1) ничто не мешает по-прежнему не отождествлять точки $(\theta, \varphi)$, $(\theta, \varphi+2\pi)$, тогда это цилиндрическая поверхность $S^1\times\mathbb R$,
2) но теперь можно и отождествить точки $(\theta, \varphi)$, $(\theta, \varphi+2\pi)$, тогда это двумерный тор $S^1\times S^1$.

Если бы я изучал непрерывную зависимость чего-нибудь от $M$, я бы выбрал первый вариант, чтобы единообразно рассматривать случаи $M\neq 0$ и $M=0$.
А если бы в задаче изначально не было речи о внешнем моменте, то второй вариант.

[Oleg Zubelevich]

Я вот на это и хотел обратить внимание. Получается патологическая ситуация: конфигурационное пространство системы зависит от того какие силы на систему действуют. Но с этим приходится мириться. Хотя можно считать, что конфигурационное пространство -- тор, а обобщенная сила $M$ не имеет однозначного потенциала