ур-е Лагранжа 2-го рода

[svv]

paskat
Давайте рассмотрим сначала случай $k=0$. Сопротивления среды нет $\Rightarrow$ внешних сил нет.

Первая подсказка: потенциальную энергию можно не учитывать. И вот почему.
Потенциальная энергия каждого шарика равна $mgz$, где $z$ -- вертикальная координата шарика. Так как масса шариков одинакова, потенциальная энергия двух шариков равна $mgz_1+mgz_2=2 mg\frac{z_1+z_2}2$. Последняя дробь -- это средняя высота шариков, а она совпадает с высотой точки $C$, которая ни от чего не зависит, и любая производная от нее будет равна нулю. Да, в конце концов, эту высоту можно принять за нулевую.

Поэтому можно написать, что $L=T$, то есть весь вопрос в кинетической энергии.
Пожалуйста, запишите уравнения Лагранжа с учетом этой информации. $T$ можно пока подробно не расписывать, пишите просто $T$.

[svv]

Итак, потенциальная энергия равна нулю, внешних сил нет. Уравнения Лагранжа:

$$\left\{\begin{array}{l}\dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial T}{\partial \dot{\theta}} -\dfrac{\partial T}{\partial {\theta}}=0\\[2.5ex]\dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}} -\dfrac{\partial T}{\partial {\varphi}}=0\end{array}\right$$

В них входит кинетическая энергия $T$. Она равна сумме кинетических энергий каждого шарика:

$$T=\frac 1 2 mv_1^2+\frac 1 2 mv_2^2$$

Скорость каждого шарика (как вектор) складывается из двух составляющих. Одна составляющая лежит в плоскости $ACD$ и обусловлена вращением стержня $AB$, другая перпендикулярна этой плоскости и обусловлена вращением стержня $CD$.
Попробуйте найти эти составляющие и квадрат скорости каждого шарика. Затем подставьте $v_i^2$ в формулу для $T$.