касательная плоскость через прямую

[AKM]

patriarch в сообщении #524124 писал(а):

$x_0+y_0+z_0-R^2=0$ принадлежность точки касания $(x_0,y_0,z_0)$ сфере

Проверьте. Ничего не забыли?

[Алексей К.]

Это не "в штыки": это всего лишь уточнение смысла слова (в математике лишних слов обычно не пишут).
Найдите ошибку, на которую указал AKM (см. уравнение сферы) и решайте исправленную систему из трёх уравнений.

-- 07 янв 2012, 08:36:47 --

У Вас два типа условий.
Один тип и одно уравнение (второе, пока не исправленное) --- "неизвестная точка касания принадлежит сфере". Она должна удовлетворять уравнению сферы.
Второй тип и два уравнения (первое и третье) --- "данная прямая лежит в искомой плоскости". Таких уравнений можно ещё кучу написать, набрав новых точек на прямой, но они ничего нового не добавят. (В этом можно потом отдельно убедиться). Оно и понятно геометрически: если Вы уложили две точки данной прямой на искомую плоскость, то все остальные точки данной прямой тоже туда улягутся. Сами, без нашей помощи.

[patriarch]

Понял в чем ошибся.
$x_0+y_0-R^2=0$ точка $(x=1,y=1,z=0)$ принадлежит искомой плоскости;
$x_0^2+y_0^2+z_0^2-R^2=0$ принадлежность точки касания $(x_0,y_0,z_0)$ сфере
$x_0+y_0+2z_0-R^2=0$ точка (1,1,2) принадлежит искомой плоскости;
Решение вроде только одно вышло (x_0,y_0,z_0)=(1,1,0)
Тогда искомая касательная плоскость $x+y-R^2=0$

[Алексей К.]

patriarch в сообщении #524239 писал(а):

Решение вроде только одно вышло (x_0,y_0,z_0)=(1,1,0)

Решение (и их количество), очевидно зависит от $R$. Или Вы взяли какое-то конкретное $R$ типа $\sqrt2$.

[patriarch]

Алексей К.
я не знаю, быть может я как-то не так решал. Но во всех уравнениях я перенес вправо $R^2$
И приравнивал левые части. Приравнял первое и третье и получил, что $z_0=0$
Потом приравнял первое и второе и получил, что либо решение $(0,0,0)$либо $(1,1,0)$

[Алексей К.]

patriarch в сообщении #524282 писал(а):

Приравнял первое и третье и получил, что $z_0=0$

Это правильно. После чего получается два уравнения:
$\begin{cases}x_0+y_0=R^2\\ x_0^2+y_0^2=R^2\end{cases}$

patriarch в сообщении #524282 писал(а):

И приравнивал левые части.

Вы нехорошо поступили. $R$ у нас считается известным. Неизвестны $x_0,y_0$. Приравняв левые части, Вы избавились от $R$. А надо стараться избавляться от неизвестных.

Смотрите, что получилось: допустим, $R$ было равным 1.
Тогда у нас была система
$\begin{cases}x_0+y_0=1\\ x_0^2+y_0^2=1\end{cases}$
Иными словами "найти два числа, сумма которых равна 1, и сумма квадратов которых равна 1". Таких чисел, замечу, если и есть, то немного.

Приравняв левые части, Вы получили
$x_0+y_0=x_0^2+y_0^2$.
Иными словами "найти два числа, сумма которых равна сумме их квадратов". И всё. И уже как бы наплевать, единице оно равно, или сотне, или ещё чему-то там. Совсем другая задача! И уж таких чисел, замечу, есть до хрена.

Мы здесь скатываемся из аналитической геометрии в почти школьную тему "решение систем уравнений" (нелинейных, к сожалению). Вы как-то ловко решали такие системы в предыдущей задачке. Мне кажется, Вы используете какую-то компьютерную прибамбасу. И здесь этот номер не прошёл, потому что Вы не сумели указать ей, что $x_0,y_0$ --- неизвестные, а $R$ --- известная. Ну, не важно, прав я или нет.

Повторяю: мы сошли на уровень школьных задач, и Вы с ними не справляетесь. Потому я Вам предлагаю решить систему (уже из двух уравнений из этого сообщения) конкретно для $R=1$, $R=\sqrt2$ и $R=\sqrt3$. А потом для общего случая.

А ещё я Вам предлагал (сейчас найду):

-- 07 янв 2012, 21:22:47 --

Алексей К. в сообщении #523036 писал(а):

и Вы попробуйте это понять-представить, даже до того, как возьмётесь решать.

Нарисуйте всё это, представьте ситуацию без вычислений. По-прежнему, всё, кроме сферы, проектируется на плоскость. Увидьте и напишите что-то типа "Например, при R=1 заданная прямая лежит вне сферы, и среди той кучи плоскостей, которые через неё проходят, найдётся... (то-то и то-то)"
"А вот при большом радиусе сферы прямая её прокалывает, и ни одна из этого веера плоскостей не сможет... итп."

[patriarch]

Хорошо, решим систему при всех $R^2$
$\begin{cases}x_0+y_0=R^2\\ x_0^2+y_0^2=R^2\end{cases}$
Из первого уравнения $x_0=R^2-y_0$
подставим во второе получим $2y_0^2-2R^2y_0+R^4-R^2{\color{red}{}=0}\color{blue}\text{~~~~//AKM}$
квадратное уравнение относительно $y_0$. Решая получим
$y_{01}=\frac{2R^2+2R\sqrt{2-R^2}}{4}$
$y_{02}=\frac{2R^2-2R\sqrt{2-R^2}}{4}$
Я просто правда не помню как отсюда решить, при разных R

[AKM]

Длинные индексы пишутся так: y_{01}. Думаю, никто бы не возражал против обозначений $y_1,y_2$. Я поправлю Ваши формулы. Но сокращать дроби на 2 не буду. И вычислять вместо Вас $x_{01}, x_{02}$ не буду.

patriarch в сообщении #524438 писал(а):

Я просто правда не помню как отсюда решить, при разных R

Что значит "как отсюда решить". Просто подставить конкретные значения $R$, если они у Вас есть.
А главное, наверное, - сделать вывод, что при $R^2>2$ решений нет.

[Someone]

(Оффтоп)

Эта тема ещё живая??? Всё решение-то занимает несколько строчек. Или обсуждается уже не первоначальная задача, а что-то другое?

[bot]

(Оффтоп)

Думаю, что уже вторая (хотя и не уверен) - теперь сфера вместо цилиндра.

[patriarch]

AKM
Проблема в том, что конкретных значений R то у меня и нет...

[AKM]

Ну, я не постоянно слежу за вашей перепиской, но вроде как были они....

Алексей К. в сообщении #524339 писал(а):

Потому я Вам предлагаю решить систему конкретно для R=...

[patriarch]

Хорошо. Решу при конкретных значениях
1)$R=1$
$y_1=1$, $x_1=0$
$y_2=0$, $x_2=1$
уравнение касательной плоскости тогда $y-1=0$ и $x-1=0$
2)$R=\sqrt 2$
$y_1=y_2=x_1=x_2=1$
уравнение касательной плоскости $x+y-2=0$
3)$R=\sqrt 3$
решений нет, так как корень отрицателен.
Мое непонимание было в том, откуда Алексей К. взял эти значения, так как изначально условий на $R$ не было, и как решать в общем случае. Собственно, я и сейчас не очень понимаю как в общем случае решить эту систему.

[Алексей К.]

Так Вы же почти решили "общий случай", только до конца не довели.

-- 09 янв 2012, 13:57:47 --

А конкретные значения были придуманы для того, чтоб Вы не просто "систему решили", а проанализировали возможные варианты, чтобы геометрически описали ситуацию, хотя бы для себя.

[patriarch]

Алексей К.
в чем я не до конца довел? то есть просто надо $x_0$ ещё посчитать и подставить в уравнение касательной плоскости?
Задача предполагала решение в общем виде или как? я запутался!