касательная плоскость через прямую

[patriarch]

ну, я так понял, что $x-1=0$ в трехмерном пространстве это плоскость OZY Только поднятая на 1 вверх по оси X.
Я снова забыл, что задача пространственная...

[Алексей К.]

Ну, правильно. Только не поднятая, а сдвинутая. Поднимаем мы всё же (обычно) по оси Z.

[patriarch]

Алексей К.
Спасибо огромное за помощь! А где ещё можно найти похожие по типу и сложности задачи? Хотелось бы закрепить навыки.

[Алексей К.]

Где найти --- не знаю. Желание закрепить --- похвально (не пропадёт наш скорбный труд!). Предлагаю следующее:

1) С учётом того, что всё проектируется на плоскость, переформулировать эту задачу в плоскую. Как я предлагал. Только грамотно записать плоское условие, решение не надо. Тем более, что Вы её, плоскую, уже как-то решили.

2) Перерешать эту же задачу со сферой $x^2+y^2+z^2-R^2=0$ вместо цилиндра. Прямо здесь, с нашей помощью. Думаю, при $R>\sqrt2$ решений не будет, при $R=\sqrt2$ будет одно, при $R<\sqrt2$ --- два. Постарайтесь и Вы это понять-представить, даже до того, как возьмётесь решать.

3) Надо взять ту же задачу (со сферой), но прямую похуже. Хоть в одну сторону её наклонить. Ибо важные штуки остались здесь скрытыми и непонятыми Вами. Вот и мы с svv так хотели поскорее покончить с этим делом, что ухватились за "попроще", и про параметрическое уравнение прямой не заикнулись. Конкретно прямую придумаем позже, если Вы действительно доползёте до пункта 3).

Ну, а задачники, надеюсь, Вам присоветуют. Здесь поройтесь.

[patriarch]

Алексей К. в сообщении #523036 писал(а):

1) С учётом того, что всё проектируется на плоскость, переформулировать эту задачу в плоскую. Как я предлагал. Только грамотно записать плоское условие, решение не надо. Тем более, что Вы её, плоскую, уже как-то решили.
.

Ладно, давайте по порядку.
1) Так как наша поверхность эллиптический вертикальный циллиндр, и все его касательные плоскости вертикальны, а заданная прямая параллельна оси Z, то мы можем свести нашу задачу к плоской, а именно - найдем в касательные к эллипсу, проходящие через точку (1,1)

[vvvv]

Наконец-то, дельное предложение.Это не вы эту же задачу дали на math help planet?

[Алексей К.]

Это я решал там, чтоб здесь подсказывать.

patriarch,
сферу будем долбить, или теперь и так всё ясно-понятно?

[patriarch]

Алексей К.
да, давайте со сферой. градиент будет $(2x_0,2y_0,2z_0)$
уравнение касательной плоскости $2x_0(x-x_0)+2y_0(y-y_0)+2z_0(z-z_0)=0$
После упрощения получим $x_0x+y_0y+z_0z-R^2=0$
Теперь вопрос. у Нас же прямая x=y=1, а где взять координату z?

[Алексей К.]

Вижу два варианта.

1. Взять две произвольные точки на прямой, и потребовать, чтобы они обе принадлежали плоскости. Очевидно, если две принадлежат, то и все остальные принадлежат.

2. Взять все точки на прямой, и потребовать, чтобы они все принадлежали плоскости. Для этого записать параметрическое уравнение прямой $x=x(t)$, $y=y(t)$, $z=z(t)$. И подставить это в уравнение плоскости. И при любом тэ (т.е. для любой точки) у Вас там справа должен быть нуль.

Коли Вы такой неленивый, предлагаю попробовать оба.

[Алексей К.]

patriarch в сообщении #523405 писал(а):

Теперь вопрос. у Нас же прямая x=y=1, а где взять координату z?

Хочу заметить, комментируя этот вопрос, что это на двумерной плоскости ($N=2$) мы могли связать координаты $x,y$ линейным уравнением, и получить ($N-1=$одномерную) прямую. Получить уравнение прямой типа $Ax+By+C=0$ или $y=kx+b$.

В трёхмерном пространстве ($N=3$) малость не так.
Связав координаты $x,y,z$ неким уравнением, получаем ($N-1=$двумерную) поверхность.
Связав координаты $x,y,z$ линейным уравнением, получаем ($N-1=$двумерную) плоскость $Ax+By+Cz+D=0$.
А с уравнением прямой в пространстве дела обстоят похуже (в силу её одномерности, $1=N-2$). Нам надо или систему из двух плоскостей (прямая будет их пересечением), или там есть спец-пара уравнений исходящая из заданной точки и направляющего вектора. Или параметрически, по заданной точке и направляющему вектору.

Неплохо бы об этом почитать учебник, я не возьмусь за более подробные объяснялки.

Думаю, непонимание этого было в основе Вашего вопроса. А понять это нужно.

[patriarch]

Цитата:

1. Взять две произвольные точки на прямой, и потребовать, чтобы они обе принадлежали плоскости. Очевидно, если две принадлежат, то и все остальные принадлежат.

Я все равно не понимаю как выбрать 2 произвольные точки на этой прямой. я не могу ее в пространстве представить. первые две координаты это (1,1,?) а z любое чтоли брать?

[Алексей К.]

patriarch в сообщении #523932 писал(а):

я не могу ее в пространстве представить

Можете.
Совсем недавно Вы нам рассказывали, что эта прямая проектируется на плоскость OXY в точку (1,1). Достаточно воткнуть в землю лопату в этой точке (вертикально), или отыскать на плоскости красивую высокую стройную сосну --- это и будет та прямая (ну, почти).

Да, у сосны z не любое, от нуля до ейных 23-х метров. А у настоящей вертикальной прямой --- ясен пень, любое. Ну неужели Вы этого не видите???

[patriarch]

Ладно, возьмем (1,1,1) и (1,1,2)
$x_0+y_0+z_0-R^2=0$

$x_0+y_0+2z_0-R^2=0$

[Алексей К.]

patriarch в сообщении #523976 писал(а):

Ладно,

Что значит это Ваше "ладно"? Типа я не смог Вам что-то объяснить, Вы всё равно чего-то не поняли, и вынужденно соглашаетесь? Так спрашивайте дальше, что мешает?

Третье уравнение ("точка лежит на сфере") дополнит найденное до системы 3-х уравнений с тремя неизвестными. Думаю, Вы уже её там как-то решаете.

И почему бы не взять точку (1,1,0)? С нулём всегда прикольнее.

[patriarch]

Алексей К.
нет, не стоит все так в штыки воспринимать, Вы здорово объясняете. Я предполагал, что можно брать произвольные z, просто я вчера был уставший и не мог понять какое ещё уравнение добавить к этим двум вот и написал, что у меня вышло в надежде, что либо я что-то не так понял, либо меня наставят на путь истинный.Система же в итоге будет
$x_0+y_0-R^2=0$ точка $(x=1,y=1,z=0)$ принадлежит искомой плоскости;
$x_0+y_0+z_0-R^2=0$ принадлежность точки касания $(x_0,y_0,z_0)$ сфере
$x_0+y_0+2z_0-R^2=0$ точка (1,1,2) принадлежит искомой плоскости;

Вопрос был в следущем. вот я взял точки (1,1,) и (1,1,2) Насколько я понимаю первая точка, как раз и есть уравнение (принадлежности точки сфере) и каким же тогда уравнением дополнить 2 получившихся? просто ещё одну точку взять вроде (1,1,3)?

(Малость подправил. АКМ)