касательная плоскость через прямую

[Алексей К.]

Ну да. Да не надо путаться по пустякам.
В формальном решении, да, конечно, надо указать найденные точки касания, получившееся уравнение искомой плоскости, и произнести те слова, про то, сколько решений имеет задача.
Но я вовсе не прошу Вас сюда всё это писать, если Вы всё это понимаете. Запутываться вроде не в чем.

[patriarch]

Да, понятно какие слова писать про количество решений. Теперь попробуем второй вариант. Но мне не слишком понятно как записать прямую $x=y=1$ в параметрическом виде.

[svv]

$x(t)=at+b$. Это общая форма. Как Вы думаете, какие надо выбрать $a$ и $b$, чтобы это годилось для нашего случая? (при том, что у нас условие $x=1$)

[patriarch]

svv
видимо, $a=0,b=1$

[Алексей К.]

patriarch,

ну активнее же. Следующий вопрос от svv не очевиден? А тот, который будет после вопроса про $y$? А то уж больно канительно получается...
Я бы предложил для описания прямой писать $x(t)=1$, а не просто икс. Ну как бы мы тем самым подчёркиваем, что...

[svv]

(исправил на $x(t)$)
А как Вы думаете, уважаемый patriarch, как будет выглядеть зависимость $y(t)$?
Алексей К., но как Вы угадали мой вопрос?

[patriarch]

ну я все равно не слишком понимаю. будет одно уравнение и много неизвестных
$x(t)=1,y(t)=1,z=z(t)$
Далее подставляем это в уравнение касательной плоскости
$x_0+y_0+z_0z(t)-R^2=0$
Здесь видимо ещё нужны уравнения. К примеру принадлежность точек $x_0,y_0,z_0$ сфере
$x_0^2+y_0^2+z_0^2-R^2=0$
Я правильно понял?

[Алексей К.]

patriarch в сообщении #525374 писал(а):

$x(t)=1,y(t)=1,z=z(t)$

Лажа, однако. $t$ здесь как бы время, условное время. Пися параметрическое уравнение прямой, Вы как бы предлагаете тройку формул, по которым я смогу (меняя время; в том числе взад) вычислить координаты всех точек на прямой. В любой момент времени $t$.
И что это за $z(t)$??? Как я буду вычислять? Для для $x(t)$ Вы дали простенькую правильную фомулку, даже умножать никого ни на кого не надо. Но $z(t)$? Некая тайна. Чисто условное обозначение. Сосчитать нельзя. Не, не пойдёт.

-- 10 янв 2012, 21:22:35 --

$z(t)=t^2$ подойдёт?
$z(t)=2\sqrt{t}+1$ подойдёт?
$z(t)=\arctg t+\operatorname{jopa}\left(\frac{t}2\right)$ подойдёт?
$z(t)=-8+15t$ подойдёт?

svv в сообщении #525347 писал(а):

Алексей К., но как Вы угадали мой вопрос?

Ну, я хоть и признавался, что трёхмерные задачки решать не очень умею, но эта из разряда довольно простых. Мне по силам. Подумал --- и угадал. Ну, может я на самом деле умный, хто его знает.

[AKM]

patriarch,
Алексей К. явно перемудрил со своими формулами. Представьте себе картинку: у Вас точка равномерно движется себе потихоньку по этой прямой. Движется себе так, движется... Всю прямую проходит. Пусть в начальный момент времени ($t=0$) она будет (была) в положении $(1,1,0)$ (годится? есть такая точка на этой прямой?). И движется она со скоростию 1 что-то ед. в секунду. Где она будет через 1 секунд? Через 7 секунд? Через $t$ секунд? Через -6 секунд (т.е. за 6 секунд до того, как...)?

[svv]

А ответить на вопрос "где она будет через $t$ секунд" -- это в точности задать функции $x(t), y(t), z(t)$.

[Алексей К.]

Ага.

-- 10 янв 2012, 22:39:16 --

Кстати, следующая прямая, если мы до неё доберёмся, будет проходить через точки $(3,4,0)$ и $(0,0,12)$. Я всю теорию круглых чисел изучил, придумывая её! Но отвлекаться пока не будем.

[patriarch]

Вобщем я кажется понял. Так как мы рассматриваем ВСЕ точки на прямой, то параметрическое уравнение будет
$x=1, y=1$ это у нас $a=0, b=1$ и $z(t)=t$ при $a=1,b=0$

Подставим сие в уравнение нашей касательной плоскости $x_0+y_0+tz_0 - R^2=0$

[Алексей К.]

Вы опять не дописали то, что хотели, наверное, сказать: "Полученное означает: числа $(x_0,y_0,z_0)$ должны быть таковы, чтобы ПРИ ЛЮБОМ $t$ было выполнено равенство $(x_0+y_0-R^2)+tz_0=0$. Естественно, этого можно добиться только при... и при...
(Ну, и кроме того, помним, что точка $(x_0,y_0,z_0)$ лежит на сфере)."

[patriarch]

То есть будет два уравнения чтоли числа $(x_0,y_0,z_0)$ таковы, что при любых t выполнено равенство
$x_0+y_0+tz_0 - R^2=0$
$x_0^2+y_0^2+z_0^2 - R^2=0$
И я не слишком понимаю

Алексей К. в сообщении #525553 писал(а):

Естественно, этого можно добиться только при... и при...

[Алексей К.]

Равенство $\alpha+\beta t=0$ будет выполняться ПРИ ЛЮБОМ $t$ только если $\alpha=0$ и $\beta=0$. А именно, в нашем случае

$$\underbrace{(x_0+y_0-R^2)}_{=0}+t\underbrace{z_0}_{=0}=0.$$

Получаем систему

$$\begin{cases}z_0=0 ,\\x_0+y_0-R^2=0,\\x_0^2+y_0^2+z_0^2-R^2=0,\end{cases}$$

которую (в несколько ином варианте) мы уже давно решили.