Берём простой пример:
![$\ddot x + ax = 0$ $\ddot x + ax = 0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/b/c/2bcc9f4549419a8b8bd2f85bd89f51e982.png)
Преобразуем. Получаем:
![$-\omega^2\hat x+\omega_0^2\hat x = 0\Rightarrow \hat x = \frac{0}{\omega_0^2-\omega^2}$ $-\omega^2\hat x+\omega_0^2\hat x = 0\Rightarrow \hat x = \frac{0}{\omega_0^2-\omega^2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/7/ff7f8176462892eaefd98fde9262655782.png)
Видно, что для
![$\omega = \pm\omega_0$ $\omega = \pm\omega_0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/d/87d4dfd8ee22b22e92c61473ef2153b982.png)
мы делим ноль на ноль. Что делать дальше, я не знаю. Применить теорему о вычетах и попытаться показать, что
![$\hat x$ $\hat x$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/3/2/a329fa3885326867a04979a16aea392282.png)
что-то вроде линейной комбинации двух дельта-функций? Не получилось.
Зайдём с другой стороны. Вот у нас есть некое решение
![$x_{spez} = \mathrm e^{\mathrm i\omega_0t}$ $x_{spez} = \mathrm e^{\mathrm i\omega_0t}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/6/6/c66bc8006b0e4398557349606a61ef1b82.png)
и, следовательно,
![$\hat x_{spez} = \sqrt{2\pi}\delta(\omega-\omega_0)$ $\hat x_{spez} = \sqrt{2\pi}\delta(\omega-\omega_0)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/2/872147633ba2b39375831a915a70996382.png)
. Интегрируем по оттрансформированному уравнению и получаем
![$\omega_0^2 = 1$ $\omega_0^2 = 1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/2/e02cef57e49394b2a09d126e2556079f82.png)
, что совсем уж ни в какие ворота.
Собственно, вопрос: что я делаю не так?
В пособиях нередко можно увидеть, что справа стоит не ноль, а дельта-функция. Тогда действительно всё получается. И понимать это предлагается как начальное условие: в такой-то момент времени по осциллятору, грубо говоря, стукнули, и вот он теперь так колеблется. Но это как-то очень странно.