Дифференциальные уравнения и преобразование Фурье

[Quantenmechaniker]

Берём простой пример: $\ddot x + ax = 0$
Преобразуем. Получаем: $-\omega^2\hat x+\omega_0^2\hat x = 0\Rightarrow \hat x = \frac{0}{\omega_0^2-\omega^2}$
Видно, что для $\omega = \pm\omega_0$ мы делим ноль на ноль. Что делать дальше, я не знаю. Применить теорему о вычетах и попытаться показать, что $\hat x$ что-то вроде линейной комбинации двух дельта-функций? Не получилось.

Зайдём с другой стороны. Вот у нас есть некое решение $x_{spez} = \mathrm e^{\mathrm i\omega_0t}$ и, следовательно, $\hat x_{spez} = \sqrt{2\pi}\delta(\omega-\omega_0)$. Интегрируем по оттрансформированному уравнению и получаем $\omega_0^2 = 1$, что совсем уж ни в какие ворота.

Собственно, вопрос: что я делаю не так?

В пособиях нередко можно увидеть, что справа стоит не ноль, а дельта-функция. Тогда действительно всё получается. И понимать это предлагается как начальное условие: в такой-то момент времени по осциллятору, грубо говоря, стукнули, и вот он теперь так колеблется. Но это как-то очень странно.

[profrotter]

Quantenmechaniker в сообщении #518802 писал(а):

Берём простой пример: $\ddot x + ax = 0$
Преобразуем. Получаем: $-\omega^2\hat x+\omega_0^2\hat x = 0$

Собственно вы убедились, что в классе функций для которых существует преобразование Фурье это уравнение имеет лишь тривиальное решение. Ведь именно в классе абсолютно-интегрируемых функций вы искали решение, когда использовали свойство дифференцирования для преобразования Фурье? (Посмотрите сообщение #503622)

[Oleg Zubelevich]

profrotter в сообщении #518809 писал(а):

Собственно вы убедились, что в классе функций для которых существует преобразование Фурье это уравнение имеет лишь тривиальное решение.

а про преобразование Фурье обобщенных функций Вы что-нибудь слышали?

Quantenmechaniker в сообщении #518802 писал(а):

Преобразуем. Получаем: $-\omega^2\hat x+\omega_0^2\hat x = 0\Rightarrow \hat x = \frac{0}{\omega_0^2-\omega^2}$

это только так при $\omega\ne\pm\omega_0$, поэтому из уравнения следует, что $\hat x=c_1\delta(\omega-\omega_0)+c_2\delta(\omega+\omega_0)$

[Quantenmechaniker]

Oleg Zubelevich в сообщении #518813 писал(а):

поэтому из уравнения следует, что $\hat x=c_1\delta(\omega-\omega_0)+c_2\delta(\omega+\omega_0)$

Мне не вполне понятен этот шаг. Я вижу, что $\hat x = 0$ для $\omega\neq\pm\omega_0$, но я не вижу, как доказать, что это именно сумма двух дельта-функций.

[Oleg Zubelevich]

Докажите такое утверждение: Пусть $f\in\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ и $\mathrm{supp}\,f=\{x_1,\ldots,x_n\}$. Тогда $f=c_1\delta_{x_1}+\ldots+c_n\delta_{x_n}$

[profrotter]

Oleg Zubelevich в сообщении #518813 писал(а):

а про преобразование Фурье обобщенных функций Вы что-нибудь слышали?

Имею предположение, что в классе обобщённых функций уравнение следует решать используя именно преобразование Фурье обобщённых функций и соответствующее свойство дифференцирования:

$$x''+\omega_0^2 x=0$$

Переходим к эквивалентному уравнению:

$$(x'',\varphi)+\omega_0^2 (x,\varphi)=0,$$

где $\varphi(t)$ - пробная функция.
Берём преобразование Фурье:

$$-\omega^2(\hat{x},\hat{\varphi})+\omega_0^2 (\hat{x},\hat{\varphi})=0$$

$$(\hat{x},(\omega_0^2-\omega^2)\hat{\varphi})=0$$

Уравнение удовлетворяется при $\hat{x} = C_1\delta(\omega+\omega_0)+C_2\delta(\omega-\omega_0)$, действительно

$$(C_1\delta(\omega+\omega_0)+C_2\delta(\omega-\omega_0),(\omega_0^2-\omega^2)\hat{\varphi})=$$

$$=C_1(\omega_0^2-\omega_0^2)\hat{\varphi}(-\omega_0)+C_2(\omega_0^2-\omega_0^2)\hat{\varphi}(\omega_0)=0$$

А ваша рекомендация доказать что-то свалившееся с потолка (мне например) непонятна: каким образом вы приплетаете информацию о носителе к этому уравнению?

[Хорхе]

Oleg Zubelevich в сообщении #518821 писал(а):

Пусть $f\in\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ и $\mathrm{supp}\,f=\{x_1,\ldots,x_n\}$. Тогда $f=c_1\delta_{x_1}+\ldots+c_n\delta_{x_n}$

А куда делись производные?

[_hum_]

Хорхе в сообщении #518878 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #518821 писал(а):

Пусть $f\in\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ и $\mathrm{supp}\,f=\{x_1,\ldots,x_n\}$. Тогда $f=c_1\delta_{x_1}+\ldots+c_n\delta_{x_n}$

А куда делись производные?

Разве здесь не имелось в виду, что функцию, принимающую отличные от нуля значения лишь в конечном числе точек, можно представить в виде линейной комбинации дельта функций в этих точках? Зачем же здесь производные?

[profrotter]

Предполагаю, что тут имелось ввиду, что если обощённая функция имеет носителем $x_1,...,x_n$, то она является линейной комбинацией дельта-функций. (Штрих обозначал пространство всех обобщённых функций). Ну или примерно так.

[Хорхе]

У производных дельта-функции носитель тоже точечный.

[Oleg Zubelevich]

Хорхе в сообщении #518878 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #518821 писал(а):

Пусть $f\in\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ и $\mathrm{supp}\,f=\{x_1,\ldots,x_n\}$. Тогда $f=c_1\delta_{x_1}+\ldots+c_n\delta_{x_n}$

А куда делись производные?

а разве неверно, что $\cap_{i=1}^n\ker\delta_{x_i}\subseteq \ker f$?
нет неверно, сам спросил, сам ответил

[Хорхе]

Я к сожалению, не знаю, что такое $\operatorname{ker}$ для обобщенных функций, и не могу отвтетить на этот вопрос, но утверждение, написанное Вами, неверно: кроме самих дельта-функций, там еще их производные.

[Oleg Zubelevich]

тогда ответ на вопрос топикстартера следвующий: $\ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}\subseteq\ker \hat x$ где $\hat x$ удовлетворяет уравнению

Quantenmechaniker в сообщении #518802 писал(а):

м: $-\omega^2\hat x+\omega_0^2\hat x = 0$

-- Пт дек 23, 2011 16:45:42 --

Хорхе в сообщении #518908 писал(а):

Я к сожалению, не знаю, что такое $\operatorname{ker}$ для обобщенных функций

обобщенная функция это линейный функционал по определению

Хорхе в сообщении #518908 писал(а):

но утверждение, написанное Вами, неверно:

дык я с этим уже согласился

[Хорхе]

А, ну я понял.

Наконец прочитал вопрос. Да, из уравнения на $\hat x$ получается, что носитель $\hat x$ сосредоточен в точках $\pm \omega_0$. Но это лишь следствие, оно не является достаточным условием. На самом деле, поскольку производные функции $p(\omega) = \omega^2-\omega_0^2$ в точках $\pm \omega_0$ ненулевые, то производные дельта-функции не подойдут: $\langle \delta'_{\omega_0}p, f\rangle = \langle \delta'_{\omega_0}, pf\rangle = -\langle \delta_{\omega_0}, (pf)'\rangle = -p'(\omega_0)f(0)$.
То есть ответ $\hat x = a_+ \delta_{\omega_0} + a_-\delta_{-\omega_0}$.

[Oleg Zubelevich]

Ну я это несколько иначе понимаю
легко сообразить, что $\ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}=\{(\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega)\mid\psi(\omega)\in \mathcal{S}(\mathbb{R})\}$
соответственно $((\omega^2-\omega_0^2)\psi(\omega),\hat x)=(\psi,(\omega^2-\omega_0^2)\hat x)=0$ последнее равенство -- в силу уравнения, откуда следует $\ker\delta_{\omega_0}\cap\ker\delta_{-\omega_0}\subseteq\ker \hat x$ и соответственно $\hat x=c_1\delta_{\omega_0}+c_2\delta_{-\omega_0}$

-- Пт дек 23, 2011 19:09:13 --

Хорхе в сообщении #518912 писал(а):

евые, то производные дельта-функции не подойдут: $\langle \delta'_{\omega_0}p, f\rangle = \langle \delta'_{\omega_0}, pf\rangle = -\langle \delta_{\omega_0}, (pf)'\rangle = -p'(\omega_0)f(0)$.
То есть ответ $\hat x = a_+ \delta_{\omega_0} + a_-\delta_{-\omega_0}$.

тогда наверное надо и вторые производные проверять и еще непойми что