Доказать,что не существует стационарного в широком см. проц.

[Jack63]

Доказать, что не существует стационарного в широком смысле случайного процесса с корреляционной функцией $\xi$(t) непосредственно, на основе корреляционной зависимости сечений случайного процесса.
$ R_\xi(\tau)=\begin{cases} 1,&\text{если $|\tau| \leqslant 1$;}\\ 0,&\text{если $|\tau|>1$.}\\ \end{cases} $
где $\tau= (t_2-t_1)$
В задаче нужно было доказать четырьмя способами, 3-мя получилось доказать, а как этим не знаю.
Я спросил преподавателя как решать,он сказал "возьми график функции к примеру такой:


$X =\frac 2 3 ; Y = \frac 2 7 ; Z = \frac 4 3$
И рассмотри три случая:
$\rho(X,Y),\rho(Y,Z),\rho(X,Z) $
посмотри как корреляционно зависимы эти величины"
Теорию читал,лекции смотрел,в интернете искал,одногруппников спрашивал - результата ноль

Сам думал так: если бы не $\tau$ была,а $t$ (т.е. не отрезок, а граница),то возможно бы в одном из случаев должен был получиться 0 по функции
( $\tau =\frac 4 3 - \frac 2 7 >1 ,R=0$),а в других единица, и возможно этим бы доказывалось...

[zhoraster]

Jack63 в сообщении #499611 писал(а):

Извиняюсь за немного не правильно оформленную систему

Вы не извиняйтесь, а сделайте правильно.

В частности, в одной формуле не должно быть больше двух знаков доллара (один в начале, другой в конце). Окружать при этом надо всю формулу, а не отдельные символы!

Читайте тут и тут.

Исправите - пишите сюда.

[zhoraster]

Возвращено.

[_hum_]

Jack63 в сообщении #499611 писал(а):

он сказал "возьми график функции к примеру такой:


$X =\frac 2 3 ; Y = \frac 2 7 ; Z = \frac 4 3$
И рассмотри три случая:
$\rho(X,Y),\rho(Y,Z),\rho(X,Z) $
посмотри как корреляционно зависимы эти величины"

Наверное, все-же имелось в виду, взять $X = \xi_{t^*} ; Y = \xi_{t^* + 2/3} ; Z = \xi_{t^* + 4/3}$ и рассмотреть корреляции $\mathrm{corr}(X,Y), \mathrm{corr}(Y,Z), \mathrm{corr}(X,Z) $.

P.S. Возможно, имеет смысл воспользоваться условием неотрицательной определенности всякой автокорреляционной функции $R(t, s)$.

[profrotter]

Полагаю, что условие сформулировано неудачно. Скорее всего Вам требуется доказать, что заданная функция $R(\tau)$ не может являться корреляционной функцией (КФ) стационарного случайного процесса (ССП). Для того, чтобы это сделать вспомните, какими свойствами должна обладать КФ ССП и убедитесь, что одно из них не выполняется. Особенно обратите внимание на связь спектра мощности и КФ ССП.

[Jack63]

Наверно надо было уточнить...
Полностью задача выглядит так:
"Доказать четырьмя способами:
(1) непосредственно, на основе корреляционной зависимости сечений случайного процесса,
(2) с использованием свойств корреляционной функции,
(3) с использованием свойств спектральной плотности мощности,
(4) с использованием свойств непрерывности в среднем квадратичном"

1)не знаю
2)по св-ву неотрицательности R - доказал
3)по св-ву неотрицательности S - доказал
4)по теореме,если R непрерывна в нуле,значит непрерывна везде - доказал

подскажите,пожалуйста, как доказать именно первым способом.

[profrotter]

Jack63 в сообщении #499611 писал(а):

И рассмотри три случая:
$\rho(X,Y),\rho(Y,Z),\rho(X,Z) $
посмотри как корреляционно зависимы эти величины

Предполагаю, что надо записать значения этих коэффициентов корреляции и найти противоречие. Ну например если есть три СВ, такие что $A$ полностью коррелировано с $B$ (единичный коэффициент корреляции), а $B$ полностью коррелировано с $C$, то что-то должно выполняться для $A$ и $C$

[_hum_]

Точно, у вас же там в корреляционной функции стоит тождественная единица, а значит, сечения, не слишком далеко отстоящие друг от друга по времени, полностью коррелированы. Остается вспомнить, что из этого вытекает.

[Jack63]

Проверьте доказательство :

1) для сечений A и B $R_\xi(\tau)=1 \Rightarrow$ A и B полностью коррелированы $ \Rightarrow$A и B линейнозависимы
2) для сечений A и С $R_\xi(\tau)=1 \Rightarrow$ A и С полностью коррелированы $ \Rightarrow$ A и С линейнозависимы
3)т.к A и B , A и C попарно линейнозависимы между собой $ \Rightarrow$ A и C также должны быть линейнозависимы между собой, а значит их $R_\xi(\tau)=1$,но
для сечений A и C $R_\xi(\tau)=0 \Rightarrow$ получили противоречие,значит не существует стационарного в широком смысле случайного процесса с данной корреляционной функцией

вроде так,но по правильному нужно брать не $R_\xi(\tau)$ ,а $ r_\xi(t_1,t_2)= \frac{R_\xi(\tau)}{\sqrt{D_\xi(t_1) D_\xi(t_2)}}}$, т.е. не корреляционную функцию,а коэффициент корреляции. Для сечений A и C $R_\xi(\tau)=0 $ значит и $r_\xi(\tau)=0 $, но в двух других случаях нужно $D_\xi(t_1) и D_\xi(t_2)$ считать... как это можно сделать?

[--mS--]

Jack63 в сообщении #500058 писал(а):

...но в двух других случаях нужно $D_\xi(t_1) и D_\xi(t_2)$ считать... как это можно сделать?

Дисперсия случайной величины есть ковариация её с ней самой.

[Jack63]

т.е. к примеру если начальное сечение взять 1/5,то
1)$D_\xi(\frac 1 5) D(\frac 1 5 + \frac 2 5) = R_\xi(\frac 1 5) R(\frac 1 5 + \frac 2 5)$ = 1*1=1
2)$D_\xi(\frac 1 5) D(\frac 1 5 + \frac 2 5) = R_\xi(\frac 1 5 + \frac 2 5) R(\frac 1 5 + \frac 4 5)$ = 1*1=1 ?

и финальный вариант доказательства:


пусть сечение A = $\frac 1 5$
1) для сечений A и B $ r_\xi(t_1,t_2)= \frac{R_\xi(\tau)}{\sqrt{D_\xi(A) D_\xi(B)}}}$ $= \frac{R_\xi(\tau)}{\sqrt{R_\xi(A) R_\xi(B)}}}$ $= \frac{1}{1*1}}}$ =1 \Rightarrow$ A и B полностью коррелированы $ \Rightarrow$A и B линейнозависимы
2) для сечений B и C $ r_\xi(t_2,t_3)= \frac{R_\xi(\tau)}{\sqrt{D_\xi(B) D_\xi(C)}}}$ $= \frac{R_\xi(\tau)}{\sqrt{R_\xi(B) R_\xi(C)}}}$ $= \frac{1}{1*1}}}$ =1 \Rightarrow$ B и C полностью коррелированы $ \Rightarrow$B и C линейнозависимы
3)т.к A и B , A и C попарно линейнозависимы между собой $ \Rightarrow$ A и C также должны быть линейнозависимы между собой, а значит их $r_\xi(\tau)=1$,но
для сечений A и C $r_\xi(A,C)= \frac{R_\xi(\tau)}{\sqrt{D_\xi(A) D_\xi(C)}}}=0 \Rightarrow$ получили противоречие,значит не существует стационарного в широком смысле случайного процесса с данной корреляционной функцией

все верно?

[--mS--]

Конечно. Если, конечно, под "линейно зависимы" понимается линейная зависимость с вероятностью один.

[Jack63]

profrotter, _hum_, --mS-- спасибо вам огромное за помощь! без вашей помощи я бы наврятли доказал этот случай

[--mS--]

Стоп, стоп! Вот это я как-то проглядела!

Jack63 в сообщении #500097 писал(а):

т.е. к примеру если начальное сечение взять 1/5,то
1)$D_\xi(\frac 1 5) D(\frac 1 5 + \frac 2 5) = R_\xi(\frac 1 5) R(\frac 1 5 + \frac 2 5)$ = 1*1=1
2)$D_\xi(\frac 1 5) D(\frac 1 5 + \frac 2 5) = R_\xi(\frac 1 5 + \frac 2 5) R(\frac 1 5 + \frac 4 5)$ = 1*1=1 ?

При чём тут $R_\xi(\frac15)$ и т.п. при вычислении дисперсий? Кто такое $\tau$ в определении ковариационной функции процесса? Дайте вообще определение этой функции.

[Jack63]

$\tau$ это разность двух сечений

-- 06.11.2011, 19:41 --

$r_\xi(A,C)= \frac{R_\xi(C-A)}{\sqrt{D_\xi(A) D_\xi(C)}}}$

вроде $D_\xi(t) = R_\xi(t,t)$ значит получем для $t ={ \frac 1 5 } ; R_\xi({\frac 1 5}, {\frac 1 5})$ , а значит $R_\xi(0) = 1$.
Т.е. фактически тоже самое,но только в доказательстве под корнем вместо $R_\xi(A) R_\xi(B)$ будет $R_\xi(0) R_\xi(0)$
Я прав?