Нужно найти обратную функцию

[arseniiv]

Нарисованные здесь функции никак вам своим видом не помогут. Решите уравнение $y^2-6xy+9=0$ сначала. Ограничения наложите потом!

[profrotter]

spaits в сообщении #497625 писал(а):

обратная функция существует только для монотонных функций

В случае немонотонных функций обратная будет неоднозначна, но это не избавит от необходимости решать уравнение.

Интересно то, что нынче, судя по всему, предпочтительней построение графиков в математических программах вместо того, чтобы всего лишь решить квадратное уравнение. "До чего дошёл прогресс - труд практически исчез. Вкалывают роботы..."

[arseniiv]

(Оффтоп)

График может быть весьма полезным для определения того, какая однозначная часть обратной функции соответствует какому промежутку монотонности. Только ТС не те графики нарисовал.

[spaits]

profrotter в сообщении #497827 писал(а):

Последний раз редактировалось profrotter Пн окт 31, 2011 16:22:33, всего редактировалось 1 раз.


spaits в сообщении #497625 писал(а):
обратная функция существует только для монотонных функций
В случае немонотонных функций обратная будет неоднозначна, но это не избавит от необходимости решать уравнение.

В случае немонотонных функций обратную функцию надо искать для каждого интервала монотонности.
За решение учебных задач я уже была три раза забанена и получила последнее предупреждение. Больше не рискую.
Могу лишь подсказать, что вначале надо определить участки монотонности данной функции и поменять местами $x$ и $y$, иначе обратной функции не получить. Потом уже уравнение решать. Или сначала решить уравнение, а потом поменять местами переменные. При этом область определения и область значений функции меняются местами. Эти интервалы необходимо указать для каждого интервала монотонности. Но об этом уже был разговор, arseniiv почему-то получил замечание за комментарий, что надо поменять местами переменные. Замечание несправедливое.
Куда-то исчез топикстартер, совсем не участвует в обсуждении. Даже условие задачи не захотел пояснить.

[arseniiv]

spaits в сообщении #497865 писал(а):

Могу лишь подсказать, что вначале надо определить участки монотонности данной функции

А вот и неверно. Уравнение и без того решается.

spaits в сообщении #497865 писал(а):

и поменять местами $x$ и $y$, иначе обратной функции не получить

Менять местами нужно только тем, кто умеет решать уравнения только относительно икса. Как исходная функция, так и обратная, никак не привязана к иксу или игреку. Можно вообще её в терминах каких-нибудь $\zeta$ и $m$ выразить.

(Оффтоп)

spaits в сообщении #497865 писал(а):

arseniiv почему-то получил замечание за комментарий, что надо поменять местами переменные

Не я; читайте внимательнее.

[spaits]

arseniiv в сообщении #497867 писал(а):

Уравнение и без того решается.

Уравнение решается, но если Вы ищете, например, обратную функцию для $y=\sin x$, то не на всей же числовой оси.
Конечно, можно не менять местами переменные, но тогда ученику труднее найти область определения и область значений обратной функции. Кстати, он их и не находил вообще.
Непонятно также, к какой функции (к данной или обратной) относятся условия, которые спустя время предоставил нам топикстартер: $x>1$ и $y\geqslant0$.
Уж всяко не к данной функции $ x=f(y)$, которая при $y=0$ вообще не определена.

[arseniiv]

spaits в сообщении #497913 писал(а):

но тогда ученику труднее найти область определения и область значений обратной функции

Это смотря какому ученику.

spaits в сообщении #497913 писал(а):

Уравнение решается, но если Вы ищете, например, обратную функцию для $y=\sin x$, то не на всей же числовой оси.

Что не так? $x = (-1)^n \arcsin y + \pi n, n \in \mathbb Z$. Потом выбираем себе по вкусу однозначный кусок.

spaits в сообщении #497913 писал(а):

Непонятно также, к какой функции (к данной или обратной) относятся условия, которые спустя время предоставил нам топикстартер: $x>1$ и $y\geqslant0$.
Уж всяко не к данной функции $ x=f(y)$, которая при $y=0$ вообще не определена.

Вернётся и расскажет.

[spaits]

arseniiv в сообщении #497934 писал(а):

Что не так? . Потом выбираем себе по вкусу однозначный кусок.

Я имела ввиду определение функции $y=\arcsin x$, Вы поняли, что я говорю о применении этой функции.
А топикстартера будем ждать.

[arseniiv]

spaits в сообщении #497949 писал(а):

Я имела ввиду определение функции $y=\arcsin x$, Вы поняли, что я говорю о применении этой функции.

Все мы знаем, что она никак не выделена среди остальных обратных к синусу на каком-нибудь множестве, где обратная будет однозначной. Просто чаще удобно использовать именно $\arcsin$, и потому решение уравнения записывается через него. Т. е. я вас не понял.

[GrishinUS]

Чтобы поставить точку во всех вопросах по условию, вот оригинал задачи как есть:

Цитата:

Prove: For every real number $x>1$, there exist two distinct positive real numbers $y$ and $z$ such that $x=\frac{y^2+9}{6y}=\frac{z^2+9}{6z}$.

Цитата:

... предпочтительней построение графиков в математических программах вместо того, чтобы всего лишь решить квадратное уравнение...

Справедливо при условии что Вы видите там квадратное уравнение, я вот не сразу увидел. Решал "как мог", т.е. перебирал частные варианты. Осенило буквально пару часов назад, по дороге в универ, значит не все потеряно.

Итак, при решении уравнения $y^2-6xy+9=0$ нужно положить $b=-6x$ для квадратного уравнения общего вида $ax^2+bx+c=0$. Тогда получается:
$D=36x^2-36=36(x^2-1)$,
$y_1=3(x+\sqrt{x^2+1})$,
$y_2=3(x-\sqrt{x^2+1})$.

Для $y=3(x+\sqrt{x^2+1})$

$\frac{y^2+9}{6y}=\frac{(3(x+\sqrt{x^2-1}))^2+9}{6(3(x+\sqrt{x^2-1}))}=\frac{9(x+\sqrt{x^2-1})^2+9}{18(x+\sqrt{x^2-1})}=\frac{9((x+\sqrt{x^2-1})^2+1)}{18(x+\sqrt{x^2-1})}=\frac{x^2+2x\sqrt{x^2-1}+1+x^2-1}{2(x+\sqrt{x^2-1})}=\frac{2x^2+2x\sqrt{x^2-1}}{2(x+\sqrt{x^2-1})}=\frac{2x(x+\sqrt{x^2-1})}{2\sqrt{x^2-1}}=x$.

Для $z=3(x-\sqrt{x^2+1})$

$\frac{z^2+9}{6z}=\frac{(3(x-\sqrt{x^2-1}))^2+9}{6(3(x-\sqrt{x^2-1}))}=\frac{9(x-\sqrt{x^2-1})^2+9}{18(x-\sqrt{x^2-1})}=\frac{9((x-\sqrt{x^2-1})^2+1)}{18(x-\sqrt{x^2-1})}=\frac{(x^2-2x \sqrt{x^2-1}+x^2-1)+1}{2(x-\sqrt{x^2-1})}=\frac{2x^2-2x\sqrt{x^2-1}}{2(x-\sqrt{x^2-1})}=\frac{2x(x-\sqrt{x^2-1})}{2(x-\sqrt{x^2-1})}=x$.

Всем спасибо, теперь можно двигаться дальше.

[Mega Sirius12]

так у вас всему иксу равно?-почему вы в условии это не отразили?
И вам было нужно найти не обратную функцию, а перевести ее из неявного в явный вид
Все верно

[arseniiv]

GrishinUS в сообщении #497981 писал(а):

$y_1=3(x+\sqrt{x^2+1})$,
$y_2=3(x-\sqrt{x^2+1})$.

Вот на этом надо было остановиться. Теперь надо только проверить, что при $x > 1$ получается $y_1 \ne y_2$. И всё.

[GrishinUS]

Цитата:

И вам было нужно найти не обратную функцию, а перевести ее из неявного в явный вид

Вы меня опять запутать пытаетесь?

Цитата:

Вот на этом надо было остановиться. Теперь надо только проверить, что при $x > 1$ получается $y_1 \ne y_2$. И всё.

Нет не все, там в решении аналогичной задачи именно подстановкой проверялось все.

[arseniiv]

GrishinUS в сообщении #497991 писал(а):

Нет не все, там в решении аналогичной задачи именно подстановкой проверялось все.

Ну, если вы не верите формуле корней квадратного уравнения, что она находит только корни… (Там ведь надо проверить только неотрицательность дискриминанта, коя у вас налицо.)

[Mega Sirius12]

Цитата:

Вы меня опять запутать пытаетесь?

Как я понял условие -Вам дана неявная функция$\frac{y^2+9} {6y}=x$
Вам нужно выразить$y$через $x$?
Вы это сделали(только это называется не нахождение обратной функции)

(Оффтоп)

если туплю-прошу тапками не кидаться