Закон Гука

[anik]

master в сообщении #492690 писал(а):

Мысленно мы конечно можем выделить, но фактически это бессмысленно. Объяснять?

Объясните.

[master]

Предложу вам сделать мысленный эксперимент
Возьмем большое биллиардное поле, разместим в центре достаточно большое количество шаров, смазаных липкой и тягучей смесью. С двух сторон от центра разместите такие же шары, начните давить крайними системами центральную, рассмотрите несколько вариантов по количеству и структуре. Учтите, ни одного центрального взаимодействия. Надеюсь после этого вопросы у вас отпадут, сами собой.

[anik]

master в сообщении #492700 писал(а):

Надеюсь после этого вопросы у вас отпадут, сами собой.

Уже отпали.

[Батороев]

anik в сообщении #492390 писал(а):

Я, наверное, безнадёжно отстал, руководствуясь, вероятно, устаревшей литературой: Н. М. Беляев, «Сопротивление материалов», Москва, 1956г.
«Так как по первой главной площадке нормальное напряжение не равно нулю $(\sigma_\alpha \not = 0)$, а по двум другим оно обращается в нуль, то при простом растяжении и сжатии в каждой точке стержня из трёх главных напряжений только одно не равно нулю, оно направлено параллельно растягивающей силе и оси стержня. Такое напряжённое состояние называется линейным».

"Обращается в нуль" и "отсутствует" в данном случае не являются синонимами. Например, сравните, как об этом написано в другом источнике:

Цитата:

Проецируя внешнюю силу F, действующую на отсеченную часть стержня, на другие оси (y и z), а также составляя уравнения моментов относительно координатных осей, легко убедится, что осевое усилие N является единственным внутренним усилием, возникающим в сечении стержня (остальные тождественно равны нулю).

[Zai]

Цитата:

Чем обусловлены поперечные деформации?

При растяжении тензор напряжений из 6 компонент имееет только одону ненулевую. Давление в каждой точке среды равно 1/3 от этой компоненты (со знаком минус). Отрицательное давление вызывает сжатие сечения. Пуассон несколько веков назад вывел пропорциональность уменьшения линейных размеров сечения и величины напряжений растяжения.

[anik]

Батороев в сообщении #492756 писал(а):

"Обращается в нуль" и "отсутствует" в данном случае не являются синонимами. Например, сравните, как об этом написано в другом  источнике:

В приведённом Вами источнике
На стр. 20 читаем: «Для линейно-упругого материала относительная деформация при растяжении связана с нормальными напряжениями по закону Гука:

$$\varepsilon_x = \frac{\sigma_x}{E}$$

»
На стр. 21 читаем: «Относительная поперечная деформация при растяжении (сжатии) для изотропных материалов во всех направлениях одинакова… Между поперечной и продольной относительной деформациями при растяжении (сжатии) в пределах применимости закона Гука существует постоянное соотношение, которое называется коэффициентом поперечных деформаций (коэффициентом Пуассона)».
Коэффициент Пуассона устанавливает связь между продольной и поперечной относительной деформациями.
Вопрос: почему поперечная относительная деформация при растяжении не связана с нормальными напряжениями по закону Гука?

-- Сб окт 15, 2011 22:19:43 --

anik в сообщении #492837 писал(а):

На стр. 21 читаем: «Относительная поперечная деформация при растяжении (сжатии) для изотропных материалов во всех направлениях одинакова

Если относительная поперечная деформация во всех направлениях одинакова, то почему сечение квадратное до приложения осевых растягивающих сил, не сохраняют форму квадрата при деформации растяжения в области упругости?

-- Сб окт 15, 2011 22:26:57 --

Zai в сообщении #492777 писал(а):

Отрицательное давление вызывает сжатие сечения.

Если бы это было так, то имели бы место радиальные напряжения $\sigma_r$ максимальные в центре и нулевые на поверхности.
(Если стержень цилиндрический). Вообще-то я сам тоже считаю что внутри растянутого образца есть отрицательное давление.

[anik]

Цитирую: Н.М. Беляев «сопротивление материалов»
«Характер разрушения образцов камня показан на фиг. 31; раздробленный образец представляет собой усечённые пирамиды, совмещённые меньшими основаниями. Эта форма разрушения зависит от наличия при опыте сил трния между образцом и опорными плитами пресса. Если уничтожить это трение, например, путём смазывания парафином торцов кубика, то характер разрушения камня будет иным: камень будет разделяться на части трещинами, параллельными действию сжимающей силы (фиг. 32). Разрушающая нагрузка для такого кубика будет меньше, чем для кубика испытанного обычным путём, без смазки. Таким образом, при испытании на сжатие величина предела прочности оказывается в значительной мере условной характеристикой прочности материала. Это обстоятельство приходится учитывать при назначении коэффициента запаса».



Внутренние силы, действующие в каменном кубике, это силы давления камня на плиту, которая сжимает кубик. Действие камня на плиту противоположно направлению силы $P$ Сила $P$ создаёт давление внутри камня, это внутреннее давление и разрывает камень по осям $OX$ и $OY$, что мы и видим на фиг. 32. Если плита не смазана, то на камень действуют со стороны плиты не только нормальные силы, но и касательные силы, создаваемые трением. Эти касательные силы действуют по осям $OX$ и $OY$ вблизи плиты и направлены к оси $OZ$. Эти касательные силы несколько компенсируют силы давления (по осям $OX$ и $OY$) в камне. Силы давления в камне направлены от центра наружу. В результате мы видим то, что изображено на фиг. 31.
Итак: силы давления разрушают хрупкий материал (камень) и расширяют пластический материал по осям $OX$ и $OY$. Если мне скажут, что материал расширяет в поперечном направлении коэффициент Пуассона, то я не поверю.

[EvgenyGR]

anik в сообщении #492673 писал(а):

Что Вы понимаете под геометрической нелинейностью?

Вы видели как сгибается реальный стержень, с защемленным концом с одной стороны и свободным с концом с другой? У реального стержня свободный конец немного приблизится к защемленному (средняя линия практически не растягивается, а стержень выгибается дугой). В линейном решение (без учета геометрической нелинейности) наоборот свободный конец будет удаляться от защемленного. И это при том, что и в первом и втором случае деформации малого объема материала стержня будет очень хорошо описываться в рамках линейной теории деформаций. Кода мы получаем тензор деформаций из перемещений, мы удаляем поворот элементарного объема как целого, но так можно делать только для малых перемещений.

[Батороев]

anik в сообщении #492837 писал(а):

На стр. 21 читаем: «Относительная поперечная деформация при растяжении (сжатии) для изотропных материалов во всех направлениях одинакова… Между поперечной и продольной относительной деформациями при растяжении (сжатии) в пределах применимости закона Гука существует постоянное соотношение, которое называется коэффициентом поперечных деформаций (коэффициентом Пуассона)».
Коэффициент Пуассона устанавливает связь между продольной и поперечной относительной деформациями.
Вопрос: почему поперечная относительная деформация при растяжении не связана с нормальными напряжениями по закону Гука?

Ну, как же не связана? В книге специально подчеркивают, что существует постоянное соотношение в пределах применимости закона Гука. То, что поперечные деформации рассчитывают через коэффициент Пуассона, то по-видимому, считается, что так удобнее.

anik в сообщении #492837 писал(а):

anik в сообщении #492837 писал(а):

На стр. 21 читаем: «Относительная поперечная деформация при растяжении (сжатии) для изотропных материалов во всех направлениях одинакова.

Если относительная поперечная деформация во всех направлениях одинакова, то почему сечение квадратное до приложения осевых растягивающих сил, не сохраняют форму квадрата при деформации растяжения в области упругости?

Потому, что квадрат не является "изотропной" фигурой для плоского сечения, т.е. его свойства не одинаковы по всем направлениям (как например, у окружности).

[master]

anik в сообщении #492736 писал(а):

Уже отпали.

к сожалению "птенцов" всегда больше чем думающих.
я вам предложил рассмотреть распределение давлений и реакций, но вам видимо ....

-- Пн окт 17, 2011 10:25:53 --

Батороев в сообщении #493289 писал(а):

Потому, что квадрат не является "изотропной" фигурой для плоского сечения, т.е. его свойства не одинаковы по всем направлениям, как например, у окружности.

А теперь пусть anik скажет, какое это свойство?

[anik]

EvgenyGR в сообщении #493234 писал(а):

Вы видели как сгибается реальный стержень, с защемленным концом с одной стороны и свободным с концом с другой?

Методы расчёта консольно закреплённых: короткой жесткой балки, и тонкой длинной пластины, конечно различны. Дело в том, что уравнения равновесия должны составляться для деформированного состояния пластины, а чтобы рассчитать, как будет выглядеть пластина в деформированном состоянии уравнения равновесия уже должны быть составлены. В случае малых перемещений и деформаций уравнения равновесия допустимо составлять для исходного состояния балки (без учёта деформации от нагрузки).

-- Пн окт 17, 2011 11:11:50 --

Батороев в сообщении #493289 писал(а):

Ну, как же не связана? В книге специально подчеркивают, что существует постоянное соотношение в пределах применимости закона Гука.

Это постоянное соотношение между продольной и поперечной деформациями. С продольной деформацией по закону Гука связано нормальное напряжение $\sigma_z$, а с поперечными деформациями соответствующие напряжения $\sigma_x$ и $\sigma_y$ не связаны. Нет физической причины обусловливающей поперечные деформации. Коэффициент Пуассона только учитывает факт наличия поперечных деформаций.

-- Пн окт 17, 2011 11:14:49 --

Батороев в сообщении #493289 писал(а):

То, что поперечные деформации рассчитывают через коэффициент Пуассона, то по-видимому, считается, что так удобнее.

Наличие поперечных деформаций это экспериментальный факт. Соображения удобства здесь ни причём.

-- Пн окт 17, 2011 11:17:37 --

Батороев в сообщении #493289 писал(а):

Потому, что квадрат не является "изотропной" фигурой для плоского сечения, т.е. его свойства не одинаковы по всем направлениям (как например, у окружности).

Нет понятия изотропной фигуры, есть понятие изотропной среды (материала).

[Батороев]

anik в сообщении #493294 писал(а):

Это постоянное соотношение между продольной и поперечной деформациями. С продольной деформацией по закону Гука связано нормальное напряжение , а с поперечными деформациями соответствующие напряжения и не связаны. Нет физической причины обусловливающей поперечные деформации. Коэффициент Пуассона только учитывает факт наличия поперечных деформаций.

Это Вам только так кажется. Распишите формулы и найдете связь.

anik в сообщении #493294 писал(а):

Наличие поперечных деформаций это экспериментальный факт. Соображения удобства здесь ни причём.

Удобство в данном случае и заключается в том, что Пуассон провел экспериментальную часть за нас.

anik в сообщении #493294 писал(а):

Нет понятия изотропной фигуры, есть понятие изотропной среды (материала).

В моем сообщении "изотропный" было в кавычках...
Равномерность напряжений в поперечном сечении предполагает равномерность (равенство) их действия в радиальных (от центра сечения) направлениях. Если сечения по каким-то направлениям имеет не одинаковые расстояния от центра до периферии (до периметра) сечения, то и деформации не могут быть одинаковыми.

[EvgenyGR]

anik в сообщении #493294 писал(а):

Дело в том, что уравнения равновесия должны составляться для деформированного состояния пластины, а чтобы рассчитать, как будет выглядеть пластина в деформированном состоянии уравнения равновесия уже должны быть составлены.

Если честно, не очень понял, что Вы имеете в виду, но в любом случае уравнения, для горизонтального стержня, выписанные относительно перемещений и учитываю смещения по горизонтали будут нелинейными. Дело в том что смещения по горизонтали малая в квадрате относительно смещения по вертикали (прогиба). При этом связь тезоры деформации и напряжения можно брать линейной, это и есть геометрическая нелинейность.


И еще, к выпучиванию резины при сжатии, геометрическая нелинейность, видимо не причастна. Причина все же в нелинейной реологии материала (зависимости напряжения от относительного удлинения). Это если не учитывать краевые эффекты вместе контакта с прессом. Кстати при растяжении резины сечение из квадрата так же должно стать кругом.

[anik]

Батороев в сообщении #493313 писал(а):

anik в сообщении #493294 писал(а):
Это постоянное соотношение между продольной и поперечной деформациями. С продольной деформацией по закону Гука связано нормальное напряжение , а с поперечными деформациями соответствующие напряжения и не связаны. Нет физической причины обусловливающей поперечные деформации. Коэффициент Пуассона только учитывает факт наличия поперечных деформаций.

Это Вам только так кажется. Распишите формулы и найдете связь.

С продольными деформациями $\varepsilon_z$ связаны соответствующие напряжения $\sigma_z$. С поперечными деформациями $\varepsilon_y, \varepsilon_x$ соответствующих напряжений $\sigma_y, \sigma_x$ не связано, почему? Формулы дают связь между поперечными и продольными деформациями. Здесь имеется в виду линейное напряжённое состояние. Какие формулы мне нужно расписать?

-- Пн окт 17, 2011 16:48:36 --

Батороев в сообщении #493313 писал(а):

Равномерность напряжений в поперечном сечении предполагает равномерность (равенство) их действия в радиальных (от центра сечения) направлениях. Если сечения по каким-то направлениям имеет не одинаковые расстояния от центра до периферии (до периметра) сечения, то и деформации не могут быть одинаковыми.

В радиальных направлениях, согласно существующей теории, нормальных напряжений нет. Речь шла о том, что: "Относительная поперечная деформация при растяжении (сжатии) для изотропных материалов во всех направлениях одинакова…"
Если относительная поперечная деформация во всех направлениях одинакова, то не должно быть искажений формы фигуры сечения, факт известный из линейной алгебры. Всякая фигура остаётся подобной сама себе. Мы же наблюдаем вогнутость сторон квадрата сечения в напряжённом состоянии материала. Это как раз тот случай, когда эксперимент опровергает теорию.

-- Пн окт 17, 2011 17:00:14 --

EvgenyGR в сообщении #493337 писал(а):

Если честно, не очень понял, что Вы имеете в виду, но в любом случае уравнения, для горизонтального стержня, выписанные относительно перемещений и учитываю смещения по горизонтали будут нелинейными.

Если упругий горизонтальный стержень длинный и тонкий, да ещё нагружен в конце вертикальной сосредоточенной силой, то его прогибы будут настолько велики, что составлять уравнения равновесия пренебрегая деформацией стержня (считая, что он горизонтален) недопустимо. Составить уравнения равновесия для стержня в деформированном состоянии мы не можем потому, что заранее не знаем какую форму он примет. А чтобы рассчитать форму стержня должны быть уже составлены уравнения равновесия, чтобы найти поперечные силы и изгибающие моменты.

-- Пн окт 17, 2011 17:03:55 --

EvgenyGR в сообщении #493337 писал(а):

Кстати при растяжении резины сечение из квадрата так же должно стать кругом.

Заблуждаетесь, чем сильнее натянута резина, тем больше вогнутость (но не выпуклость!) граней резинового стержня.

[EvgenyGR]

anik в сообщении #493383 писал(а):

Если упругий горизонтальный стержень длинный и тонкий, да ещё нагружен в конце вертикальной сосредоточенной силой, то его прогибы будут настолько велики, что составлять уравнения равновесия пренебрегая деформацией стержня (считая, что он горизонтален) недопустимо. Составить уравнения равновесия для стержня в деформированном состоянии мы не можем потому, что заранее не знаем какую форму он примет.

Ну и что? В чем проблема? Допустим стержень идет вдоль оси x в нуле защемленное начало Тогда перемещение по оси X и Y функции от x (параметрическое задание кривой). Расписать растяжение и кривизну этой параметрически заданной кривой не проблема, вычислить по растяжению и кривизне средний линии деформации (используя гипотезу Кирхгофа-Лява ) тоже не проблема. Далее расписываете энергию упругих деформаций, считая что тензор напряжения линейно зависит от тензора деформаций, варьируете и получите нелинейный дифур. Муторно конечно, но чисто техническая работа

-- Пн окт 17, 2011 15:24:36 --

anik в сообщении #493383 писал(а):

Заблуждаетесь, чем сильнее натянута резина, тем больше вогнутость (но не выпуклость!) граней резинового стержня.

Вы уверены? Я вот тянул квадратную резиновую лапшу и уменя получалось сечение в виде окружности (ну почти, от граней квадрата остаются следы)