2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: все кривые в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве
Сообщение26.08.2011, 22:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Ну-с, начнем с двумерия.

Рассмотрим в $\mathbb{R}^{1,1}$ времениподобную кривую, заданную уравнениями $t = t\left( s \right),x = x\left( s \right)$, где $s$ - длина дуги.

Реализуем ориентацию сопутствующего репера гиперболическим поворотом.
Тогда вектор касательной есть $\left( {\begin{array}{*{20}c}   {\tau _t }  \\   {\tau _x }  \\ \end{array} } \right) = M\left( {\begin{array}{*{20}c}   1  \\   0  \\ \end{array} } \right)$, а вектор нормали суть $\left( {\begin{array}{*{20}c}   {n_t }  \\   {n_x }  \\ \end{array} } \right) = M\left( {\begin{array}{*{20}c}   0  \\   1  \\ \end{array} } \right)$, где $M$ имеет быть $M = \left( {\begin{array}{*{20}c}   {\operatorname{ch} \theta } & {\operatorname{sh} \theta }  \\   {\operatorname{sh} \theta } & {\operatorname{ch} \theta }  \\ \end{array} } \right)$.

Угловая переменная $\theta$ зависит от точки на кривой, т.е. $\theta  = \theta \left( s \right)$.

Как известно, $\vec \tau  = \vec x'$ (штрихом будет обозначаться дифференцирование по $s$). Откуда
$$\left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {t'\left( s \right) = \operatorname{ch} \theta \left( s \right)}  \\   {x'\left( s \right) = \operatorname{sh} \theta \left( s \right)}  \\ \end{array} } \right.$$

Вычислим теперь произведения вида $\vec n \cdot \vec \tau ' = \left( {\begin{array}{*{20}c}   0 & 1  \\ \end{array} } \right)M^T  \cdot \sigma  \cdot M'\left( {\begin{array}{*{20}c}   1  \\   0  \\ \end{array} } \right)$.

Здесь $\sigma  = \left( {\begin{array}{*{20}c}   1 & 0  \\   0 & { - 1}  \\ \end{array} } \right)$ и её появлению мы обязаны псевдоэвклидовости.

Очевидно, для вычисления всех таких произведений достаточно вычислить внутреннюю матрицу $\Omega  \equiv M^T  \cdot \sigma  \cdot M'$ и обложить ее по-всякому единичковыми векторами слева и справа. То есть, означенная омега представляет из себя $\left( {\begin{array}{*{20}c}   {\vec \tau  \cdot \vec \tau '} & {\vec \tau  \cdot \vec n'}  \\   {\vec n \cdot \vec \tau '} & {\vec n \cdot \vec n'}  \\ \end{array} } \right)$.

Вычисляем и имеем $\Omega  = \left( {\begin{array}{*{20}c}   0 & {\theta '\left( s \right)}  \\   { - \theta '\left( s \right)} & 0  \\
 \end{array} } \right)$. Отсюда не трудно сообразить уравнения Френе:
$$\left\{ {\begin{array}{*{20}c}   {\vec \tau ' = \theta '\vec n}  \\   {\vec n' = \theta '\vec \tau }  \\ \end{array} } \right.$$

В случае постоянной кривизны $\Omega  = const$, $\theta ' = \kappa  = const$, $\theta  = \kappa s$ и $\begin{gathered}  t = \frac{1}{\kappa }\operatorname{sh} \kappa s \hfill \\  x = \frac{1}{\kappa }\operatorname{ch} \kappa s \hfill \\ \end{gathered}$, то есть - псевдоокружность.

Ну, как-бы логично. Едем дальше...

Случай $\mathbb{R}^{1,2} $

$$\vec \tau  = M\left( {\begin{array}{*{20}c}   1  \\   0  \\   0  \\ \end{array} } \right),\vec n_1  = M\left( {\begin{array}{*{20}c}   0  \\
   1  \\   0  \\ \end{array} } \right),\vec n_2  = M\left( {\begin{array}{*{20}c}   0  \\   0  \\   1  \\ \end{array} } \right)$$

$\[
M \equiv \left( {\begin{array}{*{20}c}
   1 & 0 & 0  \\
   0 & {\cos \varphi } & { - \sin \varphi }  \\
   0 & {\sin \varphi } & {\cos \varphi }  \\

 \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
   {\operatorname{ch} \theta } & {\operatorname{sh} \theta } & 0  \\
   {\operatorname{sh} \theta } & {\operatorname{ch} \theta } & 0  \\
   0 & 0 & 1  \\

 \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}c}
   1 & 0 & 0  \\
   0 & {\cos \psi } & { - \sin \psi }  \\
   0 & {\sin \psi } & {\cos \psi }  \\

 \end{array} } \right)
\]
$

$\[
\Omega  \equiv M^T  \cdot \sigma  \cdot M'
\]
$, где теперь $\[
\sigma  = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   1 & 0 & 0  \\
   0 & { - 1} & 0  \\
   0 & 0 & { - 1}  \\

 \end{array} } \right)
\]
$.

После несколько нудноватых (или отданных кумпутеру) вычислёвываний, поимеем

$\[
\Omega  = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   0 & {\kappa _1 } & \delta   \\
   { - \kappa _1 } & 0 & {\kappa _2 }  \\
   { - \delta } & { - \kappa _2 } & 0  \\

 \end{array} } \right)
\]
$,
где
$$\[
\begin{gathered}
  \kappa _1  = \cos \psi  \cdot \theta ' + \sin \psi  \cdot \operatorname{sh} \theta  \cdot \varphi ' \hfill \\
  \kappa _2  = \operatorname{ch} \theta  \cdot \varphi ' + \psi ' \hfill \\
  \delta  =  - \sin \psi  \cdot \theta ' + \cos \psi  \cdot \operatorname{sh} \theta  \cdot \varphi ' \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
$$

Пару слов о $\delta$. Приблуда сия образовалась оттого, что в общем случае мы не совсем попали первой нормалью в направление производной касательной. Чтобы попасть совсем, надобно эту дельту обнулить. Что даст нам связь и оставит из трех только два параметра, определяющих направление касательной. Собственно, как и должно быть.

Таким образом, нужно решить систему $\[
\kappa _1  = const,\kappa _2  = const,\delta  = 0
\]
$, получить из нее $\[
\varphi  = \varphi \left( s \right),\theta  = \theta \left( s \right),\psi  = \psi \left( s \right)
\]
$, подставить сие в $\[
t'\left( s \right) = \operatorname{ch} \theta \left( s \right),x'\left( s \right) = \cos \varphi \left( s \right) \cdot \operatorname{sh} \theta \left( s \right),y'\left( s \right) = \sin \varphi \left( s \right) \cdot \operatorname{sh} \theta \left( s \right)
\]
$ (пси, кстати, выпало) и, проинтегрировав еще раз, получить наконец кривулю.

Этого я пока не добил. Нашел только интеграл $\[
\sin \psi  = \frac{{c_1  + \kappa \operatorname{ch} \theta }}
{{\operatorname{sh} \theta }}
\]
$, где $\[
\kappa  \equiv \frac{{\kappa _2 }}
{{\kappa _1 }}
\]
$, а $\[
{c_1 }
\]
$ - еще одна постоянная. Да свёл её к более простому виду $\[
\varphi ' = \kappa _1 \frac{{\sin \psi }}
{{\operatorname{sh} \theta }},\theta ' = \kappa _1 \cos \psi 
\]
$.

Вот примерно как-то вот так вот.

P.S. Чтобы двинуть далее с песнями на $\mathbb{R}^{1,3} $, надо как-то обобщить на четырехмерие углы Эйлера. Кто-то знает за такое стандартное или отсебятину тулить?

 Профиль  
                  
 
 Re: все кривые в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве
Сообщение26.08.2011, 22:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/10/05

2601
Москва,физфак МГУ,1990г
Утундрий в сообщении #477957 писал(а):
P.S. Чтобы двинуть далее с песнями на $\mathbb{R}^{1,3} $, надо как-то обобщить на четырехмерие углы Эйлера. Кто-то знает за такое стандартное или отсебятину тулить?

четырехмерные углы Эйлера нигде не встречал.Хотя и искал несколько лет...:-(

(Оффтоп)

Уважаемый Утундрий!Очень благодарен Вам за проделанную работу.Если продолжим, то я смогу проверить правильность своих расчётов. Их пока не выкладываю, чтоб не сбивать народ.Вдруг я что неправильно делаю...


И мне кажется, что для $\mathbb{R}^{1,2} $ решением будет какая-то линия на цилиндре.Но не уверен...
Для случая $\mathbb{R}^{1,1} $ вот такое у меня решение :
x(s) = c * exp(k * s) + c1 * exp(-k * s);
t(s) = c * exp(k * s) - c1 * exp(-k * s);

(Вообще,для случаев $\mathbb{R}^{1,2} $ , $\mathbb{R}^{1,3} $ у меня есть уже аналитические решения такого же типа,хотя и более громоздкие, но боюсь ошибиться,поэтому хорошо бы независимо проверить)

 Профиль  
                  
 
 Re: все кривые в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве
Сообщение26.08.2011, 22:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536

(Оффтоп)

Зачем же всю простыню-то цитировать...


Ну, может подскажет кто. А не подскажет - тоже не беда. Сам придумаю.

Скажем, два 3-поворота на фи да тэта, потом буст на хи вдоль выставленной этими фи и тэтой направлении и еще три 3-поворота. Всего, таким образом, шесть. Дельт будет три. Шесть минус три вроде как три, так что похоже на правду.

 Профиль  
                  
 
 Re: все кривые в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве
Сообщение27.08.2011, 00:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
PSP в сообщении #477961 писал(а):
четырехмерные углы Эйлера нигде не встречал.Хотя и искал несколько лет


есть же какие-то стандартные координаты на $SO_n\mathbb{R}$

 Профиль  
                  
 
 Re: все кривые в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве
Сообщение27.08.2011, 00:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/10/05

2601
Москва,физфак МГУ,1990г
alcoholist в сообщении #477995 писал(а):
PSP в сообщении #477961 писал(а):
четырехмерные углы Эйлера нигде не встречал.Хотя и искал несколько лет


есть же какие-то стандартные координаты на $SO_n\mathbb{R}$

Вот именно "какие-то стандартные координаты "... А какие ? Где описаны ??

 Профиль  
                  
 
 Re: все кривые в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве
Сообщение27.08.2011, 11:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
PSP в сообщении #477961 писал(а):
четырехмерные углы Эйлера нигде не встречал.Хотя и искал несколько лет..

Wikipedia писал(а):
Higher dimensions
$\hline$

It is possible to define parameters analogous to the Euler angles in dimensions higher than three.
The number of degrees of freedom of a rotation matrix is always less than the dimension of the matrix squared. That is, the elements of a rotation matrix are not all completely independent. For example, the rotation matrix in dimension 2 has only one degree of freedom, since all four of its elements depend on a single angle of rotation. A rotation matrix in dimension 3 (which has nine elements) has three degrees of freedom, corresponding to each independent rotation, for example by its three Euler angles or a magnitude one (unit) quaternion.
In $SO(4)$ the rotation matrix is defined by two quaternions, and is therefore 6-parametric (three degrees of freedom for every quaternion). The $4\times4$ rotation matrices have therefore 6 out of 16 independent components.
Any set of 6 parameters that define the rotation matrix could be considered an extension of Euler angles to dimension 4.
In general, the number of euler angles in dimension $D$ is quadratic in $D$; since any one rotation consists of choosing two dimensions to rotate between, the total number of rotations available in dimension $D$ is , $N_{rot}=\left(\begin{array}{c}D \\ 2\end{array}\right)=D(D-1)/2)$ which for $D=2,3,4$ yields $N_{rot} = 1,3,6$.

 Профиль  
                  
 
 Re: все кривые в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве
Сообщение27.08.2011, 11:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/10/05

2601
Москва,физфак МГУ,1990г
Bulinator в сообщении #478034 писал(а):
PSP в сообщении #477961 писал(а):
четырехмерные углы Эйлера нигде не встречал.Хотя и искал несколько лет..

Wikipedia писал(а):
Higher dimensions
$\hline$

It is possible to define parameters analogous to the Euler angles in dimensions higher than three.
The number of degrees of freedom of a rotation matrix is always less than the dimension of the matrix squared. That is, the elements of a rotation matrix are not all completely independent. For example, the rotation matrix in dimension 2 has only one degree of freedom, since all four of its elements depend on a single angle of rotation. A rotation matrix in dimension 3 (which has nine elements) has three degrees of freedom, corresponding to each independent rotation, for example by its three Euler angles or a magnitude one (unit) quaternion.
In $SO(4)$ the rotation matrix is defined by two quaternions, and is therefore 6-parametric (three degrees of freedom for every quaternion). The $4\times4$ rotation matrices have therefore 6 out of 16 independent components.
Any set of 6 parameters that define the rotation matrix could be considered an extension of Euler angles to dimension 4.
In general, the number of euler angles in dimension $D$ is quadratic in $D$; since any one rotation consists of choosing two dimensions to rotate between, the total number of rotations available in dimension $D$ is , $N_{rot}=\left(\begin{array}{c}D \\ 2\end{array}\right)=D(D-1)/2)$ which for $D=2,3,4$ yields $N_{rot} = 1,3,6$.

Вот перевод (машинный):
Цитата:
Более высокие измерения


Возможно определить параметры, аналогичные углам Euler в измерениях выше чем три.
Количество степеней свободы матрицы вращения всегда - меньше чем измерение согласованной матрицы. Таким образом, элементы матрицы вращения не все абсолютно независимы. Например, у матрицы вращения в измерении 2 есть только одна степень свободы, так как все четыре из ее элементов зависят от единственного угла вращения. У матрицы вращения в измерении 3 (у которого есть девять элементов) есть три степени свободы, соответствуя каждому независимому вращению, например его тремя углами Euler или величиной один (единица) кватернион.
Во вращении матрица определена двумя кватернионами, и поэтому 6-параметрическая (три степени свободы для каждого кватерниона). Вращение matrices имеет поэтому 6 из 16 независимых компонентов.
Любой набор 6 параметров, которые определяют матрицу вращения, можно было считать расширением углов Euler, чтобы проставить размеры 4.
Вообще, число углов euler в измерении является квадратным в; так как любое вращение состоит из выбора двух измерений, чтобы вращаться между, общее количество вращений, доступных в измерении, который для урожаев.


Хорошо бы подкорректировать...И в русской Вики выставить...

 Профиль  
                  
 
 Re: все кривые в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве
Сообщение27.08.2011, 12:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536

(Оффтоп)

Цитата:
Any set of 6 parameters that define the rotation matrix could be considered an extension of Euler angles to dimension 4.

Крайне содержательно! :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: все кривые в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве
Сообщение27.08.2011, 12:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/10/05

2601
Москва,физфак МГУ,1990г
Утундрий в сообщении #478041 писал(а):

(Оффтоп)

Цитата:
Any set of 6 parameters that define the rotation matrix could be considered an extension of Euler angles to dimension 4.

Крайне содержательно! :mrgreen:

(Оффтоп)

Я согласен - эта инфа только для смеха... :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: все кривые в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве
Сообщение27.08.2011, 12:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536

(Оффтоп)

PSP в сообщении #478043 писал(а):
Я согласен - эта инфа только для смеха...

Ну, еще можно считать это как бы "благословением" от Вики. Просто выберите любые шесть параметров - и в путь.

Так и сделаю, пожалуй...

 Профиль  
                  
 
 Re: все кривые в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве
Сообщение27.08.2011, 12:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/10/05

2601
Москва,физфак МГУ,1990г
Утундрий в сообщении #478044 писал(а):

(Оффтоп)

PSP в сообщении #478043 писал(а):
Я согласен - эта инфа только для смеха...

Ну, еще можно считать это как бы "благословением" от Вики. Просто выберите любые шесть параметров - и в путь.

Так и сделаю, пожалуй...

(Оффтоп)

Благославляю.И в качестве морального стимула - задача это не просто так, а с физическим значением...
Если нужно, могу выложить свои результаты по ней, но может, для независимой сверки погодить ?

 Профиль  
                  
 
 Re: все кривые в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве
Сообщение28.08.2011, 00:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Итак $\mathbb{R}^{1,3} $

Предлагаю взять
$$\[
M = A_\alpha  B_\beta  C_\theta  B_\varphi  A_\psi  B_\chi  
\]
$$
где $\[
A_\alpha   \equiv \left( {\begin{array}{*{20}c}
   1 & 0 & 0 & 0  \\
   0 & 1 & 0 & 0  \\
   0 & 0 & {c_\alpha  } & { - s_\alpha  }  \\
   0 & 0 & {s_\alpha  } & {c_\alpha  }  \\

 \end{array} } \right),B_\beta   \equiv \left( {\begin{array}{*{20}c}
   1 & 0 & 0 & 0  \\
   0 & {c_\beta  } & { - s_\beta  } & 0  \\
   0 & {s_\beta  } & {c_\beta  } & 0  \\
   0 & 0 & 0 & 1  \\

 \end{array} } \right),C_\theta   \equiv \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {\operatorname{ch} \theta } & {\operatorname{sh} \theta } & 0 & 0  \\
   {\operatorname{sh} \theta } & {\operatorname{ch} \theta } & 0 & 0  \\
   0 & 0 & 1 & 0  \\
   0 & 0 & 0 & 1  \\

 \end{array} } \right)
\]
$, и $\[
s_\alpha   \equiv \sin \alpha ,c_\alpha   \equiv \cos \alpha 
\]
$

Тогда $\[
\Omega  = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   0 & { - \kappa _1 } & { - \delta _1 } & { - \delta _2 }  \\
   {\kappa _1 } & 0 & { - \kappa _2 } & { - \delta _3 }  \\
   {\delta _1 } & {\kappa _2 } & 0 & { - \kappa _3 }  \\
   {\delta _2 } & {\delta _3 } & {\kappa _3 } & 0  \\

 \end{array} } \right)
\]
$
где
$$\[
\begin{gathered}
  \kappa _1  =  - \operatorname{sh} _\theta  \left( {s_\beta  s_\chi  s_\psi  \alpha ' + \left( {c_\varphi  s_\chi  c_\psi   + s_\varphi  c_\chi  } \right)\beta '} \right) + \left( { - c_\varphi  c_\chi   + s_\varphi  s_\chi  c_\psi  } \right)\theta ' \hfill \\
  \kappa _2  =  - s_\psi  \left( {s_\beta  c_\psi  \operatorname{ch} _\theta   + s_\varphi  c_\beta  } \right)\alpha ' - c_\psi  \left( {\operatorname{ch} _\theta  \beta ' + \varphi '} \right) - \chi ' \hfill \\
  \kappa _3  = \left( {s_\beta  \operatorname{ch} _\theta  \left( {c_\varphi  s_\chi  c_\psi   + s_\varphi  c_\chi  } \right) + c_\beta  \left( { - c_\varphi  c_\chi   + s_\varphi  s_\chi  c_\psi  } \right)} \right)\alpha ' - s_\chi  s_\psi  \left( {\operatorname{ch} _\theta  \beta ' + \varphi '} \right) - c_\chi  \psi ' \hfill \\
  \delta _1  =  - \operatorname{sh} _\theta  \left( {s_\beta  c_\chi  s_\psi  \alpha ' + \left( {c_\varphi  c_\chi  c_\psi   + s_\varphi  s_\chi  } \right)\beta '} \right) + \left( {c_\varphi  s_\chi   + s_\varphi  c_\chi  c_\psi  } \right)\theta ' \hfill \\
  \delta _2  =  - s_\beta  c_\psi  \operatorname{sh} _\theta  \alpha ' + s_\psi  \left( {c_\varphi  \operatorname{sh} _\theta  \beta ' - s_\varphi  \theta '} \right) \hfill \\
  \delta _3  =  - \left( {s_\beta  \operatorname{ch} _\theta  \left( {c_\varphi  c_\chi  c_\psi   - s_\varphi  s_\chi  } \right) + c_\beta  \left( {c_\varphi  s_\chi   + s_\varphi  c_\chi  c_\psi  } \right)} \right)\alpha ' + c_\chi  s_\psi  \left( {\operatorname{ch} _\theta  \beta ' + \varphi '} \right) - s_\chi  \psi ' \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
$$

За правильность не ручаюсь, после двойного переписывания-то, но масштаб трагедии, надеюсь, виден?

Теперь нужно сперва решить систему
$$\kappa _{1,2,3}  = const,\delta _{1,2,3}  = 0$$
и затем систему
$$\[
\begin{gathered}
  t' = \operatorname{ch} _\theta   \hfill \\
  x' = \operatorname{sh} _\theta  c_\beta   \hfill \\
  y' = \operatorname{sh} _\theta  s_\beta  c_\alpha   \hfill \\
  z = \operatorname{sh} _\theta  s_\beta  s_\alpha   \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
$$

Может и есть там какая-то красивая аналитика, не знаю, не знаю... но меня все больше тянет тупо просчитать эти кривые численно.

PSP
Изложите сперва физическое значение. Может статься, весь этот нагороженный огород и не потребен вовсе.

 Профиль  
                  
 
 Re: все кривые в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве
Сообщение28.08.2011, 01:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/10/05

2601
Москва,физфак МГУ,1990г
Утундрий в сообщении #478205 писал(а):
Изложите сперва физическое значение. Может статься, весь этот нагороженный огород и не потребен вовсе.

Отправил в личку коротко.Если заинтересует - дальше работать можно.Работа то поисковая.
Аналитику я в Мапле сделал.Могу выложить.Единственно, что не успел - проанализировать, упростить и анимацию сделать...(плюс, чтобы избавиться от мнимостей,ухитриться как-то применить функцию Губермана..)
Вот для случая $\mathbb{R}^{1,2} $ :
$ 
\[{\it sys}\, := \,[{\frac {d}{ds}}x \left( s \right) =k_{{1}}y \left( s \right) ,{\frac {d}{ds}}y \left( s \right) =-k_{{1}}x \left( s \right) +k_{{2}}z \left( s \right) ,{\frac {d}{ds}}z \left( s \right) =k_{{2}}\\\mbox{}y \left( s \right) ]\]
$
Решения получаются громоздкие, сюда не влазят:
$  {x(s) = (-k[1]*_C2*cos(sqrt(-k[2]^2+k[1]^2)*s)+k[1]*_C3*sin(sqrt(-k[2]^2+k[1]^2)*s)+_C1*sqrt(-k[2]^2+k[1]^2))/sqrt(-k[2]^2+k[1]^2), z(s) = (-_C2*cos(sqrt(-k[2]^2+k[1]^2)*s)*k[2]^2+_C3*sin(sqrt(-k[2]^2+k[1]^2)*s)*k[2]^2+k[1]*_C1*sqrt(-k[2]^2+k[1]^2))/(sqrt(-k[2]^2+k[1]^2)*k[2]), 
$
$ 
y(s) = _C2*sin(sqrt(-k[2]^2+k[1]^2)*s)+_C3*cos(sqrt(-k[2]^2+k[1]^2)*s)}}{\[{\it ans0}\, := \, \left\{ x \left( s \right) ={\frac {-k_{{1}}{\it \_C2}\,\cos \left( {\it sqrt} \left( -{k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2} \right) s \right) \\
\mbox{}+k_{{1}}{\it \_C3}\,\sin \left( {\it sqrt} \left( -{k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2} \right) s \right) \\
\mbox{}+{\it \_C1}\,{\it sqrt} \left( -{k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2} \right) }{{\it sqrt} \left( -{k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2} \right) }},z \left( s \right) ={\frac {-{\it \_C2}\,\cos \left( {\it sqrt} \left( -{k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2} \right) s \right) {k_{{2}}}^{2}+{\it \_C3}\,\sin \left( {\it sqrt} \left( -{k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2} \right) s \right) {k_{{2}}}^{2}\\
\mbox{}+k_{{1}}{\it \_C1}\,{\it sqrt} \left( -{k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2} \right) }{{\it sqrt} \left( -{k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2} \right) k_{{2}}}},y \left( s \right) \\
\mbox{}={\it \_C2}\,\sin \left( {\it sqrt} \left( -{k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2} \right) s \right) +{\it \_C3}\,\cos \left( {\it sqrt} \left( -{k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2} \right) s \right) \\
\mbox{} \right\} \]}
  $

 Профиль  
                  
 
 Re: все кривые в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве
Сообщение28.08.2011, 22:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Нашел до смешного простой путь решения. К чеrту углы Эйлера! Они нужны только для общего случая восстановления кривой по произвольному натуральному уравнению. А в случае постоянных кривизн достаточно векторных уравнений Френе.

Итак, сразу $\mathbb{R}^{1,3}$, времениподобная кривая.

$$\[
\left\{ \begin{gathered}
  {\mathbf{r''}} = \kappa _1 {\mathbf{n}}_1  \hfill \\
  {\mathbf{n}}_1 ^\prime   = \kappa _1 {\mathbf{r'}} + \kappa _2 {\mathbf{n}}_2  \hfill \\
  {\mathbf{n}}_2 ^\prime   =  - \kappa _2 {\mathbf{n}}_1  + \kappa _3 {\mathbf{n}}_3  \hfill \\
  {\mathbf{n}}_3 ^\prime   =  - \kappa _3 {\mathbf{n}}_2  \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.
\]
$$

Базис $\[
\left\{ {{\mathbf{r'}},{\mathbf{n}}_1 ,{\mathbf{n}}_2 ,{\mathbf{n}}_3 } \right\}
\]
$ ортонормирован ($\[
{{\mathbf{r'}}}
\]
$ времениподобный вектор, остальные - пространственноподобные).

Нас по большому счёту интересует только ${\mathbf{r}}$, поэтому получим для нее уравнение. Выразим все нормали через производные от ${\mathbf{r}}$:

$$\[
\left\{ \begin{gathered}
  \kappa _1 {\mathbf{n}}_1  = {\mathbf{r''}} \hfill \\
  \kappa _1 \kappa _2 {\mathbf{n}}_2  = {\mathbf{r'''}} - \kappa _1^2 {\mathbf{r'}} \hfill \\
  \kappa _1 \kappa _2 \kappa _3 {\mathbf{n}}_3  = {\mathbf{r}}^{(4)}  - \left( {\kappa _1^2  - \kappa _2^2 } \right){\mathbf{r''}} \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.
\]
$$

И поскольку $\[
\kappa _1 \kappa _2 \kappa _3 {\mathbf{n}}_3 ^\prime   =  - \kappa _3^2 \kappa _1 \kappa _2 {\mathbf{n}}_2 
\]
$, то

$$\[
{\mathbf{r}}^{(5)}  - \left( {\kappa _1^2  - \kappa _2^2  - \kappa _3^2 } \right){\mathbf{r'''}} - \kappa _1^2 \kappa _3^2 {\mathbf{r'}} = 0
\]
$$

Далее стандартно.

P.S. Только не забывать об ортонормированности базиса. Общее решение ${\mathbf{r}}$, содержащее набор постоянных векторов, нужно будет еще подвергнуть надругательству путём вычисления по нему квадратов длин касательной и нормалей и приведении их к кошерному виду.

 Профиль  
                  
 
 Re: все кривые в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве
Сообщение28.08.2011, 22:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/10/05

2601
Москва,физфак МГУ,1990г
Утундрий в сообщении #478399 писал(а):
Нашел до смешного простой путь решения. К чеrту углы Эйлера! Они нужны только для общего случая восстановления кривой по произвольному натуральному уравнению. А в случае постоянных кривизн достаточно векторных уравнений Френе.

Итак, сразу $\mathbb{R}^{1,3}$, времениподобная кривая.

$$\[
\left\{ \begin{gathered}
  {\mathbf{r''}} = \kappa _1 {\mathbf{n}}_1  \hfill \\
  {\mathbf{n}}_1 ^\prime   = \kappa _1 {\mathbf{r'}} + \kappa _2 {\mathbf{n}}_2  \hfill \\
  {\mathbf{n}}_2 ^\prime   =  - \kappa _2 {\mathbf{n}}_1  + \kappa _3 {\mathbf{n}}_3  \hfill \\
  {\mathbf{n}}_3 ^\prime   =  - \kappa _3 {\mathbf{n}}_2  \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.
\]
$$

Базис $\[
\left\{ {{\mathbf{r'}},{\mathbf{n}}_1 ,{\mathbf{n}}_2 ,{\mathbf{n}}_3 } \right\}
\]
$ ортонормирован ($\[
{{\mathbf{r'}}}
\]
$ времениподобный вектор, остальные - пространственноподобные).

Нас по большому счёту интересует только ${\mathbf{r}}$, поэтому получим для нее уравнение. Выразим все нормали через производные от ${\mathbf{r}}$:

$$\[
\left\{ \begin{gathered}
  \kappa _1 {\mathbf{n}}_1  = {\mathbf{r''}} \hfill \\
  \kappa _1 \kappa _2 {\mathbf{n}}_2  = {\mathbf{r'''}} - \kappa _1^2 {\mathbf{r'}} \hfill \\
  \kappa _1 \kappa _2 \kappa _3 {\mathbf{n}}_3  = {\mathbf{r}}^{(4)}  - \left( {\kappa _1^2  - \kappa _2^2 } \right){\mathbf{r''}} \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.
\]
$$

И поскольку $\[
\kappa _1 \kappa _2 \kappa _3 {\mathbf{n}}_3 ^\prime   =  - \kappa _3^2 \kappa _1 \kappa _2 {\mathbf{n}}_2 
\]
$, то

$$\[
{\mathbf{r}}^{(5)}  - \left( {\kappa _1^2  - \kappa _2^2  - \kappa _3^2 } \right){\mathbf{r'''}} - \kappa _1^2 \kappa _3^2 {\mathbf{r'}} = 0
\]
$$

Далее стандартно.

P.S. Только не забывать об ортонормированности базиса. Общее решение ${\mathbf{r}}$, содержащее набор постоянных векторов, нужно будет еще подвергнуть надругательству путём вычисления по нему квадратов длин касательной и нормалей и приведении их к кошерному виду.

Прекрасно!
Только у меня результат в параметрическом виде, покомпонентно.Как сверить ?
Вот :


$  sys := [diff(x(s), s) = k[1]*y(s), diff(y(s), s) = -k[1]*x(s)+k[2]*z(s), diff(z(s), s) = -k[2]*y(s)+k[3]*t(s), diff(t(s), s) = k[3]*z(s)]}{\[{\it sys}\, := \,[{\frac {d}{ds}}x \left( s \right) =k_{{1}}y \left( s \right) ,{\frac {d}{ds}}y \left( s \right) =-k_{{1}}x \left( s \right) +k_{{2}}z \left( s \right) ,{\frac {d}{ds}}z \left( s \right) =-k_{{2}}y \left( s \right) \\
\mbox{}+k_{{3}}t \left( s \right) ,{\frac {d}{ds}}t \left( s \right) =k_{{3}}z \left( s \right) ]\]}

}{ans0 := {z(s) = (k[1]^2*(_C1*exp(-(1/2)*sqrt(-2*sqrt(k[3]^4-2*k[3]^2*k[2]^2+2*k[3]^2*k[1]^2+k[2]^4+2*k[2]^2*k[1]^2+k[1]^4)+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)+_C2*exp((1/2)*sqrt(-2*sqrt(k[3]^4-2*k[3]^2*k[2]^2+2*k[3]^2*k[1]^2+k[2]^4+2*k[2]^2*k[1]^2+k[1]^4)+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)+_C3*exp(-(1/2)*sqrt(2*sqrt(k[3]^4-2*k[3]^2*k[2]^2+2*k[3]^2*k[1]^2+k[2]^4+2*k[2]^2*k[1]^2+k[1]^4)+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)+_C4*exp((1/2)*sqrt(2*sqrt(k[3]^4-2*k[3]^2*k[2]^2+2*k[3]^2*k[1]^2+k[2]^4+2*k[2]^2*k[1]^2+k[1]^4)+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s))+(1/4)*_C1*(-2*sqrt(k[3]^4-2*k[3]^2*k[2]^2+2*k[3]^2*k[1]^2+k[2]^4+2*k[2]^2*k[1]^2+k[1]^4)+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*exp(-(1/2)*sqrt(-2*sqrt(k[3]^4-2*k[3]^2*k[2]^2+2*k[3]^2*k[1]^2+k[2]^4+2*k[2]^2*k[1]^2+k[1]^4)+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)+(1/4)*_C2*(-2*sqrt(k[3]^4-2*k[3]^2*k[2]^2+2*k[3]^2*k[1]^2+k[2]^4+2*k[2]^2*k[1]^2+k[1]^4)+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*exp((1/2)*sqrt(-2*sqrt(k[3]^4-2*k[3]^2*k[2]^2+2*k[3]^2*k[1]^2+k[2]^4+2*k[2]^2*k[1]^2+k[1]^4)+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)+(1/4)*_C3*(2*sqrt(k[3]^4-2*k[3]^2*k[2]^2+2*k[3]^2*k[1]^2+k[2]^4+2*k[2]^2*k[1]^2+k[1]^4)+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*exp(-(1/2)*sqrt(2*sqrt(k[3]^4-2*k[3]^2*k[2]^2+2*k[3]^2*k[1]^2+k[2]^4+2*k[2]^2*k[1]^2+k[1]^4)+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)+(1/4)*_C4*(2*sqrt(k[3]^4-2*k[3]^2*k[2]^2+2*k[3]^2*k[1]^2+k[2]^4+2*k[2]^2*k[1]^2+k[1]^4)+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*exp((1/2)*sqrt(2*sqrt(k[3]^4-2*k[3]^2*k[2]^2+2*k[3]^2*k[1]^2+k[2]^4+2*k[2]^2*k[1]^2+k[1]^4)+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s))/(k[2]*k[1]), t(s) = -(1/8)*(4*k[2]^2*_C1*sqrt(-2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*exp(-(1/2)*sqrt(-2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)-4*k[2]^2*_C2*sqrt(-2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*exp((1/2)*sqrt(-2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)+4*k[2]^2*_C3*sqrt(2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*exp(-(1/2)*sqrt(2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)-4*k[2]^2*_C4*sqrt(2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*exp((1/2)*sqrt(2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)+4*k[1]^2*_C1*sqrt(-2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*exp(-(1/2)*sqrt(-2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)-4*k[1]^2*_C2*sqrt(-2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*exp((1/2)*sqrt(-2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)+4*k[1]^2*_C3*sqrt(2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*exp(-(1/2)*sqrt(2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)-4*k[1]^2*_C4*sqrt(2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*exp((1/2)*sqrt(2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)+_C1*(-2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)^(3/2)*exp(-(1/2)*sqrt(-2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)-_C2*(-2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)^(3/2)*exp((1/2)*sqrt(-2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)+_C3*(2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)^(3/2)*exp(-(1/2)*sqrt(2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)-_C4*(2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)^(3/2)*exp((1/2)*sqrt(2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s))/(k[2]*k[3]*k[1]), x(s) = _C1*exp(-(1/2)*sqrt(-2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)+_C2*exp((1/2)*sqrt(-2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)+_C3*exp(-(1/2)*sqrt(2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)+_C4*exp((1/2)*sqrt(2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s), y(s) = -(1/2)*(_C1*sqrt(-2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*exp(-(1/2)*sqrt(-2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)-_C2*sqrt(-2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*exp((1/2)*sqrt(-2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)+_C3*sqrt(2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*exp(-(1/2)*sqrt(2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s)-_C4*sqrt(2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*exp((1/2)*sqrt(2*sqrt((k[2]^2+k[1]^2+2*k[3]*k[2]+k[3]^2)*(k[2]^2+k[1]^2-2*k[3]*k[2]+k[3]^2))+2*k[3]^2-2*k[2]^2-2*k[1]^2)*s))/k[1]}}{\[{\it ans0}\, := \, \left\{ z \left( s \right) ={\frac {{k_{{1}}}^{2} \left( {\it \_C1}\,{e^{-1/2\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left( {k_{{3}}}^{4}-2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{2}}}^{2}+2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}+{k_{{2}}}^{4}+2\,{k_{{2}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{}+{k_{{1}}}^{4} \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2} \right) s}}+{\it \_C2}\,{e^{1/2\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left( {k_{{3}}}^{4}-2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{2}}}^{2}+2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}+{k_{{2}}}^{4}+2\,{k_{{2}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{}+{k_{{1}}}^{4} \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2} \right) s}}+{\it \_C3}\,{e^{-1/2\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left( {k_{{3}}}^{4}-2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{2}}}^{2}+2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}+{k_{{2}}}^{4}+2\,{k_{{2}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{}+{k_{{1}}}^{4} \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2} \right) s}}\\
\mbox{}+{\it \_C4}\,{e^{1/2\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left( {k_{{3}}}^{4}-2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{2}}}^{2}+2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}+{k_{{2}}}^{4}+2\,{k_{{2}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{}+{k_{{1}}}^{4} \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2} \right) s}} \right) +1/4\,{\it \_C1}\, \left( -2\,{\it sqrt} \left( {k_{{3}}}^{4}-2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{2}}}^{2}+2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}+{k_{{2}}}^{4}+2\,{k_{{2}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{}+{k_{{1}}}^{4} \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2} \right) \\
\mbox{}{e^{-1/2\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left( {k_{{3}}}^{4}-2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{2}}}^{2}+2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}+{k_{{2}}}^{4}+2\,{k_{{2}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{}+{k_{{1}}}^{4} \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2} \right) s}}+1/4\,{\it \_C2}\, \left( -2\,{\it sqrt} \left( {k_{{3}}}^{4}-2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{2}}}^{2}+2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}+{k_{{2}}}^{4}+2\,{k_{{2}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{}+{k_{{1}}}^{4} \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2} \right) {e^{1/2\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left( {k_{{3}}}^{4}-2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{2}}}^{2}+2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}+{k_{{2}}}^{4}+2\,{k_{{2}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{}+{k_{{1}}}^{4} \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2} \right) s}}\\
\mbox{}+1/4\,{\it \_C3}\, \left( 2\,{\it sqrt} \left( {k_{{3}}}^{4}-2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{2}}}^{2}+2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}+{k_{{2}}}^{4}+2\,{k_{{2}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{}+{k_{{1}}}^{4} \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2} \right) \\
\mbox{}{e^{-1/2\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left( {k_{{3}}}^{4}-2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{2}}}^{2}+2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}+{k_{{2}}}^{4}+2\,{k_{{2}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{}+{k_{{1}}}^{4} \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2} \right) s}}+1/4\,{\it \_C4}\, \left( 2\,{\it sqrt} \left( {k_{{3}}}^{4}-2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{2}}}^{2}+2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}+{k_{{2}}}^{4}+2\,{k_{{2}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{}+{k_{{1}}}^{4} \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2} \right) \\
\mbox{}{e^{1/2\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left( {k_{{3}}}^{4}-2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{2}}}^{2}+2\,{k_{{3}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}+{k_{{2}}}^{4}+2\,{k_{{2}}}^{2}{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{}+{k_{{1}}}^{4} \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2} \right) s}}}{k_{{2}}k_{{1}}}},t \left( s \right) =-1/8\,{\frac {4\,{k_{{2}}}^{2}{\it \_C1}\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left(  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{} \right) {e^{-1/2\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left(  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{} \right) s}}\\
\mbox{}-4\,{k_{{2}}}^{2}{\it \_C2}\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left(  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{} \right) {e^{1/2\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left(  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{} \right) s}}+4\,{k_{{2}}}^{2}{\it \_C3}\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left(  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{} \right) {e^{-1/2\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left(  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{} \right) s}}-4\,{k_{{2}}}^{2}{\it \_C4}\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left(  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{} \right) {e^{1/2\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left(  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{} \right) s}}+4\,{k_{{1}}}^{2}{\it \_C1}\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left(  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{} \right) {e^{-1/2\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left(  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{} \right) s}}\\
\mbox{}-4\,{k_{{1}}}^{2}{\it \_C2}\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left(  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{} \right) {e^{1/2\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left(  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{} \right) s}}+4\,{k_{{1}}}^{2}{\it \_C3}\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left(  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{} \right) {e^{-1/2\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left(  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{} \right) s}}\\
\mbox{}-4\,{k_{{1}}}^{2}{\it \_C4}\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left(  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{} \right) {e^{1/2\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left(  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{} \right) s}}+{\it \_C1}\, \left( -2\,{\it sqrt} \left(  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{} \right) ^{3/2}{e^{-1/2\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left(  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{} \right) s}}-{\it \_C2}\, \left( -2\,{\it sqrt} \left(  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{} \right) ^{3/2}{e^{1/2\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left(  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{} \right) s}}+{\it \_C3}\, \left( 2\,{\it sqrt} \left(  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{} \right) ^{3/2}{e^{-1/2\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left(  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{} \right) s}}\\
\mbox{}-{\it \_C4}\, \left( 2\,{\it sqrt} \left(  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{} \right) ^{3/2}{e^{1/2\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left(  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{} \right) s}}}{k_{{2}}k_{{3}}k_{{1}}}},x \left( s \right) ={\it \_C1}\,{e^{-1/2\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left(  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{} \right) s}}\\
\mbox{}+{\it \_C2}\,{e^{1/2\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left(  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{} \right) s}}+{\it \_C3}\,{e^{-1/2\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left(  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{} \right) s}}+{\it \_C4}\,{e^{1/2\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left(  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{} \right) s}},y \left( s \right) =-1/2\,{\frac {{\it \_C1}\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left(  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{} \right) {e^{-1/2\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left(  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{} \right) s}}-{\it \_C2}\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left(  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{} \right) {e^{1/2\,{\it sqrt} \left( -2\,{\it sqrt} \left(  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{} \right) s}}+{\it \_C3}\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left(  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{} \right) {e^{-1/2\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left(  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{} \right) s}}\\
\mbox{}-{\it \_C4}\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left(  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{} \right) {e^{1/2\,{\it sqrt} \left( 2\,{\it sqrt} \left(  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}+2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \left( {k_{{2}}}^{2}+{k_{{1}}}^{2}-2\,k_{{3}}k_{{2}}+{k_{{3}}}^{2} \right)  \right) +2\,{k_{{3}}}^{2}-2\,{k_{{2}}}^{2}-2\,{k_{{1}}}^{2}\\
\mbox{} \right) s}}}{k_{{1}}}} \right\} \]}
$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 68 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group