Бесконечность простых чисел типа n^2+1

[vorvalm]

Теорема. Число простых чисел типа $n^2+1$ бесконечно.
Доказательство. Будем рассматривать указанное число в виде разности $d=p_t-1=n^2$ в ПСВ по модулю $M=\prod_1^r p_r$, когда первая половина последовательных вычетов меньше модуля, а вторая - больше модуля. В такой ПСВ в центре образуется диапазон простых чисел: $-p^2_{r+1},..-p_t,..-p_s,..-1 (M)+1,..+p_s,..+p_t,.. +p^2_{r+1}$
Допустим, что в этом диапазоне нет разностей $p_t-1=n^2<p^2_{r+1}$, но они есть среди вычетов ПСВ. Число любых четных разностей в ПСВ определяется по формуле $Nd=A_2\varphi_2(M)$ где $A_2=\prod_3^p\frac{p-1}{p-2}, p\mid d$ (тема "Беконечность простых чисел-близнецов" ,теоремы 1, 2, 3, 4).
Из двух таких разностей $a-1=n^2$ (а - вычет ПСВ) составим группу вычетов D[4] c общей разностью 2а (определение 1 в теме "Бесконечность...близнецов").
Это группа $D[4]=(0, a-1, a+1, 2a)=(0, n^2, n^2+2, 2(n^2+1))$.
В диапазоне простых чисел эта группа будет выглядеть так:

$-p^2_{r+1},....-a,....-p_s,....-1 (M) +1,....+p_s,....+a,....+p^2_{r+1}$

Вычету а нет места среди простых чисел, но если мы докажем, что такие группы существуют в ПСВ, то вычет а будет простым числом.
Проходимость этой группы необходимо проверить только по модулю $p=3$, $K(3)=3+m(3)-4$.(определения 4, 5; теорема 5 , там же)
Находим модули сравнений разностей этой группы. Вычисления опускаем.
Сводная таблица модулей. Числитель - модули, знаменатель - их число.
$\frac{a-1} 2;\frac{a+1} 2; \frac{2a} 1;\frac 2 1$. или $\frac{n^2} 2;\frac{n^2+2} 2;\frac{2(n^2+1)} 1;\frac 2 1$.
Если $3\mid n^2$, то $m(3)=2,K(3)=1$.
Если$(3,n^2)=1$, то $3\mid(n^2+2),m(3)=2,K(3)=1$.
Модуль $2(n^2+1)$ удвоенный вычет ПСВ взаимно простой с модулем М, $K(p)=1$.
При модуле $p=2$ для любой группы $K(p)=1$.
Числа $n^2,n^2+1,n^2+2$ - взаимно простые, кроме $(n^2,n^2+2)=2$.
Таким образом, группа проходит в ПСВ по любому модулю.
Число этих групп равно $A_4\varphi_4(M)$. (теорема 5 , там же) Нам важно знать, какое это число - четное или нечетное. Сама функция $\varphi_4(M)$ - нечетная.
Коэффициент $A_4=K(p)/\varphi_4(p)$. Знаменатель $\varphi_4(p)$ -нечетный. Числитель $K(p)$ - нечетный при четных $m(p)$ и $n$.
В нашем случае $m(3)=2,n=4$.
Следовательно, число указанных групп нечетное. Одна группа находится в центре ПСВ, т.е. среди простых чисел.
Вычет $a$ является простым числом $p_t$.
В выборе модуля мы не ограничены и при любом достатачно большом модуле в интервале простых чисел есть числа типа $n^2+1$.

[vorvalm]

Пояснения к теореме "Бесконечность простых чисел типа $n^2+1$. Доказательство данной теоремы ничем не отличается от доказательства проблемы Гольдбаха в теме " О проблеме Гольдбаха". Вместо сумм $p_t+p_s$ и $n^2+1$ рассматриваются соответствующие разности между вычетами ПСВ, которые должны быть в диапазоне простых чисел ПСВ. Для этого мы используем функции Эйлера 2-го порядка $\varphi_2(M)$ и 4-го порядка $\varphi_4(M)$. Они описаны в теме " Бесконечность простых чисел-близнецов" в определениях 1, 2, 3 и в теоремах 1, 2, 3, 4, 5.
Функция $K(p)$ -проходимость групп вычетов по модулю р описана в определениях 4, 5 и теореме 5 там же.

[Sonic86]

vorvalm в сообщении #474100 писал(а):

по модулю (1,5-0,5)М.

В смысле по модулю $M$? $1,5-0,5 = 1$.

vorvalm в сообщении #474100 писал(а):

диапазоне простых чисел

Что это такое? Множество простых чисел $\{ 2;3;5;7;11;...\}$?

vorvalm в сообщении #474100 писал(а):

в диапазоне простых чисел Dp нет разностей $p_t-1=n^2<p^2_{r+1}$

Т.е. мы говорим, что число является разностью? Хорошо. Но тогда здесь:

vorvalm в сообщении #474100 писал(а):

Среди этих разностей находим две неперекрывающие друг друга разности

Что такое перекрывающие друг друга разности? Т.е. существуют числа, которые перекрывают друг друга?

vorvalm в сообщении #474100 писал(а):

$A_2\varphi_2(M)$.

Что такое $A_2$, $\varphi _2(M)$?

vorvalm в сообщении #474100 писал(а):

Проходимость этой группы

Что такое "проходимость"? Под группой, видимо, следует понимать множество или последовательность, но не алгебраическую структуру.

Чую, здесь опять отождествляются пары чисел $(a,b)$ с их отрезком $[a,b] \cap \mathbb{N}$ и с его длиной $b-a$. Если это так - необходимо во всем тексте выполнить растождествления, иначе невозможно читать - ничего не понятно.
Я даже подробнее объясню, чтоб точно было понятно: пусть есть множество $M$. $|M|$ - его мощность. Далее, мы можем писать $a \in M, \{ 1;2;3\} \cap M \neq \varnothing$ и т.п. - здесь множество используемых отношений, допустим, $R_1 = \{\in, \subset, \subseteq, = \}$. Мы также можем писать $|M|=1, |M|>2, 2^{|M|} \leqslant 8$ и т.п. - здесь множество используемых отношений, допустим, $R_2 = \{<,>,= \}$. Мы видим, что $R_1 \cap R_2 = \{ =\}$ - почти что пустое множество, но соотношения $M = A$ и $|M|=b$ мы легко можем различить, если знаем, что $A$ - множество, а $b$ - число. Таким образом, мы можем в тексте не различать $M$ и $|M|$ и писать $M=2, M<3, 2^M \leqslant 8, |M| \subset \{ 2;3;4\}, r \in |M|$ и т.п. - по отношению или 2-му члену соотношения мы всегда сможем определить, что имелось ввиду - $M$ или $|M|$. Однако это - особенность естественного языка, а не математического. Поэтому следует строго различать все понятия такого рода, иначе написанный текст математическим не является. Т.е. чисто теоретически я могу восстановить исходный текст, но делать этого не буду, поскольку Вы должны сами это сделать, а излагать столь криво - значит проявлять неуважение, в конце концов.

[vorvalm]

Sonic86
Я вижу, что вы активно участвуете в различных разделах форума и довольно успешно.
Но в данном случае эта тема относилась к участникам форума, которые следят за моими сообщениями и знакомы с теоретическими основами распределения вычетов ПСВ, изложенными в теме " Бесконечность простых чисел-близнецов ".
Конечно, я должен был в начале этой темы сказать об этом, но научен горьким опытом предыдущих сообщений. Как-то, начиная новую тему, я с самого начала отослал читателей к теме о близнецах, но модераторам показалось, что я пытаюсь открыть тему, близкую к близнецам и объединили эти темы, хотя ничего общего в них нет, кроме общих теоретических основ.
Если вы действительо хотите разобраться в моих сообщениях, то надо внимательно ознакомиться с темой " Бесконечность простых чисел- близнецов " и все ваши вопросы разом снимутся.
С уважением vorvalm.

[Sonic86]

Вообще-то, "растождествление" к изложенным ранее концепциям не относится. Так, что требование нормального изложения остается в силе.

[vorvalm]

В теме " Бесконечность простых чисел-близнецов " 7 постов. Из них 6 посвящены теоретическим основам, где даны все определения, о которых вы задаете вопросы, а теорема о " близнецах "занимает столько же места, что и данная тема. Вас никто не неволит, но переписывать 6 постов мне никто не позволит.

[Sonic86]

vorvalm в сообщении #474100 писал(а):

модулю (1,5-0,5)М.

Здесь нужно писать $M$, поскольку $1,5-0,5=1$ независимо от изложенных кем-то где-то концепций, правильно?

[vorvalm]

Sonic86
Еще раз повторяю, что если вы хотите предметно оппонировать моим сообщениям, то внимательно ознакомтесь с моей темой " Бесконечность простых чисел-близнецов".
Что касается (1,5-0,5)М, то здесь надо понимать не 1,5 - 0,5 = 1, а 1,5М - 0,5М. Это не арифметика.
Здесь речь идет о ПСВ по модулю 1,5М и 0,5М.
Пример. ПСВ по модулю М=30: 1, 7, 11,13, 17,19, 23, 29.
ПСВ по модулю 1,5М: 1, 7, 11,13, 17,19, 23, 29,31, 37, 41,43.
ПСВ по модулю 0,5М: 1, 7, 11,13.
ПСВ по модулю (1,5-0,5)М: 17,19, 23, 29,31, 37, 41,43. Для чего это надо? Чтобы получить диапазон простых чисел Dp. Вычтем модуль М=30 из всех вычетов последней ПСВ.
Получим: -13,-11, -7, -1, +1, +7, +11,+13. Так будет в любой ПСВ в пределах интервала простых чисел.

[Sonic86]

vorvalm в сообщении #474433 писал(а):

Sonic86
Еще раз повторяю, что если вы хотите предметно оппонировать моим сообщениям, то внимательно ознакомтесь с моей темой " Бесконечность простых чисел-близнецов".
Что касается (1,5-0,5)М, то здесь надо понимать не 1,5 - 0,5 = 1, а 1,5М - 0,5М. Это не арифметика.
Здесь речь идет о ПСВ по модулю 1,5М и 0,5М.
Пример. ПСВ по модулю М=30: 1, 7, 11,13, 17,19, 23, 29.
ПСВ по модулю 1,5М: 1, 7, 11,13, 17,19, 23, 29,31, 37, 41,43.
ПСВ по модулю 0,5М: 1, 7, 11,13.
ПСВ по модулю (1,5-0,5)М: 17,19, 23, 29,31, 37, 41,43. Для чего это надо? Чтобы получить диапазон простых чисел Dp. Вычтем модуль М=30 из всех вычетов последней ПСВ.
Получим: -13,-11, -7, -1, +1, +7, +11,+13. Так будет в любой ПСВ в пределах интервала простых чисел.

Ну! Так и есть! У Вас неправильные обозначения, хотя текст может оказаться вполне осмысленным.
Нельзя использовать знак "$-$" не в смысле знак "минус", нельзя вообще, следует вводить еще не использовавшееся обозначение Если Вы хотите как-то обозначить, то, что Вы называете "ПСВ по модулю (1,5-0,5)М", то это можно обозначить $\text{ПСВ}(\frac{3}{2}M, \frac{1}{2}M)$ и все проблемы с обозначением сразу исчезают (обратите внимание, что это не число уже, а множество, являющееся значение функции от 2-х переменных). Только это Вы должны сделать, а не я, как и почему, я уже написал выше. Иначе - это не считается. Я их разбирать не буду.

[Коровьев]

Sonic86 в сообщении #474409 писал(а):

Еще раз повторяю, что если вы хотите предметно оппонировать моим сообщениям, то внимательно ознакомтесь с моей темой " Бесконечность простых чисел-близнецов".

vorvalm,попробуйте отправить док-во в научный журнал со ссылкой, что все основные положения и определения находятся в теме "***" форума dxdy. А тему, мол, ищите по поиску. Про Прахара не забудьте, чтоб не возникали.
Посему предлагаю, тему в Карантин, пока автор не приведёт доказательство к читабельному нормальными участниками.

[vorvalm]

Sonic86
А кто вам сказал, что в выражении (1,5-0,5)М есть знак "минус"? Здесь нет никакого арифметического действия. Это "дефис".
И уж позвольте мне, как автору, самому решать, как обозначать те или иные выражения.

Коровин
Я вашу шутку понял. Спасибо.

[vorvalm]

Sonic86
Выражение (1,5-0,5)М может восприниматься только в контексте с приведенными системами вычетов (ПСВ) как условное обозначение ПСВ по модулю М, в которой все вычеты сдвинуты на величину 0,5М в сторону увеличения, т.е.надо увеличить все вычеты от 1 до 0,5М на величину М и отбросить вычеты от 1 до 0,5М. При этом число вычетов не изменяется, но изменяется их расположение относительно центра ПСВ.
Кстати, если разбирать это выражение " по косточкам ", то и предложенное вами обозначение 3/2M, 1/2M так же уязвимо, т.к. ПСВ по модулю 45 и 15 некакого отношения к ПСВ по модулю 30 не имеют.

[vorvalm]

Sonic86
Попытаюсь кратко ответить на ваши вопросы.
Я рассматриваю приведенные системы вычетов (ПСВ) по модулю $M=\prod_1^r p_r$.
По опеделению все вычеты ПСВ взаимно простые с модулем и взаимно несравнимые по модулю.
Основной ПСВ считается та, у которой все вычеты меньше модуля. Но я рассматриваю ПСВ по модулю М, когда первая половина вычетов меньше модуля М, а вторая больше модуля и я ничего лучшего не придумал, как назвать ее " ПСВ по модулю (1,5-0,5)М.
Центром такой ПСВ является число М. Если вычесть из всех вычетов число М, то получим левую отрицательную половину ПСВ и правую - положительную.
В центре такой ПСВ образуется диапазон простых чисел Dp от $-p^2_{r+1}$ до $+p^2_{r+1}$.
Если мы будем брать разности между вычетами, расположенными по разные стороны от М, то эта разность будет равна сумме вычетов правой и левой половин ПСВ, а если брать разность с одной стороны от М, то она и будет этой разностью.
Под словом "разность" я понимаю разность между двумя любыми вычетами ПСВ, не обязательно соседними.
Разности в ПСВ могут перекрывать друг друга. Это когда между вычетами одной разности есть вычеты других разностей. Например, в ПСВ по модулю М=30 разности 7--13, 11--17, 13--19 перекрывают друг друга. Все это довольно просто. А дальше дело техники.
С уважением vorvalm.

[Sonic86]

vorvalm, Вы уклоняетесь от формулировки доказательства в общепринятых или хотя бы корректных терминах, доступных всем. Вы понимаете, что доказательство - это не бла-бла-бла, - это должно быть доказательство, все должно быть четко и ясно сформулировано и видны все логические выводы. У Вас такого нет. Я могу, конечно, разобраться, но только если мне совсем будет нечего делать - все равно у Вас метод - решето Эратосфена, а решетом ничего не получишь.
Кроме того, Вы нарушаете пункт 3.1 правил topic3476.html :

правила форума писал(а):

... В математических разделах все понятия и обозначения должны быть точно определены, все утверждения должны быть четко и однозначно сформулированы и строго доказаны. ... Незнание автором темы критериев, отличающих научно строгие формулировки от нестрогих, не является основанием для исключительного отношения к теме.

[AKM]

Опираясь на мнения заслуженных участников форума, отправляю тему в карантин.