почему тему закрыли?

[Someone]

Padawan в сообщении #480146 писал(а):

А распишите, если не трудно. Я тоже не могу увидеть связи между утверждениями об алгебраической размерности, и утверждением, где существенна полнота пространства.

Ответил вот здесь: http://dxdy.ru/topic48871.html.

Oleg Zubelevich, Вы не могли бы там же изложить своё доказательство?

[Padawan]

Someone в сообщении #480423 писал(а):

Во-вторых, будут аналогичные трудности с доказательством линейной независимости векторов $\vec b_a$. Может быть, эти трудности и удастся преодолеть, ограничив возможные значения $a$ интервалом $0<a<\frac 12$ и, если потребуется, подобрав последовательность $\vec e_1,\vec e_2,\ldots,\vec e_k,\ldots$ ($\|\vec e_k\|=1$ с какими-нибудь специальными свойствами, но возиться с этим уже не хочется, поскольку получается явно очень длинно.

Вот-вот, я тоже обо всём этом подумал. А всё потому, что это разные категории, и там нужно использовать совершенно разные методы.

Someone в сообщении #480423 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #456768 писал(а):

Someone
Утверждение действительно доказывается в одну строчку. Но по ссылкам я вижу какие-то общие рассуждения, которые не используют полноту пространства, ну или там надо долго лазить, чтобы что-то вычленить. На всякий случай: утверждение неверно, вообще говоря, в бесконечномерных нормированных пространствах.

Кроме того, можно так: доказать, что в любом (бесконечномерном) пространстве Фреше базис Гамеля несчетен. Такой постановки по ссылкам точно нет. Все это можно было бы обсуждать в той ветке, если бы модератор не хамил.

Oleg Zubelevich в сообщении #456808 писал(а):

Я думаю, что Ваши несколько строчек опираются на довольно специфичные рассуждения из теории множеств. А у меня есть прямое решение, которое понятно любому, кто открывал учебник по функциональному анализу+ немного сообразительности.

Очень короткое доказательство основано на теореме Бэра, которую должен знать каждый, начавший изучать функциональный анализ (А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. "Наука", Москва, 1972. Глава II, § 3, пункт 3).

Предположим, что в бесконечномерном пространстве $L$ (Фреше или банаховом) имеется счётный базис Гамеля $\vec a_1,\vec a_2,\ldots,\vec a_k,\ldots$. Для $k\in\mathbb N$ обозначим $L_k$ линейную оболочку векторов $\vec a_1,\vec a_2,\ldots,\vec a_k$. Тогда $L=\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}L_k$. С другой стороны, каждое $L_k$ нигде не плотно в $L$, и по теореме Бэра такое равенство невозможно. Противоречие. \qed

Но мне стало интересно, какое доказательство имел в виду Oleg Zubelevich.

Да 100% это самое. Задача на самом деле стандартная и во многих книжках есть, в том же Колмогорове, Фомине как упражнение вроде присутствует.
А модератор всё-таки был не прав.

-- Пн сен 05, 2011 16:25:44 --

Вообще по-моему надо уточнить, что можно размещать в "Олимпиадные задачи". Часто бывает, что хочется поделится задачкой пусть простой, но привлекшей ваше внимание; хочется посмотреть как другие её решать будут. В "Помогите решить разобраться" как то не подходит, так как решение знаешь. А в олимпиадный раздел - самое то.

[Oleg Zubelevich]

Да, я имел в виду теорему Бэра.

[bot]

Padawan в сообщении #480441 писал(а):

А модератор всё-таки был не прав.

Нет, модератор прав всегда - даже если он вдруг окажется неправ. В противном случае надлежащего порядка на форуме не будет никогда.

[Durmstrang]

Цитата:

Нет, модератор прав всегда - даже если он вдруг окажется неправ. В противном случае надлежащего порядка на форуме не будет никогда.

неважно, что мы убьем тыщу невинных, главное , что среди них найдется один виновный?

[ewert]

bot в сообщении #480490 писал(а):

Нет, модератор прав всегда - даже если он вдруг окажется неправ. В противном случае надлежащего порядка на форуме не будет никогда.

+1. Да, модератор прав всегда. Если кажется иначе -- то всегда есть возможность слинять. Но до этого чаще всего не доходит (хоть и не буквально всегда, к сожалению, но тут обычно уж не только модераторы виновны, как показывает опыт).