Но по ссылкам я вижу какие-то общие рассуждения, которые не используют полноту пространства, ну или там надо долго лазить, чтобы что-то вычленить.
Вам нужно детально расписанное решение для банахова пространства? Ну, несколько строчек получится.
А распишите, если не трудно. Я тоже не могу увидеть связи между утверждениями об алгебраической размерности, и утверждением, где существенна полнота пространства.
Имеется в виду это?
Вот, кстати, еще одно доказательство того, что

, которое предложил один мой друг. Рассмотрим множество последовательностей вида

для всех ненулевых

. Их континуум и они линейно независимы в силу отличия от нуля определителя Вандермонда. Вот и всё!
Здесь ведь речь идёт, как я понял, не о банаховых пространствах, а о пространстве всех последовательностей и более общих аналогичных пространствах. Никакой метрики или топологии на них не предполагается.
Попытка приспособить это доказательство к бесконечномерным банаховым пространствам наталкивается на некоторые проблемы, которые я не заметил в то время, когда писал свою
реплику. Начало рассуждения могло бы выглядеть так.
Поскольку пространство бесконечномерно, в нём существует бесконечная линейно независимая последовательность единичных векторов

(

для всех

).
Пусть

- любое число, удовлетворяющее условию

. Рассмотрим последовательность векторов

. Пусть

и

. Заметим, что в силу неравенства треугольника

из этого неравенства легко следует, что рассматриваемая последовательность фундаментальна и, следовательно, в силу полноты банахова пространства существует предел этой последовательности

.
Полнота здесь, как видите, используется. Но дальше начинаются проблемы. Во-первых, не исключена возможность, что

. Эту трудность можно обойти, потребовав, чтобы было

, так как в этом случае по тому же неравенству треугольника

и, переходя к пределу при

, получим

откуда и следует, что

.
Во-вторых, будут аналогичные трудности с доказательством линейной независимости векторов

. Может быть, эти трудности и удастся преодолеть, ограничив возможные значения

интервалом

и, если потребуется, подобрав последовательность

(

с какими-нибудь специальными свойствами, но возиться с этим уже не хочется, поскольку получается явно очень длинно.
Someone
Утверждение действительно доказывается в одну строчку. Но по ссылкам я вижу какие-то общие рассуждения, которые не используют полноту пространства, ну или там надо долго лазить, чтобы что-то вычленить. На всякий случай: утверждение неверно, вообще говоря, в бесконечномерных нормированных пространствах.
Кроме того, можно так: доказать, что в любом (бесконечномерном) пространстве Фреше базис Гамеля несчетен. Такой постановки по ссылкам точно нет. Все это можно было бы обсуждать в той ветке, если бы модератор не хамил.
Я думаю, что Ваши несколько строчек опираются на довольно специфичные рассуждения из теории множеств. А у меня есть прямое решение, которое понятно любому, кто открывал учебник по функциональному анализу+ немного сообразительности.
Очень короткое доказательство основано на теореме Бэра, которую должен знать каждый, начавший изучать функциональный анализ (А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. "Наука", Москва, 1972. Глава II, § 3, пункт 3).
Предположим, что в бесконечномерном пространстве

(Фреше или банаховом) имеется счётный базис Гамеля

. Для

обозначим

линейную оболочку векторов

. Тогда

. С другой стороны, каждое

нигде не плотно в

, и по теореме Бэра такое равенство невозможно. Противоречие.

Но мне стало интересно, какое доказательство имел в виду
Oleg Zubelevich.