Помогите доказать 2 утверждения по алгебре

[Anexroid]

Цитата:

А - нормальный операторв метрическом пространстве V и f(x) принадлежит K[x]
Нужно доказать, что ядро Ker f(A) инвариантно относительно А*

Нормальный оператор, насколько я знаю, это оператор, для которого верно A*A = AA*
Ядро - это множество тех векторов, которые оператор обращает в ноль. Только непонятно как это связать для доказательства.

Цитата:

Доказать, что определитель матрицы положительно определенной квадратичной формы не превосходит произведения элементов её главной диагонали.

Критерий Сильвестра нам говорит, что у такой матрицы все главные миноры - положительны. Опять же, непонятно как это привязать к определителю и т.д.

Заранее спасибо за ответы всем откликнувшимся.

[мат-ламер]

По первой задаче. Для начала рассмотрите случай $f(A)=A$. Далее по индукции. Всё сводится к перестановкам оператора $A$ и его сопряжённого.

[Anexroid]

т.е
База индукции $f(A) = A$. Тогда $Ker f(A) = Ker A = Ker A^*$
А разве это следует из того, что $AA^* = A^*A$ ?

[мат-ламер]

Допустим, $f(A)=A$. Тогда нам надо доказать, что из $Ax=0$ следует $AA^*x=0$. Может индукция - не то слово. Высшие степени рассмотрите аналогично.

[nnosipov]

Anexroid в сообщении #449977 писал(а):

Цитата:

Доказать, что определитель матрицы положительно определенной квадратичной формы не превосходит произведения элементов её главной диагонали.

Это почти очевидное утверждение, если взглянуть на него геометрически.

[Anexroid]

мат-ламер в сообщении #450191 писал(а):

Допустим, $f(A)=A$. Тогда нам надо доказать, что из $Ax=0$ следует $AA^*x=0$. Может индукция - не то слово. Высшие степени рассмотрите аналогично.

И как это доказать? Просто я решать могу, а вот с доказательствами чего-либо у меня всё сложно((

nnosipov в сообщении #450215 писал(а):

Anexroid в сообщении #449977 писал(а):

Это почти очевидное утверждение, если взглянуть на него геометрически.

Ну, матрицу квадратичной формы можно записать в виде уравнения поверхности второго порядка. И?..



Еще в ту же тему:

Цитата:

Пусть $V$ - пространство эрмитовых матриц порядка 2 над полем $R$ с нулевым следом и $(A, B) = tr AB (A, B \in V)$

Доказать, что оператор, определенный правилом $X \mapsto AX^t\overline{A} (X \in V)$ где $A$ - унитарная матрица, является ортогональным.

[nnosipov]

Anexroid в сообщении #450236 писал(а):

Ну, матрицу квадратичной формы можно записать в виде уравнения поверхности второго порядка. И?..

Матрицу записать в виде уравнения поверхности?! Это как?? Если Вы такое выдадите на зачёте или экзамене ... Аккуратнее надо со словами обращаться, они смысл имеют.

А я имел в виду совершенно простую вещь, понятную даже на бытовом уровне. Но для этого Вам нужно сначала понять, в чём геометрический смысл определителя матрицы положительно определённой квадратичной формы.

[Anexroid]

Цитата:

геометрический смысл определителя матрицы положительно определённой квадратичной формы.

Ну, вообще, геометрический смысл определителя матрицы - объём многомерного параллелепипеда, построеного на векторах-столбцах матрицы.

А вот определитель именно положительно определенной квадратичной формы...

[nnosipov]

Anexroid в сообщении #450252 писал(а):

Цитата:

геометрический смысл определителя матрицы положительно определённой квадратичной формы.

Ну, вообще, геометрический смысл определителя матрицы - объём многомерного параллелепипеда, построеного на векторах-столбцах матрицы.

А вот определитель именно положительно определенной квадратичной формы...

Это квадрат объёма некоторого параллелепипеда. Он (параллелепипед) порождается такими векторами $a_i$, что $a_{ij}=(a_i,a_j)$, где $a_{ij}$ --- элементы матрицы квадратичной формы. Подумайте, почему такие векторы существуют и как их найти.

[Anexroid]

Не понял вас.
То есть такими векторами $a_1...a_n$, что $a_{ij} = (a_i, a_j)$, где $i,j \in 1..n$ ?

[nnosipov]

Да-да, здесь $(a_i,a_j)$ --- обычное скалярное произведение $n$-мерных арифметических векторов $a_i$ и $a_j$. После того, как это будет понято, останутся сущие пустяки (любая домохозяйка сообразит).

[ewert]

Anexroid в сообщении #450236 писал(а):

Пусть $V$ - пространство эрмитовых матриц порядка 2 над полем $R$ с нулевым следом и $(A, B) = tr AB (A, B \in V)$

Доказать, что оператор, определенный правилом $X \mapsto AX^t\overline{A} (X \in V)$ где $A$ - унитарная матрица, является ортогональным.

Что такое $\overline A$?

[ewert]

Anexroid в сообщении #449977 писал(а):

Нормальный оператор, насколько я знаю, это оператор, для которого верно A*A = AA*

Да. И если $N$ -- это ядро, то из $AN=\{0\}$ и, следовательно, $A^*AN=\{0\}$ получается $AA^*N=\{0\}\ \Rightarrow\ A^*N\subset N\,.$.

[Anexroid]

ewert в сообщении #450333 писал(а):

Anexroid в сообщении #449977 писал(а):

Нормальный оператор, насколько я знаю, это оператор, для которого верно A*A = AA*

Да. И если $N$ -- это ядро, то из $AN=\{0\}$ и, следовательно, $A^*AN=\{0\}$ получается $AA^*N=\{0\}\ \Rightarrow\ A^*N\subset N\,.$.

Преподаватель сегодня сказал следующее:
Нельзя $f(A)$ обозначать за $A$.
Обозначим $f(A) = B$
Тогда нужно доказать, что из $x \in KerB$ следует $A^*x \in KerB$

-- Чт май 26, 2011 16:29:35 --

Цитата:

Что такое $\overline A$?

Если бы я знал. В задачнике так написано, в условных обозначениях не нашел (Сборник задач по алгебре, Кострикин А.И, 2001)

-- Чт май 26, 2011 16:38:37 --

nnosipov в сообщении #450303 писал(а):

Да-да, здесь $(a_i,a_j)$ --- обычное скалярное произведение $n$-мерных арифметических векторов $a_i$ и $a_j$. После того, как это будет понято, останутся сущие пустяки (любая домохозяйка сообразит).

Ну, вообще, скалярное произведение характеризует длины векторов-сомножителей и угол между ними
Тогда максимальный объём параллелепипеда на векторах заданной длины будет при $\alpha = 90^o$ (то есть когда параллелепипед прямоугольный)
Соответственно, квадрат максимального объёма - будет максимальным определителем матрицы квадратичной формы.

Верно?

[nnosipov]

Anexroid в сообщении #450354 писал(а):

Ну, вообще, скалярное произведение характеризует длины векторов-сомножителей и угол между ними
Тогда максимальный объём параллелепипеда на векторах заданной длины будет при $\alpha = 90^o$ (то есть когда параллелепипед прямоугольный)
Соответственно, квадрат максимального объёма - будет максимальным определителем матрицы квадратичной формы.

Верно?

В целом, да. Но лучше было бы просто сказать: объём параллелепипеда не превосходит произведения длин его рёбер. Да, и не забудьте про то, о чём я выше уже писал: нужно ещё доказать существование этого самого параллелепипеда (т.е. тех самых векторов $a_i$, для которых ...).