Помогите доказать 2 утверждения по алгебре

[Anexroid]

Думаю, лучше вынес в отдельные темы. А эту можно закрыть.

[мат-ламер]

Anexroid в сообщении #451603 писал(а):

В итоге, по первой задаче, получилось:

-- исправлено --
$f(A) \in K[A]$, где $K[A]$ - кольцо матричных многочленов действующих на $V$.
Тогда условие $A \in Ker f$ означает, что $f(A)V=0$
Далее, оператор $A$ - нормальный, т.е. $AA^*=A^*A$ и $A^*V \subset V$. Поэтому $A^*f(A)V \subset f(A)V$. Следовательно условие $f(A)V=0$ влечет равенство $A^*f(A)V=0$ или, что эквивалентно, $A^*Ker f \subseteq Ker f$, что и требовалось доказать

Вроде все верно, если есть какие то ошибки и неточности, или что-то в докзательстве неочевидно - прошу сообщить.

Не знаю, который из смайликов означает - "Я в недоумении чешу репу". Anexroid. Мне просто интересно, что Ваш преподаватель сказал насчёт этого доказательства?
Вам надо доказать, что из $f(A)x=0$ следует, что $f(A)A^*x=0$, где $f(A)$ - матричный полином от $A$. Второе равенство выполняется в силу того, что $A^*$ коммутирует с любой степенью $A$.

[мат-ламер]

Насчёт второй задачи. Вашего доказательства я не читал, но рискну предложить попроще. Возьмём произвольное линейное $n$-мерное пространство и какой-либо базис $e_1,...,e_n$ в нём. Далее введём в этом пространстве скалярное произведение, исходя из того $(e_i,e_j)=a_{ij}$, где $a_{ij}$ - элементы нашей матрицы. Тем самым наша матрица становится матрицей Грама некоторой системы векторов. Тем самым задача получает геометрическое содержание - объём параллепипеда не больше произведения длин его рёбер. Последнее доказывается по индукции. Смысл каждого шага индукции в том, что конец перпендикуляра к подпространству, больше удалён от подпространства, чем конец любого другого отрезка той же длины и с той же начальной точкой.

[lek]

мат-ламер, по сути вы правы. Решение задачи 1 действительно дается в одну строчку (если не короче , см. сообщение ewert). Что касается предложенного вами решения задачи 2, то оно также подробно обсуждалось. Однако пришлось принять во внимание уровень математической подготовки топик-стартера.

[nnosipov]

мат-ламер в сообщении #452063 писал(а):

Тем самым задача получает геометрическое содержание - объём параллепипеда не больше произведения длин его рёбер.

Всё верно, только геометрия получается не совсем привычная. Попробуйте-ка теперь объяснить домохозяйке, чему теперь равен объём стандартного (в её понимании) бульонного кубика.

[Anexroid]

мат-ламер в сообщении #452028 писал(а):

Anexroid в сообщении #451603 писал(а):

В итоге, по первой задаче, получилось:

-- исправлено --
$f(A) \in K[A]$, где $K[A]$ - кольцо матричных многочленов действующих на $V$.
Тогда условие $A \in Ker f$ означает, что $f(A)V=0$
Далее, оператор $A$ - нормальный, т.е. $AA^*=A^*A$ и $A^*V \subset V$. Поэтому $A^*f(A)V \subset f(A)V$. Следовательно условие $f(A)V=0$ влечет равенство $A^*f(A)V=0$ или, что эквивалентно, $A^*Ker f \subseteq Ker f$, что и требовалось доказать

Вроде все верно, если есть какие то ошибки и неточности, или что-то в докзательстве неочевидно - прошу сообщить.

Не знаю, который из смайликов означает - "Я в недоумении чешу репу". Anexroid. Мне просто интересно, что Ваш преподаватель сказал насчёт этого доказательства?
Вам надо доказать, что из $f(A)x=0$ следует, что $f(A)A^*x=0$, где $f(A)$ - матричный полином от $A$. Второе равенство выполняется в силу того, что $A^*$ коммутирует с любой степенью $A$.

т.е $A^*A = AA^*$, $A^2A^* = A^*A^2$ ... $A^nA^* = A^*A^n$

А как доказать инвариантность в таком случае, я все равно понять не могу.

[Anexroid]

Просто у меня всё дело осложняется тем, что в нашем курсе лекций не было функций от матриц, поэтому я механизм работы с ними не совсем представляю.

[мат-ламер]

Anexroid. Для начала сформулируйте условие задачи так, что-бы в нём не встречались непонятные слова типа "ядро" и "инвариантно".

[Anexroid]

ewert в сообщении #450\903 писал(а):

Ну, если и впрямь кольцо (а говоря по-сермяжному -- попросту многочлен от матрицы и всё), то

ewert в сообщении #450333 писал(а):

если $N$ -- это ядро, то из $AN=\{0\}$ и, следовательно, $A^*AN=\{0\}$ получается $AA^*N=\{0\} \Rightarrow A^*N\subset N\,.$

-- вполне годится. Надо всего лишь всюду заменить чистенький $A$ на многочлен от него. То, что сопряжённый оператор коммутирует (в случае нормальности) с любым многочленом от исходного -- можно, конечно, доказывать и по индукции. Но гораздо проще сослаться на то, что это очевидно. Ибо это -- вещь в себе, независимо от данной задачки.
.

То есть получается так?
из $A Ker f(A) = \{0\}$ и $A^*AKer f(A) = \{0\}$ получается $AA^*Ker f(A) = \{0\} \Rightarrow A^*Ker f(A) \subset f(A)$

Цитата:

Но гораздо проще сослаться на то, что это очевидно. Ибо это -- вещь в себе, независимо от данной задачки.

Не прокатило. Препод сказал "А докажите почему?"

Далее, он спросил почему $A^*AKer f(A) = {0}$
И последнее $\Rightarrow\ A^*Ker f(A) \subset Ker f(A)$ ему тоже не понравилось.

По поводу второй задачи, сначала попытался объяснить ему через матрицу Грама. Он спросил: А почему существует такой базис $e_1 ... e_n$ такой, что $(e_i, e_j) = a_{ij}$ ?

А док-во по индукции, с формулой, он сказал, что то, что произведение

$$\prod_{1 \ne i \ne j}^{n-2}a'_{ii} $$

положительно не следует из того, что формула положительно определена, вернее следует, но не очевидным образом. А каким?

[мат-ламер]

Anexroid. Доказательство по первой задаче у Вас правильное. В конце опечатка - пропущено $ker$. Это опечатка, потому что далее Вы его употребляете. Я не понял, что там не понравилось преподавателю (и последнее ...). Дело в том, что это то, что требовалось доказать. Что касается второй задачи, то почитайте мой пост от 30 мая. Там решена и проблема существования базиса. Причём тут положительность произведения, я не понял.

[Anexroid]

Проблема существования базиса там не решена, поскольку вы просто пишете "Возьмем базис ... такой, что выполняется $(e_i, e_j) = a_{ij}$

По поводу "и последнее" я имелл ввиду последний переход в док-ве.
Просто лично я не могу понять, почему $AKer f(A) = \{0\}$ и почему в итоге получается, что $A^*Ker f(A)$ тоже подмн-во $Ker f(A)$

[Anexroid]

Всё, вопросы уже не актуальны. Задачи сданы. Всем спасибо за помощь)

[мат-ламер]

Anexroid в сообщении #456677 писал(а):

Проблема существования базиса там не решена, поскольку вы просто пишете "Возьмем базис ... такой, что выполняется $(e_i, e_j) = a_{ij}$

мат-ламер в сообщении #452063 писал(а):

Насчёт второй задачи. Вашего доказательства я не читал, но рискну предложить попроще. Возьмём произвольное линейное $n$-мерное пространство и какой-либо базис $e_1,...,e_n$ в нём. Далее введём в этом пространстве скалярное произведение, исходя из того $(e_i,e_j)=a_{ij}$, где $a_{ij}$ - элементы нашей матрицы. Тем самым наша матрица становится матрицей Грама некоторой системы векторов.