Уважаемый(ая)
ananova, спасибо за интерес к теме.
... Вы просто доказали ...
Я ещё ничего не доказал. А уж тем более просто.
Честно говоря, в первых 4 параграфах необходимости не было, т.е. Вы просто доказали то, что уже было доказано ранее многочисленными авторами в разных книжках.
В таком случае и пятый параграф наверное опубликовывать не стоит. Всем известно, теорема доказана в полном объёме (для всех степеней

), а для

(как и для некоторых других степеней) ещё и разными методами.
Вот, например список математиков(может ещё и не полный) и год, в котором они доказали, что
уравнение

не имеет натуральных решений

,

и

:
Кауслер - 1795/6, опубл. в 1802
Лежандр - 1823, 1830
Кальцолари - 1855
Ламе - 1865
Тейт - 1872
Гюнтер - 1878
Гамбиоли - 1901
Крей - 1909
Рыхлик - 1910
Штокхаус - 1910
Кармайкл - 1915
ван дер Корпут - 1915
Туэ - 1917
Дуарте - 1944
Взято из следующего источника: [П. Рибенбойм. Последняя теорема Ферма для любителей.Перевод с английского. под. редакцией В.Н. Чубарикова, М., 2003г., С.48].
Только почему-то автор не упомянул, как минимум, ещё одного математика - Эйлера.
Перейдём к пятому параграфу. Он, кстати, похож на предыдущий.
§5.(В этом параграфе

,

отличаются от

и

в предыдущих параграфах ).
1. Так как

,

,

- взаимно простые и

, то и

и

не имеют среди своих делителей число три, а значит имеет место быть следующая система, при которой уравнение

разрешимо в целых числах:

2. Без ограничения общности число

- четное число.
Если четно

, то достаточно переименовать

и

, а если четно

, то достаточно переименовать

и

и изменить знаки (ибо

). [М.М.Постников. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. М., 1978 г., С. 31].
3.

- четное

и

- нечетные.
4. Рассмотрим второе уравнение системы §5.п.1:

5.

6.

,

7.


,

8.

,

9.

,

,

10.

11.

12.

13.

14. Рассмотрим число

15. Числа

и

- нечетные, значит число

- нечетное,

- четное.

. Как видим в числителе всегда получается нечетное число, а в знаменателе -четное. Нечетное число на четное нацело никогда не делится, значит

.
16. Значит система §3. п. 28 (

) при любых взаимно простых натуральных

,

,

не имеет решений, а следовательно и система уравнений (§1. п. 1) и равносильное ей уравнение

неразрешимы в натуральных числах.
Можно вместо того, чтобы прибегать к рассмотрению четности членов уравнения

и утверждать, что

- всегда (хотя и без ограничения общности) четное, потом рассмотреть уравнения

и

узнать при каких условиях они разрешимы (естественно в натуральных числах) и прийти к противоречию, потом вернуться к ранее рассмотренному и т.д. и т.п.
пойти другим путем...
В системе уравнений

или

, или

(Понятно, что одновременно они могут быть только в случае, когда

,

. Но эти корни нам не подходят, так как превращают красивое уравнение

в некрасивое неравенство

).
Далее следует рассмотреть одно из них.
Например, рассмотрим

и

Потом повторяем операции аналогично §4 п. 2...17 и (вуаля!) приходим к выводу:"

".
Когда

и

ни о какой взаимной простоте членов уравнения

речь идти не может.
Значит система уравнений

не имеет решений при взаимно простых

,

и

.
Дальше, как по лесенке, подымаемся на третий параграф (Случаи №1 и №2 не возможны (естественно при взаимно простых

,

и

)), а значит и система уравнений

(тут мы уже и на первом параграфе).
Ну, ещё осталось вспомнить, что система уравнений

и уравнение

мало того, что очень похожи, они ещё и равносильны (одновременно (при одних и тех же условиях) разрешимы в натуральных числах (только уравнение

имеет переменные

,

и

, а система уравнений §1. п.1. соответственно

,

и

)) и прийти к такому же выводу: " Уравнение

неразрешимо в натуральных числах ".