§3.1.Решим третье уравнение системы относительно переменной

.

2. Аналогично, как для первого уравнения системы (см. §1), раскроем скобки, введем замену переменной (

), перенесем все слагаемые в одну сторону, получим следующее уравнение.
3.

4.

5.

6.

,

7.

8.

9. Так как

, то получим следующее уравнение:

Пусть

- любое целое число ( Если уравнение справедливо для любого числа

, то оно справедливо и для

)
10. По теореме Ф. Виета:

11. Так как

, то хотя бы один из корней – натуральное число.
Пусть

, тогда

,

,

12. Подставив

, во второе уравнения системы §3 п.10

получим следующее уравнение:

или

13. Если

и

взаимно простые числа, то

,

,

14.

15.

и

не взаимно простые.
16. Допустим

,
тогда


,

,

,

17. Подставив

и

в первое уравнение системы §3 п.10, получим следующее уравнение:

или

или

(значение переменной

никак не влияет на условия решения уравнения §3 п.9 в целых числах).
18.

или

19. Если

20. Если

, то
(Случай

равносилен случаю

).
21. Рассмотрим числа

и

22.

и

23.

24. Рассмотрим

и


25.

26. Третье уравнение системы §1п.1

имеет цело численные решения тогда, когда выполняется одно из условий:

или

.
27. Решив четвертое уравнение системы §1п.1

относительно переменной

, получим следующие условия

или

.
28. Так как все уравнения выполняются одновременно, то получим следующую систему, при которых существуют цело численные корни

,

,

.

29. Числа

,

,

- взаимно простые, значит, возможны два случая решения системы (§3. п.28), а значит и системы уравнений §1. п.1 и уравнения

:
случай №1– ни один из членов

,

,

не делится нацело на 3.
случай №2– один из членов

,

или

делится нацело на 3.
30. Вывод, полученный в параграфе №3.
"Система уравнений §1. п.1 .
имеет цело численные решения

,

,

(а значит и уравнение

решения

,

,

) тогда, когда справедлива следующая система уравнений:

"
p.s.
За что люблю математику, так это вот за это:
Вместо первых трех параграфов можно было записать примерно так.
Участник под именем
r-aax (Молодец! Увидел) указывал в сообщении на это.
Можно написать просто

.
Запишем иначе:



















Как видим, пришли к одному и тому же выводу:
"Уравнение

имеет натуральные решения

,

,

тогда, когда справедлива следующая система уравнений:

"