Как понять что такое предел?

[Joker_vD]

Kallikanzarid в сообщении #444420 писал(а):

Просто взять одноточечную компактификацию числовой прямой религия не позволяет?

А что я, по-вашему, пытаюсь сделать? Давайте-ка еще раз:

1. Ввожу классическое определение конечного предела функции в точке:

$$\lim_{x\to a} f(x) = b \stackrel{def}{\Longleftrightarrow}\forall \varepsilon>0 \exists \delta >0\colon x \in U_\delta(a) \rightarrow f(x) \in U_\varepsilon(b).$$

1. Объявляю некоторые множества "окрестностями бесконечности", что позволяет мне говорить как о пределах на бесконечности, так и о бесконечных пределах, пример:

$$\lim_{x\to -\infty} f(x) = b \stackrel{def}{\Longleftrightarrow}\forall \varepsilon>0 \exists \delta >0\colon x \in U_\delta(-\infty) \rightarrow f(x) \in U_\varepsilon(b),$$

$$\lim_{x\to a} f(x) = +\infty \stackrel{def}{\Longleftrightarrow}\forall \varepsilon>0 \exists \delta >0\colon x \in U_\delta(a) \rightarrow f(x) \in U_\varepsilon(+\infty).$$

Чем это глобально отличается от компактификации числовой прямой?

[Munin]

arseniiv в сообщении #444409 писал(а):

Кстати, а в проективной прямой же тоже одна бесконечность.

Я тормоз. Joker_vD, тоже извиняюсь.

Впрочем, тезис, что плюс и минус бесконечности не нужны, не снимается.

Joker_vD в сообщении #444412 писал(а):

Чтобы унифицировать четыре разных определения предела (в точке и в трех бесконечностях) в одно.

Шестнадцать разных определений: по четыре для аргумента и по четыре для значения. Плюс ещё для последовательностей. Такая прорва никому не нужна.

[Joker_vD]

Munin
Я ведь даже не то пытаюсь доказать, что компактификация числовой прямой вообще ненужна. Я пытаюсь всего лишь показать то, что она не нужна для разумного введения "несобственных" пределов. Даже в тех учебниках матанализа, где прямо вводят $\overline{\mathbb R}$, ее нигде больше не используют, кроме как для введения "несобственных" пределов. Отсюда у меня напрашивается вывод, что она там и не нужна.

[ewert]

Munin в сообщении #444458 писал(а):

Впрочем, тезис, что плюс и минус бесконечности не нужны, не снимается.

А я тоже тормоз, несколько страниц пропустил, перечитывать же лень.

Снимается, разумеется. Топологии с плюс-минусом и отдельно с плюсом и отдельно с минусом -- это, конечно, разные топологии (и в разных пространствах).

[Munin]

Joker_vD в сообщении #444498 писал(а):

Я пытаюсь всего лишь показать то, что она не нужна для разумного введения "несобственных" пределов.

Давайте вы разумно введёте понятие "разумный" :-)

Или давайте говорить о более конкретных методических, педагогических и дидактических преимуществах и недостатках. Вот я один назвал: хорошо бы вместо двадцати разных (однообразных и скучных) определений дать одно. Ну два. Но не двадцать: это сколько же надо к экзамену каждому экзаменатору учить! :-)

-- 11.05.2011 02:12:31 --

ewert в сообщении #444538 писал(а):

Снимается, разумеется. Топологии с плюс-минусом и отдельно с плюсом и отдельно с минусом -- это, конечно, разные топологии (и в разных пространствах).

Конечно, и вообще без бесконечности - тоже. Вопрос в том, что они нафиг не нужны (до курса общей топологии), а для исследования функций, на уровне начал анализа, нужны только одна бесконечность, и стремление с заданной стороны. Причём последнее - вообще очень редко.

[Joker_vD]

Munin в сообщении #444541 писал(а):

Давайте вы разумно введёте понятие "разумный" :-)

У-у-у-у, какой вы бяка :-) Я не такой уж и умный и подкованный в этих вопросах, так что пас.

[Kallikanzarid]

Joker_vD в сообщении #444447 писал(а):

А что я, по-вашему, пытаюсь сделать? Давайте-ка еще раз:

1. Ввожу классическое определение конечного предела функции в точке:

$$\lim_{x\to a} f(x) = b \stackrel{def}{\Longleftrightarrow}\forall \varepsilon>0 \exists \delta >0\colon x \in U_\delta(a) \rightarrow f(x) \in U_\varepsilon(b).$$

1. Объявляю некоторые множества "окрестностями бесконечности", что позволяет мне говорить как о пределах на бесконечности, так и о бесконечных пределах, пример:

$$\lim_{x\to -\infty} f(x) = b \stackrel{def}{\Longleftrightarrow}\forall \varepsilon>0 \exists \delta >0\colon x \in U_\delta(-\infty) \rightarrow f(x) \in U_\varepsilon(b),$$

$$\lim_{x\to a} f(x) = +\infty \stackrel{def}{\Longleftrightarrow}\forall \varepsilon>0 \exists \delta >0\colon x \in U_\delta(a) \rightarrow f(x) \in U_\varepsilon(+\infty).$$

Чем это глобально отличается от компактификации числовой прямой?

Тем, что по сравнению с ней здесь слишком много геммороя

[ewert]

Munin в сообщении #444541 писал(а):

а для исследования функций, на уровне начал анализа, нужны только одна бесконечность, и стремление с заданной стороны.

Это как раз не одна, а две бесконечности. А одна бесконечность нужна в ТФКП, и очень нужна.

Однако и в начальном курсе эти окрестности тоже очень полезны -- чтобы осознать, в чём смысл понятия предела вообще. Но, разумеется, только после того, как все частные случаи уже пощупаны пальчиками. И, естественно, без никакой топологической аксиоматики.

[Joker_vD]

Kallikanzarid в сообщении #444556 писал(а):

Тем, что по сравнению с ней здесь слишком много геммороя

Продемонстрируйте?

[Kallikanzarid]

Joker_vD в сообщении #444649 писал(а):

Продемонстрируйте?

Все определенные вами пределы в одноточечной компактификации $\mathbb{R}$ становятся обычными пределами, пределами слева и справа. Так зачем делать сложно, когда можно легко?

[Munin]

ewert в сообщении #444612 писал(а):

Это как раз не одна, а две бесконечности.

Какие именно две?

Kallikanzarid в сообщении #444662 писал(а):

Все определенные вами пределы в одноточечной компактификации $\mathbb{R}$ становятся обычными пределами, пределами слева и справа.

Вам не кажется, что компактификация подразумевает разрешение функции принимать значение при самом бесконечном значении аргумента, а не только иметь предел?

[Kallikanzarid]

Munin в сообщении #444687 писал(а):

Вам не кажется, что компактификация подразумевает разрешение функции принимать значение при самом бесконечном значении аргумента, а не только иметь предел?

Никто не запрещает рассматривать функции, определенные на $\mathbb{R}$, т.к. $\mathbb{R}$ - подпространство своей одноточечной компактификации :)

[ewert]

Munin в сообщении #444687 писал(а):

Какие именно две?

Munin в сообщении #444541 писал(а):

нужны только одна бесконечность, и стремление с заданной стороны

"С заданной стороны" -- это ровно и означает, что мы рассматриваем именно две бесконечности: одну плюс, другую минус. (понятие одностороннего предела не задаётся только топологией.)

[Joker_vD]

Kallikanzarid
И это вот прыганье между двумя пространствами проще?

[Padawan]

Чтобы имело смысл понятия предела отображения $f\colon X\to Y$, на множестве $Y$ должна быть задана структура топологического пространства, а на множестве $X$ -- одна из (в общем-то эквивалентных) структур: база, фильтр, направление.

Случай, когда $X$ - топологическое пространство, и рассматривается предел $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)$ (предел функции в точке) -- частный случай. База -- база (проколотых) окрестностей точки $x_0$.