Решение школьных задач и примеров

[ximikat]

Над этой задачей я мучался, но графически не смог её решить (не совпадал мой ответ с ответом в учебнике):

Серёжа стал на велосипеде догонять Наташу, идущую пешком, когда между ними было $600$ м, и догнал её через $4$ мин. Найдите скорость, с которой шла Наташа, если её скорость в $4$ раза меньше скорости Серёжи.

Я решал так:
1. $600$ м:$4$ мин=$150$ м/мин - скорость Серёжи
2. $150$ м/мин:$4$=$37.5$ скорость Наташи.
А оказывается ответ то другой!!!
Вопрос - так можно ли эту задачу решить графически или методом размышления, не применяя уравнение.

[Tlalok]

Можно и так, и так. И даже с уравнением.

[ximikat]

Хорошо, как её решить графически и методом рассуждения? Я ж говорю, мучался долго, а всё равно $37.5$ получается.
А если решать её по аналогии с котом и собакой (как Вы писали ранее), то у тех же были известны скорости, а тут скорость Наташи мы узнаём в самом конце задачи.

[Tlalok]

В задаче "о коте и собаке" Вы нашли относительную скорость или скорость сближения, как кому нравиться называть.
Затем расстояние между котом и собакой разделили на эту скорость и получили время встречи.
В этой задаче расстояние известно, время встречи известно. Значит нужно найти скорость сближения.

-- Чт янв 27, 2011 20:26:18 --

В задачах на движение Вы должны знать одну формулу
$s=v \cdot t$ и понимать как из нее можно найти скорость или время при известных двух других величинах.

Графически эту задачу в 5-ом классе рановато.

[ximikat]

Нет, не пойму как это сделать.
Давайте попробуем по этой формуле. Значит площадь (расстояние) нам известно $s=600$ м. скорость нам неизвестна $v (x)$ и время $4$ минуты.
Значит, $v(x)=t/s$ $v(x)$=$4$минуты/$600$метров
Правильно?

[Tlalok]

Что именно не понятно?

[Di081]

(Оффтоп)

Не могу промолчать)) Адская тема))))

[Joker_vD]

Ох, не знаю, тут $x$ прямо-таки просится. Пусть скорость Наташи — $x$ м/мин, тогда скорость Сережи в четыре раза больше, т.е. $4x$ м/мин. Аналогия "кота и собаки": Сережа приближается к Наташе со скоростью $4x - x = 3x$ м/мин. С другой стороны, скорость сближения Сережи и Наташи известна: 600 м были преодолены за 4 минуты, скорость сближения $= 600 / 4 = 150$ м/мин. Однако, мы знаем, что скорость сближения равна $3x$ м/мин, т.е. $3x = 150$, откуда $x = 150 / 3 = 50$ м/мин. А что такое $x$? А, это скорость Наташи... которую и надо было найти.

Проверка: скорость Сережи была равна $4\cdot50=200$ м/мин, он за 4 минуты проехал $200 \cdot 4 = 800$ м. Скорость Наташи была равна 50 м/мин, она за 4 минуты прошла $50 \cdot 4 = 200$ м. Выходит, Сережа проехал на $800 - 200 = 600$ метров больше, чем прошла Наташа — это как раз разделявшие их 600 метров.

Надеюсь, помог. Если же запутал — забудьте про мой пост.

[arseniiv]

Если непонятно, как находить из $s = vt$ скорость и время, то вот что. Поделив равенство на время $t$, получим равенство для скорости $v$. Поделив на неё то же исходное, получим для времени. А $s$ — расстояние.

[ximikat]

arseniiv, ага значит всё таки

Цитата:

Поделив равенство на время $t$, получим равенство для скорости $v$.

Значит делим. $v(x)=s/t$ $v(x)$=$600$метров/$4$минуты $v(x)$=$150$ метров/минуту.
Дальше, используя эту формулу как искать ответ?

Joker_vD
Так оказывается, что 4х-х это мы ищем скорость сближения! Ах, вот он какой...
И затем Серёжину скорость делим на эту скорость сближения $3x$. Вот мне понятно это уравнение теперь полностью, но честно говоря я наверное ещё не всегда помню, что в таких задачах под иксом можно подразумевать скорость сближения. Вот поэтому я ещё остерегаюсь решать задачи методом уравнения, т.к. часто допускаю ошибки, которые выливаются в совершенно другие цифры.

[gris]

Вот Вы уже начали разбираться в задачах. То есть можно усложнять методы. Вот Вы правильно начали применять метод Ахиллеса. Смотрите: Серёжа бежал со скоростью в 4 раза большей Наташи и догнал её. Как это происходило? Он пробежал 600 метров, отделяющих его от первонаяального положения девочки. Но она за это время ушла на 150 метров вперёд. Он пробежал эти 150 метров. Пока он бежал, она ушла вперёд на 32,5 метра. Он пробежал это расстояние. Она ушла вперёд на 8,125 метра. То есть получается... Ну да это уже 7 класс, пардон.
И всё же. Серёжа и Наташа бежали одинаковое время. Его скорость в 4 раза больше, значил он пробежал в 4 раза больше. А она в 4 раза меньше его. Она одну часть, а он четыре. На 3 части больше. Вот эти три части составляют 600 метров. Значит, девочка пробежала одну часть за 4 минуты.
Нет, запутанно. Сложная задача.

[Gortaur]

gris в сообщении #405567 писал(а):

Нет, запутанно. Сложная задача.

Не волнуйтесь, у Вас все получится. Вон, ТС может учебник посоветовать наверняка.
И Зенон (а не Ахилесс, который бегал в то время, как Зенон думал) тут боком только выходит - славный воин все ж таки черепаху не догнал и в этом вся соль.

А насчет запутанности Вы зря. Итак, Сережа едет в 4 раза быстрее Маши. За 4 минуты Маша прошла свой путь, Сережа - в 4 раза больше. Так как они встретились - разница (3 пути Маши) это и есть 600м. То есть Маша прошла 200 м за 4 минуты. Итого 3 км/ч. Что довольно медленно и позволяет сделать вывод что Маше меньше 12 когда начинается быстрый рост. Ч.т.д.

[MrDindows]

ximikat в сообщении #405558 писал(а):

Так оказывается, что 4х-х это мы ищем скорость сближения! Ах, вот он какой...
И затем Серёжину скорость делим на эту скорость сближения $3x$. Вот мне понятно это уравнение теперь полностью, но честно говоря я наверное ещё не всегда помню, что в таких задачах под иксом можно подразумевать скорость сближения. Вот поэтому я ещё остерегаюсь решать задачи методом уравнения, т.к. часто допускаю ошибки, которые выливаются в совершенно другие цифры.

За $x$ всегда (пока-что=)) принимайте именно то, что надо Вам найти. А дальше уже, отталкиваясь от того, что дано в задаче, можно будет выразить остальные неизвестные величины через $x$. И ещё совет: не стоит использовать в уравнениях к задачам индексы возле икса...он у Вас должен быть один. Так "правильнее" и легче для восприятия. А если уж вы решили сделать уравнение с несколькими переменными $( x , y , z ...)$ не пытайтесь запихнуть их все в одно уравнение, ибо у Вас должна выйти система, в которой уравнений столькоже, сколько и переменных.

[ximikat]

Доброе! Как решать задачу о скоростях Серёжи и Наташи понял. Спасибо!
Вот ещё одна:

Автобус шёл $3$ часа по шоссе, $1.5$ часа по грунтовой дороге и $0.5$ часа по просёлочной дороге. Известно, что скорость автобуса по грунтовой дороге была в два раза больше скорости по просёлочной дороге, а скорость по шоссе в $3.5$ раза больше скорости по просёлочной дороге. Найдите скорость движения автобуса по просёлочной дороге, если средняя скорость автобуса на всём пути $33.6$ км/ч

Эту задачу я пытался решить так:
1. Средняя скорость автобуса на разных участках $33.6*3$ (три разных участка) = $100.8$ км/ч общая скорость собственной скорости автобуса на всех трёх участках.
А дальше я не знал, с чего начать решение и я составил такое уравнение:
2. $3.5x+2x+x=100.8$
$6.5x=100.8$
$x=15.50769$
Я понял, что этот ход решения неправильный, потому, что для 5 класса такой длинный ответ получится не мог.

Попробывал решить по другому:
Первый пункт остаётся неизменный.
2. Тут я попытался отношения скоростей на разных дорогах друг к другу совместить со временем прохождения их автобусом
$3*3.5x+1.5*2x+0.5x=100.8$
$x=7.56$
...и так далее. И снова ответ у меня получился неправильный. Где моя ошибка?

[gris]

Надо просто представить себе этот автобус. И задать себе естественные вопросы.

У нас есть понятие средней скорости. Пятиклассники его так определяют: общий путь поделить на общее время. Вот и Спросим себя, что у нас есть, а что мы можем найти? Каково общее время? То есть — сколько часов ехал автобус? Каков общий путь? Неизвестно. Какова средняя скорость? Известно. То есть нам нужно и можно найти общий путь.

Ну а дальше годится левая часть последней версии Вашего уравнения, которая этот общий путь и выражает через икс. То есть справа надо поставить найденное значение общего пути.

Со страшной силой присоединяюсь к мудрым советам MrDindows.