Решение школьных задач и примеров

[ИСН]

Вы изобретаете много новых слов, а этого не надо. Что такое "серединный отрезок", например?

[ximikat]

Но тогда пусть это будет не срединный отрезок, а точка нахождения поезда посредине пути.

[Gortaur]

Словом, если бы они двигались с одинаковой скоростью, то встретились бы в середине. Так как скорости разные, то середина не при чем, а место встречи смещено. Опять составьте то же самое уравнение. Первый поезд начинает из точки $0$, второй - из точки $784$. Координата первого меняется

$$ 0+(v+10)t $$

координата второго меняется

$$ 784 - v\cdot t. $$

Нам известно, что при $t=8$ их координаты совпадут. Так что приравняйте, подставьте $t=8$ и найдете скорости $v$ и $v+10$.

Не бойтесь просто вводить переменные и смотреть как Вы их можете связать.

[ximikat]

Уважаемый Gortaur! Я задаю вопрос по второй задаче, и вы снова предлагаете мне поставить вместо переменных физические величины. Конечно, меня радует, что т.о. можно решить задачи, ведь это уже следующий уровень математики. Но ведь то, что я повторяю - учебник 5 класса, в нём даются рекомендации подставлять переменную $x$. Значит я так понимаю, что во всех задачах удобнее пользоваться переменными физическими величинами (т.е. тем, что фактически обозначено в задачи), нежели общей для всех задач $x$? В таком случае возникает вопрос - а что же будет, если например задача не будет касаться движения (а например объекты задачи будут находится в статичном положении) или будет в задаче вопросы по объёму? В таком случае надо подставлять физические величины, соответствующие данному условию задачи?
Спасибо большое за ответ на эту задачу, буду пробовать решать задачи на движение через эту физическую величину - т.к. нерешённых задач у меня накопилось уже очень много. Сейчас я попробываю их перерешать с помощью этого способа, который вы мне привели. Правда есть три задачи в которых надо найти объём, тут уж скорость и движение не помогут.

[gris]

То, что сейчас уравнения начинают вводить в первом классе может быть и хорошо. Однако утрачивается или уже утрачена культура решения задач "методом рассуждения". Ученику предлагаются готовые паттерны для решения типовых задач и предлагается просто подставлять числа.

ximikat пытается нащупать этот утраченный метод. Его "срединная точка" имеет смысл и очень даже определённый. Ведь если обратиться к здравому, бытовому, смыслу, то вполне естественным будет задать вопрос (а метод рассуждения, собственно, и состоит в постановке последовательных вопросов и ответов на них без всяких уравнений) — на сколько километров больше проехал к моменту встречи первый поезд? Даже не к моменту встречи, а за 8 часов. Потом отнять и поделить пополам, как интуитивно предполагал уважаемый автор.

Моё мнение — невозможно изучать математику 5 класса методами пятиклассника, не будучи пятиклассником. Я с интересом слежу за темой и далёк от мысли, что автор занимается "стёбом". В его рассуждениях порой сквозит слишком уж глубокое понимание проблемы именно с позиции преподавания. Поэтому, да простит меня ТС, я предполагаю, что... Но тут уже будет нарушение правил Уложения.

[Алексей К.]

ximikat в сообщении #404695 писал(а):

расстояния между станциями 784 км. Одновременно вышли навстречу друг другу с этих станций два поезда. Они встретились через 8 ч. Найдите скорость каждого поезда, если скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго.

А я такие трудные задачи начинаю решать подбором:

Пусть скорость второго поезда 10 км/ч. Тогда скорость первого --- 20 км/ч.
За 8 часов они проедут, соотв. $10\cdot 8=80$ км и $20\cdot 8=160$ км. В сумме --- 80+160=240. Маловато будет! Не подходит. Нужно в сумме 784 получить.

Ладно.
Пусть скорость второго поезда 15 км/ч. Тогда скорость первого --- 25 км/ч.
За 8 часов они проедут, соотв. $15\cdot 8=120$ км и $25\cdot 8=200$ км. В сумме --- 120+200=320. Маловато будет! Не подходит. Нужно в сумме 784 получить.

Ладно.
Пусть скорость второго поезда 40 км/ч. Тогда скорость первого --- 50 км/ч.
За 8 часов они проедут, соотв. $40\cdot 8=320$ км и $50\cdot 8=400$ км. В сумме --- 320+400=720. Маловато будет! Не подходит. Нужно в сумме 784 получить.

Ладно.
Пусть скорость второго поезда 55 км/ч. Тогда скорость первого --- 65 км/ч.
За 8 часов они проедут, соотв. $55\cdot 8=440$ км и $65\cdot 8=520$ км. В сумме --- 440+520=960. Многовато будет! Не подходит. Нужно в сумме 784 получить.

Типа надоело подбирать, но теперь ясно, как составить уравнение.
Пусть скорость второго поезда $x$ км/ч. Тогда скорость первого --- $x+10$ км/ч.
За 8 часов они проедут, соотв. $x\cdot 8$ км и $(x+10)\cdot 8$ км. В сумме --- $8x+8(x+10)$. И нужен мне такой $x$, чтобы в сумме 784 получить!

$$\color{magenta}\fbox{\color{black} $8x+8(x+10)=784.$}$$

Как бы ура!!!

[Gortaur]

ximikat
gris
Ваши замечания приняты ) просто одно дело - когда человек хочет стать математиком, другое дело - когда ему приходится ее изучить - что и написал ТС. В первом случае разумеется следует развивать понимание, во втором случае можно рассказывать хорошие, быстрые методы решения задач. Ими олимпиадные не решишь быть может, но такой цели и не стояло.
gris
Вы бы попробовали все-таки ТС объяснить, как решить задачу про кошку и собаку без уравнения. Можете почитать - я старался как мог.

[gris]

Уважаемый Алексей К.!!!
Я так долго ждал Вашего появления и запостил своё сообщение именно в надежде, что Вы проявитесь. Ну вот, собственно и всё. Традиция соблюдена, можно расслабиться.
Но дабы не оффтопить скажу, что любой школьник знает слова "скорость сближения".

[Алексей К.]

(Оффтоп)

Но я-то уже давно не школьник... По-своему, по-пенсионерски решаю...

[gris]

А я это не Вам. Вам был просто привет вне зависимости от содержания. Скорость сближения и удаления относилась к кошачьей задаче.
Gortaur, а разве её не решили без уравнений? В предположении, конечно, что собака гонится за кошкой по прямой, а не наоборот.

[Алексей К.]

А ежели без шуток, то, по-моему, хороший метод: реши задачу как хочешь, с иксами, без иксов, подбором, угадай, --- но только реши. Получишь шоколадку (или что там сейчас принято давать).
Уметь проверить возможный ответ, --- значит понять суть задачи. А школьник сразу об одном думает --- "Кого обозначить за икс???"
Да, метод very time consuming, в эпоху мобилок и ЭВМок, когда с тенниса надо бежать на музыку, не катит. Но он всё же эффективен, в частности, в трудных случаях.

[Gortaur]

gris
Я считаю, что нет. По рисунку это не решение - были бы хотя бы дробные числа - сколько бы клеточек понадобилось? Про то, что
расстояние надо разделить на разность скоростей - ТС прочитал. Про уравнение после решения рисунком спросил.

Алексей К.
Еще раз повторюсь, задача не научить ТС математике, а научить его решать задачи. Первому учат в университете, второму - в школе. Не скажу, что это правильно - но так уж повелось.

[gris]

Gortaur, я думаю, что ТС умеет решать задачи намного лучше нас. Про кошку я не говорил о рисунке. Я имел в виду тип задач, когда надо определить момент/место встречи при равномерном движении двух тел по прямой. При наливании бассейна двумя трубами. При совместной работе. Скорости вычитаются, если "движение" в обобщённом смысле происходит в одном направлении, и складываются, если в разных.

[Gortaur]

gris
Есть такой тип задач, хорошо. ТС никак не соглашался решить таким способом задачу с кошкой. Задачу с поездами также он не решил. Что Вы имеет ввиду под словами "а разве её не решили без уравнений? " Кого решили, кто решил и как решил?

[gris]

Gortaur, пятиклассник моего столь далёкого детства, решал бы так:
1. Какова скорость сближения кошки и собаки?
— 10-7=3 (м/с)
2. Сколько времени потребуется собаке, чтобы догнать кошку?
— 30:3=10 (с)
Ответ: Собака догонит кошку через 10 секунд.