Две задачи по линейной алгебре.

[Mitrius_Math]

Задача №1. В арифметическом пространстве \displaystyle \mathbb{R}^4 линейный оператор \displaystyle \varphi задан матрицей \displaystyle A= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 3\\ -2 & 5 & 6 & -12 \\ 5 & 9 & 13 & 9 \\ -1 & 3 & 7 & -9 \end{pmatrix}. Найти базисы ядра и образа, ранг и дефект линейного оператора. Найти операторы, индуцированныe в ядре и образе.
Решение.
1) По определению ядро линейного оператора \displaystyle \varphi (\displaystyle \ker \ \varphi) есть множество всех векторов \displaystyle x, которые \displaystyle \varphi переводит в нулевой вектор. Это означает, что \displaystyle \ker \ \varphi состоит из векторов, координаты которыx \displaystyle x_1, \ x_2, \ x_3, \ x_4 (в некотором базисе \displaystyle \{ e_1, \ e_2, \ e_3, \ e_4 \}) удовлетворяет условию:
\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 3\\ -2 & 5 & 6 & -12 \\ 5 & 9 & 13 & 9 \\ -1 & 3 & 7 & -9 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.
То есть, \displaystyle \ker \ \varphi cooтветствует пространству \displaystyle L решений системы
\displaystyle \begin{cases}x_1-2x_2+x_3+3x_4=0, \\-2x_1+5x_2+6x_3-12x_4=0, \\5x_1+9x_2+13x_3+9x_4=0,\\-x_1+3x_2+7x_3-9x_4=0.\end{cases}
Общим решением системы является семейство векторов \displaystyle \left(-\frac{15}{4}C , \ 0, \ \frac{3}{4}C, \ C \right). Полагая \displaystyle C=4, находим базис \displaystyle \ker \ \varphi: \displaystyle (-15, \ 0 , \ 3, \ 4).

2) Дефектом линейного оператора называется размерность его ядра (\displaystyle \dim \ \ker \ \varphi). Здесь \displaystyle \dim \ \ker \ \varphi=1, т.к. в ядре существует лишь один линейно независимый вектор.

Верны ли мои рассуждения?

3) Не знаю, как найти образ линейного отображения \displaystyle \varphi (\displaystyle im \ \varphi). Подскажите идею.

4) Рангом линейного отображения \displaystyle \varphi называется размерность его образа (\displaystyle \dim \ im \ \varphi). Здесь всё ясно.

5) Что такое операторы, индуцированные в ядре и образе?

Задача №2. Найти матрицу, область значений и ядро оператора \displaystyle A проектирования на плоскость \displaystyle x-z=0. Если \displaystyle x=\{x_1, \ x_2, \ x_3 \}, то \displaystyle Ax=\{x_1-x_2-x_3, \ -2x_1+3x_2, \ x_2- x_3 \}.

1) Cовершенно не знаю, как найти матрицу. И что означает проектирование на плоскость?

2) Если найду матрицу, то можно найти ядро.

3) Область значений - это синоним образа или что-то другое?

И ещё один вопрос общего характера. Существует ли какое-то обозначение для базиса линейного пространства (как, например, для ядра или размерности)?

[caxap]

Mitrius_Math в сообщении #396653 писал(а):

3) Не знаю, как найти образ линейного отображения

Это линейная оболочка векторов, составляющих столбцы матрицы $A$.

Mitrius_Math в сообщении #396653 писал(а):

5) Что такое операторы, индуцированные в ядре и образе?

Не знаю, но по-моему, это сужение функции $\varphi$ на ядро и образ соотв-но.

Mitrius_Math в сообщении #396653 писал(а):

1) Cовершенно не знаю, как найти матрицу.

Каждый столбец матрицы -- это образ базисного вектора (в координатах старого базиса). Вы знаете, как преобразуется произвольный вектор, а значит, в частности, знаете, как преобразуются базисные векторы ($\{1,0,0\}$ ...).

Mitrius_Math в сообщении #396653 писал(а):

3) Область значений - это синоним образа

Да.

(По вопросу общего характера)

Mitrius_Math в сообщении #396653 писал(а):

Существует ли какое-то обозначение для базиса линейного пространства

Базис -- это просто упорядоченный набор векторов, напр. $(i,j,k)$.

Mitrius_Math в сообщении #396653 писал(а):

как, например, для ядра или размерности?

$\rm ker$ и $\rm im$ -- функции от оператора, а базис таковым не является. Это просто набор векторов в линейном пространстве, который мы сами для себя выбираем.

P. S. Я сам только изучаю лин. алгебру, поэтому относитесь к моим советам как к совету одногруппника, а не преподавателя.

[Mitrius_Math]

caxap в сообщении #396669 писал(а):

Это линейная оболочка векторов, составляющих столбцы матрицы .

То есть, нужно найти ранг матрицы, выбрать линейно независимые столбцы количеством, равным рангу, - и линейная оболочка известна?

caxap в сообщении #396669 писал(а):

Не знаю, но по-моему, это сужение функции на ядро и образ соотв-но.

Вот и я не знаю...

caxap в сообщении #396669 писал(а):

Вы знаете, как преобразуется произвольный вектор, а значит, в частности, знаете, как преобразуются базисные векторы ( ...).

Да, но про сами базисные векторы ничего не сказано.

caxap в сообщении #396669 писал(а):

Базис -- это просто упорядоченный набор векторов

Это я знаю. Думал, что для базиса пространства есть обозначение вроде

$$ bazis L=\{e_1, \ e_2, \ e_3 \}$$

-- Сб янв 08, 2011 15:50:40 --

caxap в сообщении #396669 писал(а):

Я сам только изучаю лин. алгебру, поэтому относитесь к моим советам как к совету одногруппника, а не преподавателя.

Всё равно спасибо. Я изучаю линейную алгебру самостоятельно, спросить не у кого.

[caxap]

Mitrius_Math в сообщении #396685 писал(а):

То есть, нужно найти ранг матрицы, выбрать линейно независимые столбцы количеством, равным рангу,

Да.

Mitrius_Math в сообщении #396685 писал(а):

Да, но про сами базисные векторы ничего не сказано.

Так как вектор $\{x_1,x_2,x_3\}$ записан в фигурных скобках, то это значит, что выбран некоторый базис и это координаты векторы в этом базисе. То есть первый базисный вектор будет $\{1,0,0\}$ (в собственном базисе) и т. д. А значит 1-й столбец матрицы будет $(1,-2,0)^\top$. Когда построите матрицу, её можно проверить: умножьте её на столбец $(x_1,x_2,x_3)^\top$ и вы должны получить столбец $(x_1-x_2-x_3,\,\ldots)^\top$.

(Оффтоп)

Mitrius_Math в сообщении #396685 писал(а):

Думал, что для базиса пространства есть обозначение вроде

Это выглядит как будто $L$ сопоставляется ровно один какой-то базис. А это не так.

[Mitrius_Math]

С образом, вроде бы, понятно. Выбрал я три первых столбца (они линейно независимы, проверил посредством элементарных преобразований). Если считать, что оператор задан в базисе $(1,0,0,0); \ (0,1,0,0); \ (0,0,1,0); \ (0,0,0,1)$ (из чего сие следует?!), то базис $im \ \varphi$ образуют векторы $(1,-2,5,-1); \ (-2,5,9,3); \ (1,6,13,7)$. Верно? Естественно, ранг оператора равен трём.

(Оффтоп)

caxap в сообщении #396690 писал(а):

Это выглядит как будто сопоставляется ровно один какой-то базис. А это не так.

Я знаю, что базис можно выбрать многими способами. Но всё-таки надеялся на то, что обозначение имеется. Ну раз нет, так нет.

[mad_math]

Mitrius_Math

[caxap]

Mitrius_Math в сообщении #396730 писал(а):

(из чего сие следует?!)

Матрица оператора по определению такая, что каждый столбец -- это координаты образов базисных векторов с старом базисе (а базисные векторы в своём собственном базисе имеют координаты $(1,0,0,0)$, $(0,1,0,0)$ ...)

Mitrius_Math в сообщении #396730 писал(а):

Верно? Естественно, ранг оператора равен трём.

Да.

In[1]:= MatrixRank[{{1,-2,5,-1},{-2,5,9,3},{1,6,13,7},{3,-12,9,-9}}]
Out[1]= 3
In[2]:= MatrixRank[{{1,-2,5,-1},{-2,5,9,3},{1,6,13,7}}]
Out[2]= 3

[Mitrius_Math]

caxap в сообщении #396739 писал(а):

Матрица оператора по определению такая, что каждый столбец -- это координаты образов базисных векторов с старом базисе (а базисные векторы в своём собственном базисе имеют координаты , ...)

Понятно. А литературу не слишком мудрёную по этой теме не подскажете? У меня есть тут кое-что, но далеко не всё уяснил из этих книжек.

(Оффтоп)

mad_math в сообщении #396735 писал(а):

Mitrius_Math

О!.. Мad_math, шлю Вам горячий эллипсоидальный привет! Не только мир тесен, но и Интернет тоже.

[caxap]

Mitrius_Math в сообщении #396743 писал(а):

Понятно. А литературу не слишком мудрёную по этой теме не подскажете? У меня есть тут кое-что, но далеко не всё уяснил из этих книжек.

Я учусь по Головиной (советский простой и наглядный учебник) и Канатникову--Крищенко (более современный).

[Mitrius_Math]

caxap в сообщении #396748 писал(а):

Я учусь по Головиной

В электронном виде не нашёл.

caxap в сообщении #396748 писал(а):

Канатникову--Крищенко

Это который из серии "Математика в техническом университете"?

[caxap]

Mitrius_Math в сообщении #396753 писал(а):

В электронном виде не нашёл.

Я покупал себе бумажный вариант. (За 50 р можно купить.)

Mitrius_Math в сообщении #396753 писал(а):

Это который из серии "Математика в техническом университете"?

Да.

[Mitrius_Math]

Цитата:

Так как вектор $\{x_1,x_2,x_3\}$ записан в фигурных скобках, то это значит, что выбран некоторый базис и это координаты векторы в этом базисе. То есть первый базисный вектор будет $\{1,0,0\}$ (в собственном базисе) и т. д. А значит 1-й столбец матрицы будет $(1,-2,0)^\top$. Когда построите матрицу, её можно проверить: умножьте её на столбец $(x_1,x_2,x_3)^\top$ и вы должны получить столбец $(x_1-x_2-x_3,\,\ldots)^\top$.

Тут как-то учитывается, что рассматриваем оператор проектирования на плоскость $x-z=0$? Никак не пойму, как связать первую часть задачи со второй.

[caxap]

Mitrius_Math
Там же уже формула готовая дана. Больше ничего не надо. (Проектирование я себе представляю так: если перейти в ортогональный базис, у которого два вектора лежат в плоскости $x-z=0$, то оператор проектирования просто обнуляет третью координату вектора, соответствующую ортогональному к плоскости базисному вектору. В задаче рассматривается пространство свободных векторов в 3-хмерном пространстве, а это пространство евклидово, поэтому можно говорить об ортогональном базисе.)

[mad_math]

Mitrius_Math в сообщении #396753 писал(а):

caxap в сообщении #396748 писал(а):

Я учусь по Головиной

В электронном виде не нашёл.

юзайте http://gen.lib.rus.ec/
по запросу Головина выдал: Головина Л.И."Линейная алгебра и некоторые её приложения" 1985г. может оно.

(Оффтоп)

Цитата:

О!.. Мad_math, шлю Вам горячий эллипсоидальный привет! Не только мир тесен, но и Интернет тоже.

и вам привет горячий. математический интернет вообще тесная штука. спартакуса, разве что, на этом форуме тьфу-тьфу-тьфу не видела.

[Mitrius_Math]

caxap в сообщении #396790 писал(а):

Mitrius_Math
Там же уже формула готовая дана. Больше ничего не надо. (Проектирование я себе представляю так: если перейти в ортогональный базис, у которого два вектора лежат в плоскости , то оператор проектирования просто обнуляет третью координату вектора, соответствующую ортогональному к плоскости базисному вектору. В задаче рассматривается пространство свободных векторов в 3-хмерном пространстве, а это пространство евклидово, поэтому можно говорить об ортогональном базисе.)

Спасибо. Пока не понял, но буду разбираться.

-- Сб янв 08, 2011 19:24:55 --

(Оффтоп)

mad_math в сообщении #396811 писал(а):

юзайте http://gen.lib.rus.ec/
по запросу Головина выдал: Головина Л.И."Линейная алгебра и некоторые её приложения" 1985г. может оно.

Да, нашёл. Но не скачивается.