Две задачи по линейной алгебре.

[caxap]

Mitrius_Math в сообщении #396854 писал(а):

Да, нашёл. Но не скачивается.

http://gen.lib.rus.ec/get?nametype=orig ... 2eefd17c67

[mad_math]

Цитата:

Да, нашёл. Но не скачивается.

то ли ваш браузер с либрусиком не дружит (я вам уже давала на него ссылки), то ли не туда нажимаете.

[Mitrius_Math]

Действительно, через Internet Explorer не качает, а через Download Master без проблем.

[paha]

Mitrius_Math в сообщении #396920 писал(а):

Действительно, через Internet Explorer не качает, а через Download Master без проблем.

1) Пользуйтесь другим броузером

2) Неужели, такая низкая скорость соединения, что нужен DM?

[Mitrius_Math]

(Оффтоп)

paha в сообщении #396922 писал(а):

Неужели, такая низкая скорость соединения, что нужен DM?

128 Кбит/с

[Mitrius_Math]

Mitrius_Math в сообщении #396653 писал(а):

Задача №2. Найти матрицу, область значений и ядро оператора \displaystyle A проектирования на плоскость \displaystyle x-z=0. Если \displaystyle x=\{x_1, \ x_2, \ x_3 \}, то \displaystyle Ax=\{x_1-x_2-x_3, \ -2x_1+3x_2, \ x_2- x_3 \}.

1) Cовершенно не знаю, как найти матрицу. И что означает проектирование на плоскость?

2) Если найду матрицу, то можно найти ядро.

3) Область значений - это синоним образа или что-то другое?

И ещё один вопрос общего характера. Существует ли какое-то обозначение для базиса линейного пространства (как, например, для ядра или размерности)?

Найдём образы базисных векторов

$$e_1=(1,0,0), \ e_2=(0,1,0), \ e_3=(0,0,1)$$

под действием оператора

$$A$$

:

$$Ae_1=(1-0-0,-2 \cdot 1+3 \cdot 0, 0-0)=(1,-2,0)$$

;

$$Ae_2=(0-1-0,-2 \cdot 0 + 3 \cdot 1,1-0)=(-1,3,1)$$

;

$$Ae_3=(0-0-1, -2 \cdot 0 + 3 \cdot 0,0-1)=(-1,0,-1)$$

.
Тогда \displaystyle A= \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\ -2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.

-- Сб янв 08, 2011 22:13:46 --

Это верно?
Нашёл ядро и область значений. Но по-прежнему не ясно, как сюда "прикрутить" проектирование на плоскость $x-z=0$. Её нормальный вектор $ n=(1,0,-1)$. И что делать с найдённо матрицей?

[caxap]

По идее у оператора проектирования на плоскость ядро должно быть одномерно и содержать векторы, коллинеарные $n$. А образ должен быть 2-мерным (векторы, параллельные плоскости). А у вас ранг $A$ равен 3, то есть ядром будет только нулевой вектор, а образ -- всё 3-мерное пространство.

Вы уверены, что правильно формулу переписали: $Ax=\{x_1-x_2-x_3, \ -2x_1+3x_2, \ x_2- x_3 \}$? На проектирование не похоже.

Вот сюда paha заглянул, может посмотрит. Я не знаю, почему так получается.

[Mitrius_Math]

caxap в сообщении #396977 писал(а):

А у вас ранг равен 3, то есть ядром будет только нулевой вектор, а образ -- всё 3-мерное пространство.

Да, у меня такие же результаты.

caxap в сообщении #396977 писал(а):

Вы уверены, что правильно формулу переписали: ? На проектирование не похоже.

Абсолютно. Я привёл полный текст (но задача не из задачника, а из контрольной, поэтому вполне вероятна ошибка в условии). Такое ощущение, что это не одна, а две разные задачи.

-- Сб янв 08, 2011 22:40:02 --

(Оффтоп)

caxap в сообщении #396867 писал(а):

Mitrius_Math в сообщении #396854 писал(а):

Да, нашёл. Но не скачивается.

http://gen.lib.rus.ec/get?nametype=orig ... 2eefd17c67

А за книжку спасибо. Скачал.

[caxap]

Mitrius_Math в сообщении #396981 писал(а):

Такое ощущение, что это не одна, а две разные задачи.

Так даже лучше Если взять базис $(i,j,k)$, то можно быстро написать матрицу оператора проектирования в этом базисе. Ну а потом всё остальное.

[mad_math]

(Оффтоп)

Mitrius_Math в сообщении #396920 писал(а):

Действительно, через Internet Explorer не качает, а через Download Master без проблем.

IE, кроме всех своих недостатков, ещё и большая дырка для вирусов. пользуйте лучше Оперу или Firefox.

[ewert]

Mitrius_Math в сообщении #396653 писал(а):

Задача №2. Найти матрицу, область значений и ядро оператора \displaystyle A проектирования на плоскость \displaystyle x-z=0.

Проектирование на вектор $\vec n$ -- это $\vec n\cdot\dfrac{(\vec x,\vec n)}{|\vec n|^2}$. Соответственно, если $\vec y=A\,\vec x$ -- это проектирование $\vec x$ на плоскость, перпендикулярную вектору $\vec n$, то $\vec y=\vec x-\vec n\cdot\dfrac{(\vec x,\vec n)}{|\vec n|^2}$. Выпишите вектор нормали $\vec n$ к этой плоскости, подставьте в формулу для проекции, распишите результат по каждой координате, а там уж и матрица. Хотя можно и почти сразу получить матрицу $A$, если заметить: $\vec n\cdot(\vec x,\vec n)$ есть не что иное, как результат матричного умножения столбца $\vec x$ на матрицу $\vec n\cdot\vec n^T$, где под $\vec n$ понимается также столбец и, соотв., под $\vec n^T$ -- строка.

[caxap]

ewert
А нельзя просто взять базис $(i,j,k)$, а потом $Ai=Ak=\dfrac 12 (i+k)$, $Aj=j$? Отсюда сразу матрица.

[ewert]

caxap в сообщении #397126 писал(а):

А нельзя просто взять базис $(i,j,k)$, а потом $Ai=Ak=\dfrac 12 (i+k)$, $Aj=j$? Отсюда сразу матрица.

Можно, но тут надо поднапрячь воображение, и это не универсально.