функан

[AD]

patriarch в сообщении #386937 писал(а):

1)$E=\quad\left\{y \in C[0,1]:y(0)=0, y(1)=0 \quad\right\}$ проверить вполне ограниченность

Даже не ограничено, уж тем более не вполне.

patriarch в сообщении #386937 писал(а):

$M=\quad\left\{x\in l_2 , \sum\limits_{i=1}^{20} x_n=1, x_n=0 , n>20\quad\right\}$

Аналогично, если, разумеется, поправить $i$ на $n$.

[patriarch]

AD
А что насчет моего решения оно верное?и как все таки доказать отсутствие $/epsilon$-сети?

[patriarch]

ну скажите пожалуйста что-нибудь про мое решение, мне скоро это сдавать.А до меня не допирает как строго доказать отсутствие сети, и правильна ли 2 задача.

[Dan B-Yallay]

patriarch в сообщении #387502 писал(а):

ну скажите пожалуйста что-нибудь про мое решение, мне скоро это сдавать.А до меня не допирает как строго доказать отсутствие сети, и правильна ли 2 задача.

Ответ к задаче 2 ($\| f \| =1$) правильный. Но сам ход решения невменяем и разбираться в нем...

Множество $E$ содержит элементы сколь угодно большие по норме $C[0,1].$ Как Вы собираетесь такое множество закатать в конечную $\varepsilon$ -сеть?

[patriarch]

Dan B-Yallay
а что насчет задачи про множество М?
ну я интуитивно понимаю что в конечную сеть его не загонишь.Но препод требует СТРОГОЕ доказательство сего факта.Как это сделать?

[Gortaur]

Может, контрпримером?

[Dan B-Yallay]

patriarch в сообщении #387722 писал(а):

Dan B-Yallay
а что насчет задачи про множество М?
ну я интуитивно понимаю что в конечную сеть его не загонишь.Но препод требует СТРОГОЕ доказательство сего факта.Как это сделать?

Множество $M$ тоже неограничено. (AD Вам на это уже указал). А чтобы получить строгое доказательство - послушайтесь совета Gortaur.

[Null]

Как можно доказать отсутствие примера контрпримером?
Тут лучше от противного: предположим есть конечная $\varepsilon$-сеть...

[patriarch]

а мой пример для М годен или нет?
[quote="patriarch]
2)$M=\quad\left\{x\in l_2 , \sum\limits_{i=1}^{20} x_n=1, x_n=0 , n>20\quad\right\}$
Возьмем последовательность $x_n=(n,-n,...,n,-n,1,0...)$ она не сходиться покоординатно и нельзя выделить подпоследовательность так как $n\to \infty$ Таким образом М не относительно компактно.[/quote]

предположим есть конечная $\varepsilon$-сеть.. тогда множество E можно покрыть конечными открытыми шарами, так?
возьмем последовательность $\max {y_n}=n$ лежащую в нашем множестве Е, так как эта последовательность не ограничена то мы пришли к противоречию.Так чтоли имееться ввиду?

[patriarch]

так я правильно сделал? просто мне кажеться что взятая мной последовательность в $l_2$ не лежит...

[Dan B-Yallay]

Почему не лежит? Конечно лежит. В общем - правильно. Только подпоследовательность тут не причем. Если у вас конечная сеть, то вся она лежит в некотором "круге" конечного радиуса. А ваша последовательность рано или поздно из него выйдет и будет удаляться неограниченно далеко (при этом оставаясь в множестве $M$). Так что М неограничено, не говоря уж о компактности (или пред..)

[patriarch]

так я и не смог сдать преподу...
Теперь надо в $E=\quad\left\{y \in C[0,1]:y(0)=0, y(1)=0 \quad\right\}$ проверить компактность и ограниченность.
Ограниченности тут судя по всему нету, ибо при заранее заданной константе C найдется функция из Е такая что ее норма будет больше Е, я прав?
А вот насчет компактности я не могу придумать последовательность в качестве контрпримера...

[Dan B-Yallay]

1) Что именно не устроило в доказательстве для множества $M$?

2) Насчет множества $E$ вы правы. Так как компактное множество не может быть неограниченным, значит $E$ - не компакт. Дайте определение компакта из вашего учебника или лекции.

[paha]

patriarch в сообщении #389058 писал(а):

А вот насчет компактности я не могу придумать последовательность в качестве контрпримера...

$nx(1-x)$

[patriarch]

Dan B-Yallay
1)ну он таки сказал что данная последовательность не лежит в $l_2$
ну и во вторых сказал использовать критерий вполне ограниченности для $l_2$
2)множество являеться компактом если из всякого конечного открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие, или что равносильно из всякой последовательности можно выделить подпоследовательность сходящуюся к элементу данного множества.