функан

[Dan B-Yallay]

1) Странно. Обсуждённая нами последовательность является суммируемой с квадратом и это очевидно. Подсуньте ему такое:

$x_1=(1,0,0,0,0,0,...)$
$x_2=(2,-1,0,0,0,0,...)$
$x_3=(3,-2,0,0,0,....)$
...
$x_k=(k, 1-k,0,0,0,...)$
...

Если он и эту последовательность исключит из $l_2$, то я могу только посочувствовать.

2) paha указал пример последовательности, в которой нет никакой сходящейся подпоследовательности.

[patriarch]

1)ну допустим.но что даст эта последовательность?нам нужно же доказать ограниченность М чтобы сработал критерий
2)а как строго доказать что у нее нету сходящейся подпоследовательности?

[Dan B-Yallay]

1) Так у вас $M$ неограничено и поэтому компактом быть не может. Я бы доказывал примерно так:

а) Пусть $M$ предкомпакт, тогда замыкание его $\overline M$ - компактно.
б) Берем указанную выше последовательность. Она лежит в $\overline M$ и $l_2$.
в) Последовательность по норме монотонно уходит в бесконечность и не имеет сходящейся подпоследовательности.
г) Cледовательно предположение о компактности $M$ неверно.

конечно надо все эти выкладки оформлять чуть строже.

2) Аналогично со вторым множеством $E$

[ewert]

patriarch в сообщении #389485 писал(а):

1)ну допустим.но что даст эта последовательность?нам нужно же доказать ограниченность М чтобы сработал критерий
2)а как строго доказать что у нее нету сходящейся подпоследовательности?

Это какая-то нелепость. То, что компактность и даже предкомпактность влечёт за собой ограниченность множества -- это общее место, которое идёт непосредственно после определения, независимо от построения курса. Каждый раз доказывать этот факт заново в каждой конкретной задачке -- просто абсурд.

[patriarch]

я не знаю как график тут вывести, но мне очень нужна помощь....вроде и пример хороший, даже препод заметил, но вот досада он спросил какая сходимость....и я не нашел что ответить....

zhoraster:

Картинка удалена.

[patriarch]

подскажите пожалуйста кто-нибудь.я говорил по норме, но ответ преподователя не устроил...

[MaximVD]

Последовательность, указанных вами функций, сходится к предельной функции поточечно (т.е. в каждой точке), но не равномерно (т.е. не по норме).

[patriarch]

MaximVD
Вы не правы....допустим возьмем $1/n$ в пределе будет 0, а у меня сходится к единице...
это пример приведенный преподователем.

[patriarch]

проверьте пожалуйста.
1)Доказать что в нормированном пространстве Х верно для всех $\forall x,y\in X \exists f \in X^*$ такая что $f(x)\neq f(y)$
решение по следствию из Теоремы Хана-Банаха
$\exists f \in X^* \left|| f \right||=1 $ и $f(x)=\left||x\right||$
рассмотрим $t \equiv x-y, x\neq y \Rightarrow f(x-y)=\left||x-y\right||$ используем линейность следовательно $f(x)\neq f(y)$
2)сходится ли последовательность $x_n=(1,0,...,0,1/n,0...)$ в $l_2$ ?
$x_n=(1,0,...,0,1/n,0...)\to x^
$\left||x_n-x^ то есть сходимость есть.

Так?

[patriarch]

Подскажите пожалуйста хотя бы кто-нибудь!насчет этих двух упражнений и какая сходимость.Очень надо.в понедельник сдавать.

[patriarch]

ну подскажите пожалуйста какая сходимость...только с пояснением...