функан

[patriarch]

1)сходится ли последовательность $x_n=(1,0,...,0,1/n,0...)$ в $l_2$ ?
$x_n=(1,0,...,0,1/n,0...)\to x^
$\left||x_n=(1,0,...,0,1/n,0...)\right||=\sqrt{1^2+1/n^2}\to 1$ то есть нету сходимости

2)$f(x)=x_1+x_2+x_3$ найти норму функционала в$ l_1$
$\left|f(x)\right|=\left|x_1+x_2+x_3\right|\leqslant \left|| x\right||\Longrightarrow \left|| f(x) \right|| \leqslant 1$
$\left|| x\right||=x_1+x_2+x_3=1$ $ x=(1,0,...,0,0,0...)$
$\left|| x\right||=x_1+x_2+x_3=1, \left|f(x)=x_1+x_2+x_3\right|=1\Longrightarrow \left|| f(x) \right||\geqslant 1 $
Таким образом $\left|| f(x) \right||= 1 $

Это верно?

[AD]

patriarch в сообщении #386880 писал(а):

$\left||x_n=(1,0,...,0,1/n,0...)\right||=\sqrt{1^2+1/n^2}\to 1$ то есть нету сходимости

Последовательность $1,1,1,1,1,\ldots$ расходится, потому что $|1|\to 1$. Логично?

-- Пн дек 13, 2010 17:05:36 --

patriarch в сообщении #386880 писал(а):

$\left|f(x)=x_1+x_2+x_3\right|$

Модули равенства такие модули равенства ...
А так вообще похоже.

[patriarch]

AD писал(а):

Модули равенства такие модули равенства ...

пофиксено

AD писал(а):

Последовательность $1,1,1,1,1,\ldots$ расходится, потому что $|1|\to 1$. Логично?

ну вобщем-то логично, но я не понял верно ли я сделал 1 номер?и я не увидел в моем примере последовательность $1,1,1,1,1,\ldots$
там лишь одна единица, а остальные нули, если рассматривать покоординатный предел.

[AD]

AD в сообщении #386883 писал(а):

Последовательность $1,1,1,1,1,\ldots$ расходится

patriarch в сообщении #386888 писал(а):

ну вобщем-то логично

Подумайте ещё раз

[patriarch]

извините, но можно все таки пояснение?эти задания были на контрольной и мне просто интересно верно ли я их решил.Сейчас я раздумываю над оставшимися двумя.Потом возможно выложу...
P.S. небольшое пояснение элемент $1/n$ стоит на$ n+1 $ месте то есть с ростом $ n $ будет только первая единица, а остальные нули.

[AD]

patriarch в сообщении #386893 писал(а):

извините, но можно все таки пояснение?

Хмм. Чё-то я теряю уверенность в своих преподавательских способностях. Если Вы мне не поможете, то так ничего и не получится ведь!

(спойлер)

Ну это я пытаюсь Вас заставить понять Вашу совершенно таинственную ошибку, видимо долго завалявшуюся.
То есть не правильно решена первая задача.

Еще раз от печки. Задачка между двойкой и двойкой для первого курса. Вычислить предел

$$\lim\limits_{n\to\infty}1$$

[patriarch]

AD писал(а):

Еще раз от печки. Задачка между двойкой и двойкой для первого курса. Вычислить предел

$$\lim\limits_{n\to\infty}1$$

ну очевидно, что ответ $1$

[AD]

Ну и как же Вы тогда осмелились написать что-то типа

patriarch в сообщении #386880 писал(а):

$\to 1$, то есть нету сходимости

(:

[patriarch]

Извините, я просто пытался действовать по тому алгоритму, который дал нам преподаватель.То бишь нужно проверить сходимость по норме.Норма в $l_2$ задается формулой $\sqrt{ \sum\limits_{i=1}^n \left|x_n\right|^2}$
Так норма данной последовательности к нулю не стремится, то и сходимости нету...нет?

[AD]

Последовательность может стремиться не только к нулю.
А к какому угодно вектору пространства.
Последовательность из одних единиц, о которой я внезапно заговорил, сходится, но нормы её элементов к нулю не стремятся. Мятся?
Нужно думать о $\|x_n-x\|$, где $x$ - предполагаемый предел.

[ИСН]

Давайте теперь выяснять, что такое "сходимость в $l_2$".

[patriarch]

то есть я таки не правильно сделал? я нашел предполагаемый предел $ x^
и нужно было рассматривать $\|x_n-x^?

[ИСН]

Здесь AD следовало бы задать ещё один вопрос - к чему сходится последовательность последовательностей, которые все одинак... а, лень писать, много букв.

[AD]

patriarch в сообщении #386915 писал(а):

то есть я таки не правильно сделал? я нашел предполагаемый предел $ x^
и нужно было рассматривать $\|x_n-x^?

Таки не правильно. А еще у Вас обнаруживается странная путаница с буквой $n$. Есть последовательность последовательностей: $(x_n)_{n=1}^\infty=((x_n^m)_{m=1}^\infty)_{n=1}^\infty$, она сходится к последовательности $x=(x^m)_{m=1}^\infty$. Писать $x_n\to x_n'$ неправильно - в пределе никакой буквы $n$ нету, она связанная переменная.

[patriarch]

а помогите вот с этим...
1)$E=\quad\left\{y \in C[0,1]:y(0)=0, y(1)=0 \quad\right\}$ проверить вполне ограниченность
по идее мы берем последовательность $\max {y_n}=n$ для нее по идее нельзя построить конечную $\epsilon$-сеть.В контрольной я не стал это строго доказывать.А как это доказать?вот сейчас сижу и думаю...

и вот такая
2)$M=\quad\left\{x\in l_2 , \sum\limits_{i=1}^{20} x_n=1, x_n=0 , n>20\quad\right\}$
Возьмем последовательность $x_n=(n,-n,...,n,-n,1,0...)$ она не сходиться покоординатно и нельзя выделить подпоследовательность так как $n\to \infty$ Таким образом М не относительно компактно.