Множество и класс

[bigarcus]

Большое спасибо за разъяснения и советы! Мне они очень помогают!

А откуда такая связь логики и множеств? Я не ожидал что книга будет называться "...логика..." и что советом будет "обратите внимание ... на математическую логику".

Подскажите пожалуйста, ниже два обозначения одного и того же задания множества, или есть разница:
1){x:P(x)}
2){x|P(x)}

-- Ср окт 20, 2010 17:15:33 --

Ещё, если можно, я хочу спросить совета (или просто того, как делаете Вы) о том, как читать книги по математике?
Например, читая доказательство теоремы, имеет ли значительный смысл повторять его на бумаге?
Или если понятно - то нет?
То есть спрашиваю не про решение задач и упражнений, а про чтение теории.

[Виктор Викторов]

bigarcus в сообщении #363953 писал(а):

А откуда такая связь логики и множеств? Я не ожидал что книга будет называться "...логика..." и что советом будет "обратите внимание ... на математическую логику".

Читайте внимательнее.

Виктор Викторов в сообщении #363935 писал(а):

...Я бы рекомендовал книги Шихановича, «Введение в современную математику» и «Введение в математику». Одну из них можно легко найти в сети. Обратите внимание не только на теорию множеств, но и на математическую логику. Особенно на то, как работает импликация.

bigarcus в сообщении #363953 писал(а):

Подскажите пожалуйста, ниже два обозначения одного и того же задания множества, или есть разница:
1){x:P(x)}
2){x|P(x)}

Думаю, что речь идет об одном и том же. Рассмотрим все x для которых выполняется P(x).

bigarcus в сообщении #363953 писал(а):

Например, читая доказательство теоремы, имеет ли значительный смысл повторять его на бумаге?

Думаю, что да.

[Xaositect]

Виктор Викторов в сообщении #363935 писал(а):

Xaositect в сообщении #363919 писал(а):

Вот у нас есть пустое множество $\varnothing$. В нем никаких элементов нет. Ну, раз у нас оно есть, мы можем взять его и составить множество, которое его сожержит, а все остальное нет. Т.е. $\{\varnothing\}$. Это множество непусто, т.к. оно содержит один элемент. Теперь у нас есть уже два различных множества $\varnothing$ и $\varnothing$.

Осторожно. Вы хотели сказать Теперь у нас есть уже два различных множества $\varnothing$ и {$\varnothing$}?

Спасибо.

[bigarcus]

Виктор Викторов, вы выделяете импликацию? Все же, я не понимаю при чем здесь (в логической импликации) множества?

Xaositect, можете, пожалуйста, рассказать о том, как Вы читаете математические книги? Или же основа Ваших знаний - в прослушанных лекциях, если таковые были?

[Виктор Викторов]

bigarcus в сообщении #363998 писал(а):

Виктор Викторов, вы выделяете импликацию? Все же, я не понимаю при чем здесь (в логической импликации) множества?

Если Вы хорошо разберётесь, что есть импликация, то фраза Xaositect "Например: множество марсиан пусто, тогда все марсиане зеленые." станет очевидной.

[bigarcus]

Понятно! Кажется, с этим разобрался.
Именно:
если A ложно, то импликация $A \Longrightarrow B$ всегда истинна.

[Виктор Викторов]

bigarcus в сообщении #364006 писал(а):

... если A ложно, то импликация $A \Longrightarrow B$ всегда истинна.

Да! Ура!

[bigarcus]

А таки в чем необходимость (или удобство) введения пустого множества?

Благодарю за импликацию! (хотя и не понял почему и есть ли такое что теория множеств и логика сильно связаны)

[Xaositect]

bigarcus в сообщении #363998 писал(а):

Xaositect, можете, пожалуйста, рассказать о том, как Вы читаете математические книги? Или же основа Ваших знаний - в прослушанных лекциях, если таковые были?

Ну, знания по логике и теории множеств у меня как раз из книг в основном. Я обычно пытаюсь некоторое время подоказывать теорему из книги, и только потом читать написанное доказательство.

[bigarcus]

О, спасибо!
Кажется я изменю свой стиль чтения на чтение с тетрадкой и ручкой и попытками доказать теоремы самостоятельно. Спасибо!
(правда, доказывать думаю не получится, так что именно попытки, интересно сколько времени рационально на одну теорему тратить в таких попытках, перед тем как переходить к разбору док-ва в книге?)

[Xaositect]

bigarcus в сообщении #364009 писал(а):

А таки в чем необходимость (или удобство) введения пустого множества?

Как минимум, если нет $\varnothing$, то операция пересечения не для всех пар множеств определена. Вообще, после того, как прочитаете учебник, попробуйте представить, как его можно было бы написать, если бы пустого множества не было. Например, вместо простого свойства $(C\setminus A)\cap(C\setminus B) = C\setminus (A\cup B)$ пришлось бы писать: "Если $A\cup B\supseteq C$, то $(C\setminus A)$ и $(C\setminus B)$ не пересекаются, иначе $(C\setminus A)\cap(C\setminus B) = C\setminus (A\cup B)$"

-- Ср окт 20, 2010 19:16:13 --

bigarcus в сообщении #364021 писал(а):

(правда, доказывать думаю не получится, так что именно попытки, интересно сколько времени рационально на одну теорему тратить в таких попытках, перед тем как переходить к разбору док-ва в книге?)

Ну это сколько времени вы готовы потратить, тут советовать сложно.

[ИСН]

Напомнило:
topic28193.html

[Виктор Викторов]

bigarcus в сообщении #364009 писал(а):

... не понял почему и есть ли такое что теория множеств и логика сильно связаны

А как Вы без логики можете делать выводы? Ведь живем по правилу: если..., то...

[bigarcus]

Я посмотрел любезно приведенную ссылку и осознал что опять понимаю не все про пустое множество.

Цитата:

Но у пустого множества нет элементов, значит то, что любой его элемент лежит в другом множестве - верно (просто у этой импликации посылка ложна, а из лжи следует что угодно).

Я понял, что импликация $A\Rightarrow B$ ложна только когда A истинно, а B - ложно.
Но почему пустое множество приравнивается к ложному посылу? Или что приравнивается?

[Xaositect]

bigarcus в сообщении #364565 писал(а):

Или что приравнивается?

Определение подмножества: пишем $A\subseteq B$, если $(\forall x) (x\in A\Rightarrow x\in B)$
Если $A = \varnothing$, то при любом $x$ посылка $x\in A$ ложна, а значит, импликация $x\in A\Rightarrow x\in B$ истинна.