2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение09.10.2010, 07:28 
Заблокирован по собственному желанию


13/12/05

3475
сахар
сечения Дедекинда вспомните, и поймёте, о чем Хорхе говорит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение11.10.2010, 20:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Хорхе в сообщении #360248 писал(а):
Эт если Вы возьмете $x$ рациональное. Только же никто не заставляет...

Кажется понял. Рассмотрим множество $\{\mathbb Q \cap [0,x] \mid x \in \mathbb R \land x > 0\}\subset \mathcal P(\mathbb Q)$, упорядоченное по включению. Этот лум имеет мощность континуум (т. к. $x\in \mathbb R$).

Но с $\mathcal P(\mathbb N)$ ничего придумать не удаётся, ибо решающим обстоятельством в последнем примере была плотность $\mathbb Q$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение11.10.2010, 20:29 
Заблокирован по собственному желанию


13/12/05

3475
caxap в сообщении #359561 писал(а):
Хорхе в сообщении #359549 писал(а):
В а) легко придумать пример, если вместо $\mathbb N$ взять $\mathbb Q$.

М... не соображу. А что принципиально изменится, если заменить натуральные на рациональные? И там счётно и там.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение11.10.2010, 20:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Padawan
Но ведь натуральные числа не плотны! Не в каждом интервале есть натуральное число, поэтому $\{\mathbb N \cap [1,x] \mid x \in \mathbb R \land x > 1\}=\{\{1\},\{1,2\},\{1,2,3\},\ldots\}$ счётно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение11.10.2010, 21:01 
Заблокирован по собственному желанию


13/12/05

3475
Биекция между $\mathbb N$ и $\mathbb Q$ есть. Эта биекция порождает биекцию между $\mathcal{P} (\mathbb N)$ и $\mathcal{P}(\mathbb Q)$, биекцию между $\mathcal{P}(\mathcal{P} (\mathbb N))$ и $\mathcal{P}(\mathcal{P} (\mathbb Q))$ и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение11.10.2010, 21:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Padawan в сообщении #361126 писал(а):
Биекция между $\mathbb N$ и $\mathbb Q$ есть.

Но нам же нужна не просто биекция, а изоморфизм (сохраняющий порядок).

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение11.10.2010, 21:26 
Заблокирован по собственному желанию


13/12/05

3475
Пусть $f\colon X\to Y$ -- биекция. Рассмотрим отображение $\varphi\colon\mathcal P(X)\to\mathcal P(Y)$, полагая $\varphi(A)=f(A)$, где $A\in\mathcal P(X)$. Тогда 1) $\varphi$ биекция 2) если $A\subset B$, то $\varphi(A)\subset\varphi(B)$. Таким образом $\varphi$ -- изоморфизм ЧУМов $\mathcal P(X)$ и $\mathcal P(Y)$.

А Вам требуется изоморфизм ЧУМов $\mathcal  P(\mathbb N)$ и $ \mathcal P(\mathbb Q)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение11.10.2010, 23:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Дошло. Спасибо!

А вот тут в каком направлении думать?
caxap в сообщении #359547 писал(а):
93. Рассмотрим семейство всех подмножеств натурального ряда, упорядоченное по включению.
...
б) существует ли у него подсемейство мощности континуум, любые два элемента которого несравнимы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение12.10.2010, 00:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15153
Новомосковск
caxap в сообщении #361189 писал(а):
А вот тут в каком направлении думать?

В том же. Попробуйте вместо натурального ряда рассмотреть множество рациональных чисел, стандартно вложенное в множество действительных чисел. И поищите в нём большое (мощности $2^{\aleph_0}$) семейство бесконечных подмножеств, любые два из которых пересекаются по конечному множеству (такие подмножества называются почти дизъюнктными).

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение12.10.2010, 09:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Someone в сообщении #361190 писал(а):
И поищите в нём большое (мощности $2^{\aleph_0}$) семейство бесконечных подмножеств, любые два из которых пересекаются по конечному множеству

Так как рац. числа плотны, то, чтобы подмножества пересекались по конечному множеству, они не должны содержать общий интервал. Единственное, что приходит в голову: разбить числовую ось рац. числами (напр. целыми) и рассматривать интервалы между ними с включенными концами (напр. $\{\mathbb Q\cap [n,n+1]\mid n\in \mathbb N\}$. Но это множество счётно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение12.10.2010, 09:57 
Заслуженный участник


12/08/10
957
Можно так: множества пересекающиеся с каждым $\{2n-1,2n\}$ по одному элементу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение12.10.2010, 12:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15153
Новомосковск
caxap в сообщении #361219 писал(а):
Единственное, что приходит в голову: разбить числовую ось рац. числами (напр. целыми) и рассматривать интервалы между ними с включенными концами

Да зачем её разбивать? Не надо ничего разбивать. И вообще, зачем Вам такие "толстые" множества? Возьмите последовательности рациональных точек. И ограничьтесь, например, отрезком $[0,1]$ (но это не обязательно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение12.10.2010, 13:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
caxap в сообщении #361219 писал(а):
(напр. $\{\mathbb Q\cap [n,n+1]\mid n\in \mathbb N\}$. Но это множество счётно.

Так возьмите $n$ не натуральное, а
ИСН писал(а):
- - -

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение12.10.2010, 19:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Хорхе
Дошло! Спасибо! Т. е. берём множество $\{\mathbb Q\cap [x,x+1]\mid x\in \mathbb R\}$: оно имеет мощность континуума и любые два элемента несравнимы. А $\mathcal P(\mathbb Q)$ и $\mathcal P(\mathbb N)$ изоморфны.

Кстати, есть какой-нибудь символ для обозначения изоморфизма?

 Профиль  
                  
 
 Re: Верещагин, Шень. Эквивалентность и порядок
Сообщение12.10.2010, 19:25 
Заблокирован по собственному желанию


13/12/05

3475
caxap в сообщении #361373 писал(а):
Кстати, есть какой-нибудь символ для обозначения изоморфизма?

$\simeq$ или $\cong$ ?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 81 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group